Группа SU(2)

Группы O(3) и SO(3) <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 5)	>> Группа Лоренца

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь группу $\textstyle \mathbf {SU} (n)$. Напомним, что её элементами являются унитарные матрицы $\textstyle \mathbf {U} ^{+}\mathbf {U} =\mathbf {1}$ с единичным определителем $\textstyle \det \mathbf {U} =1$. Группа $\textstyle \mathbf {SU} (n)$ при преобразованиях вектора с комплексными коэффициентами $\textstyle \mathbf {z} '=\mathbf {U} \mathbf {z}$ оставляет неизменным квадрат модуля компонент вектора: $\textstyle \mathbf {z} ^{+}\mathbf {z} =|z_{1}|^{2}+...+|z_{n}|^{2}$. Действительно:

$\mathbf {z} '^{+}\mathbf {z} '=(\mathbf {U} \mathbf {z} )^{+}\,\mathbf {U} \mathbf {z} =\mathbf {z} ^{+}(\mathbf {U} ^{+}\mathbf {U} )\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{+}\mathbf {z} .$

Запишем матрицу $\textstyle \mathbf {U}$ в окрестности единичного преобразования:

$\mathbf {U} \approx \mathbf {1} +\mathbf {A} ,$

где коэффициенты матрицы $\textstyle \mathbf {A}$ — малые комплексные числа. Условие унитарности приводит к антиэрмитовости матрицы $\textstyle \mathbf {A}$:

$(\mathbf {1} +\mathbf {A} )^{+}(\mathbf {1} +\mathbf {A} )\approx \mathbf {1} +\mathbf {A} ^{+}+\mathbf {A} =\mathbf {1} \;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {A} ^{+}=-\mathbf {A} .$

Единичность определителя матрицы $\textstyle \mathbf {U}$ даёт ещё одно уравнение (равенство нулю следа матрицы) ($\textstyle \lessdot$\,H):

$\det(\mathbf {1} +\mathbf {A} )\approx 1+\mathrm {Tr} \,\mathbf {A} =1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {Tr} \,mathbf{A}=0.$

Матрица $\textstyle \mathbf {A}$ зависит от $\textstyle 2n^{2}$ вещественных параметров ($\textstyle n^{2}$ элементов, имеющих действительную и мнимую части). Из уравнений $\textstyle A_{ij}^{*}=-A_{ji}$ следует, что диагональные элементы должны быть чисто мнимыми ($\textstyle n$ ограничений). Для недиагональных элементов они дают еще $\textstyle 2(n^{2}-n)/2$ действительных уравнений. Плюс одно ограничение получается из $\textstyle \mathrm {Tr} \,mathbf{A}=0$. В результате, общее число действительных параметров, определяющих матрицу $\textstyle \mathbf {A}$ равно $\textstyle 2n^{2}-(n+n^{2}-n+1)=n^{2}-1$. Специальная унитарная группа $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ имеет 3 параметра.(2)$(n)$ Запишем её матрицу $\textstyle \mathbf {A}$ в следующем виде:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\imath a_{3}&a_{2}+\imath a_{1}\\-a_{2}+\imath a_{1}&-\imath a_{3}\\\end{pmatrix}}=a_{1}\,\underbrace {\begin{pmatrix}0&\imath \\\imath &0\\\end{pmatrix}} _{\mathbf {X} _{1}}+a_{2}\,\underbrace {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}} _{\mathbf {X} _{2}}+a_{3}\,\underbrace {\begin{pmatrix}\imath &0\\0&-\imath \\\end{pmatrix}} _{\mathbf {X} _{3}}.$

Несложно проверить, что эта матрица удовлетворяет обоим полученным выше условиям. Разложение, записанное во втором равенстве, приводит к трём матричным генераторам: $\textstyle \mathbf {U} \approx \mathbf {1} +a_{1}\mathbf {X} _{1}+a_{2}\mathbf {X} _{2}+a_{3}\mathbf {X} _{3}$. Они удовлетворяют алгебре Ли, похожей на алгебру группы вращения $\textstyle \mathbf {SO} (3)$:

$[{\mathbf {X} }_{i},\;{\mathbf {X} }_{j}]=-2\varepsilon _{ijk}\,{\mathbf {X} }_{k}.$

Если их умножить на $\textstyle -\imath$, то получатся матрицы Паули $\textstyle \sigma _{k}=-\imath \,\mathbf {X} _{k}$.

$\textstyle \bullet$ Любую матрицу группы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SU}(2)} можно записать в следующем виде:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{U} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b^* & a^*\\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\det\mathbf{U}=|a|^2+|b|^2 =1.}

Несложно проверить, что эта матрица унитарна: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{U}^+\mathbf{U}=\mathbf{1}} . Введем вместо 2-х комплексных параметров четыре действительных Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \phi,n_1,n_2,n_3} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \cos\frac{\phi}{2}+\imath\, n_3 \sin\frac{\phi}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;b=(n_2+\imath \,n_1)\, \sin\frac{\phi}{2}. }

(EQN)

Равенство единице определителя выполняется, если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n^2_1+n^2_2+n^2_3=1} , т.е. $\textstyle \{n_{1},n_{2},n_{3}\}=\mathbf {n}$ являются компонентами единичного вектора: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{n}^2=1} . Выделение фактора Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle 1/2} станет ясным ниже. В такой параметризации матрица Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{U}} выражается через генераторы группы следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{U} = \mathbf{1}\,\cos\frac{\phi}{2} + (n_1 \mathbf{X}_1+n_2 \mathbf{X}_2+n_3 \mathbf{X}_3)\,\sin\frac{\phi}{2} . }

(EQN)

Бесконечно малые параметры Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a_i} связаны с новыми параметрами: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a_i=n_i\,\phi/2} (берём ведущее приближение при разложении синуса и косинуса в ряд Тейлора). Матрицу $\textstyle \mathbf {U}$ можно также записать в следующем компактном, но более формальном виде (по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle k} сумма):

$\mathbf {U} =e^{(\phi /2)\,n_{k}\mathbf {X} _{k}}.$

(EQN)

Действительно, несложно проверить, что квадрат матрицы $\textstyle n_{k}\mathbf {X} _{k}$ для единичного вектора равен единичной матрице с обратным знаком (по $\textstyle k$ сумма):

$n_{k}\mathbf {X} _{k}={\begin{pmatrix}\imath n_{3}&n_{2}+in_{1}\\-n_{2}+in_{1}&-\imath n_{3}\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;(n_{k}\mathbf {X} _{k})^{2}=-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.$

Поэтому:

$(n_{k}\mathbf {X} _{k})^{2}=-\mathbf {1} ,\;\;\;\;\;\;\;(n_{k}\mathbf {X} _{k})^{3}=-n_{k}\mathbf {X} _{k},\;\;\;\;\;\;\;(n_{k}\mathbf {X} _{k})^{3}=\mathbf {1} ,....$

При разложении в ряд Тейлора экспоненты (), получается ().

Если в качестве бесконечно малых параметров выбрать $\textstyle {\tilde {a}}_{i}=2a_{i}=n_{i}\phi$, то новые генераторы будут удовлетворять алгебре Ли эквивалентной алгебре группы $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ (по $\textstyle k$ сумма):

$[{\tilde {\mathbf {X} }}_{i},{\tilde {\mathbf {X} }}_{j}]=-\varepsilon _{ijk}{\tilde {\mathbf {X} }}_{k},$

где

${\tilde {\mathbf {X} }}_{k}={\frac {\mathbf {X} _{k}}{2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {U} \approx \mathbf {1} +{\tilde {\mathbf {X} }}_{k}n_{k}\phi .$

Как мы сейчас увидим, подобное совпадение алгебр неслучайно.

$\textstyle \bullet$ Продемонстрируем связь групп $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ и $\textstyle \mathbf {SO} (3)$. При помощи координат радиус-вектора $\textstyle \mathbf {r} =\{x,y,z\}$ построим эрмитову ($\textstyle \mathbf {F} ^{+}=\mathbf {F}$) матрицу:

$\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}z&x-iy\\x+iy&-z\\\end{pmatrix}}.$

Её определитель $\textstyle \det \mathbf {F} =-(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ пропорционален длине радиус-вектора. При помощи унитарных матриц с единичными определителем запишем следующее преобразование:

$\mathbf {F} '=\mathbf {U} \mathbf {F} \mathbf {U} ^{+}.$

(EQN)

Оно сохраняет эрмитовость матрицы: $\textstyle \mathbf {F} '^{+}=(\mathbf {U} \mathbf {F} \mathbf {U} ^{+})^{+}=\mathbf {U} \mathbf {F} ^{+}\mathbf {U} ^{+}=\mathbf {F} '$, и так как $\textstyle \det \mathbf {U} =1$, длина радиус-вектора оказывается инвариантной:

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Таким образом, преобразование () осуществляет некоторый поворот декартовой системы координат.

Возникает закономерный вопрос. Если существует связь группы $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ и обычных вращений и кроме того, алгебры групп $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ и $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ совпадают, то не означает ли это, что группы $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ и $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ изоморфны (т.е. их элементы могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие)? Ответ отрицательный! Дело в том, что одинаковое поведение в малом (в окрестности единичного преобразования), вообще говоря, не означает одинаковости при любых значениях параметров.

Действительно, используя параметризацию (), запишем преобразование () в явном виде для случая $\textstyle n_{1}=n_{2}=0$, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n_3=1} .

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix} z' & x'-iy' \\ x'+iy' & -z'\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c+\imath s & 0\\ 0 & c-\imath s \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c-\imath s & 0 \\ 0 & c+\imath s \\ \end{pmatrix},}

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c=\cos(\phi/2)} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle s=\sin(\phi/2)} . Перемножая матрицы, имеем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x'+iy' = (\cos\phi -\imath\sin\phi)(x+\imath y),\;\;\;\;\;\;z'=z}

Сравнивая действительные и мнимые части, окончательно получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix} x' \\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \;\cos\phi & \sin\phi & 0\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}.}

Таким образом унитарное преобразование с параметрами $\textstyle \mathbf {n} =\{0,0,1\}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \phi} соответствует повороту Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{R}_z} в 3-мерном пространстве вокруг оси Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle z} на угол Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \phi} . Если бы мы выбрали Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{n}=\{1,0,0\}} , то получился бы поворот вокруг оси Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} , а при $\textstyle \mathbf {n} =\{0,1,0\}$ - вокруг Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle y} .

Теперь заметим, что в группе Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SU}(2)} параметр Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \phi} пробегает значения от 0 до Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle 4\pi} (см. множитель Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle 1/2} в ()), определяя различные матрицы. В тоже время в группе Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SO}(3)} интервалы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle 0\leqslant \phi<2\pi} и $\textstyle 2\pi \leqslant \phi <4\pi$ приводят к одним и тем же матрицам. Поэтому одной матрице Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SO}(3)} соответствует две матрицы группы $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ и, следовательно, преобразование () осуществляет гомоморфное отображение $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ в $\textstyle \mathbf {SO} (3)$.

Если бы мы отказались от условия $\textstyle \det \mathbf {U} =1$, вместо группы $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ получилась бы группа $\textstyle \mathbf {U} (2)$. Её матрицы отличаются дополнительным фазовым множителем с вещественным параметром "$\textstyle \Phi$":

$\mathbf {U} =e^{-\imath \Phi }{\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\det \mathbf {U} |=|a|^{2}+|b|^{2}=1.$

Эта матрица по прежнему унитарна $\textstyle \mathbf {U} ^{+}\mathbf {U} =\mathbf {1}$, но её определитель не равен единице, хотя и имеет единичный модуль $\textstyle |\mathbf {U} |=1$, что следует из условия унитарности.

Фазовый множитель $\textstyle e^{-\imath \Phi }$ можно рассматривать как унитарную матрицу из одного комплексного элемента. Эта "матрица" действует на единственное комплексное число: $\textstyle z'=e^{-\imath \Phi }z.$ Поэтому это группа $\textstyle \mathbf {U} (1)$. Если записать $\textstyle z=x+\imath y$ и по теореме Эйлера $\textstyle e^{-\imath \Phi }=\cos \Phi -\imath \sin \Phi$, то преобразование для $\textstyle z$ оказывается полностью эквивалентным поворотам в плоскости. Таким образом, группы $\textstyle \mathbf {U} (1)$ и $\textstyle \mathbf {SO} (2)$ изоморфны. В свою очередь, группа $\textstyle \mathbf {U} (2)$ является прямым произведением $\textstyle \mathbf {U} (2)=\mathbf {U} (1)\times \mathbf {SU} (2)$.

Очевидно, что группа $\textstyle \mathbf {U} (1)$ абелева. В тоже время группа $\textstyle \mathbf {SU} (2)$, как и $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ является неабелевой.

Группа симметрий $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ встречается в физике элементарных частиц при рассмотрении спина и изоспина. Следующая по размерности специальная унитарная группа $\textstyle \mathbf {SU} (3)$ лежит в основе одного из фундаментальных взаимодействий — квантовой хромодинамики. Эта группа имеет $\textstyle 3^{2}-1=8$ параметров и соответственно 8 генераторов, которые являются матрицами 3x3. Эти матрицы строятся аналогично группе $\textstyle \mathbf {SU} (2)$. Матрица "отклонения от единичной" со свойствами Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{A}^+=-\mathbf{A}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathrm{Tr}\,\mathbf A}=0} может быть записана следующим образом (выделена мнимая единица!):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{A} = \imath \begin{pmatrix} a_3+a_8 & a_1-\imath a_2 & a_4-\imath a_5 \\ a_1+\imath a_2 & a_8-a_3 & a_6-\imath a_7 \\ a_4+\imath a_5 & a_6+\imath a_7 & -2 a_8 \\ \end{pmatrix}.}

Параметризация диагональных элементов произвольна (они чисто мнимые и их сумма равна нулю). Разложение Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{A}=a_1\mathbf{X}_1+...+a_8\mathbf{X}_2=\imath a^i\lambda_i} даёт 8 генераторов Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{X}_i} или т.н. матриц Гелл-Манна Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \lambda_i} (3) (обычно $\lambda _{8}$ делится на Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{3}} , что соответствует переопределению параметра Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_8} ).

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Существование гомеоморфного отображения группы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SU}(2)} на Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SO}(3)} , в силу определения данного на стр.\,\pageref{sec_represatation}, означает, что матрицы группы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SO}(3)} являются матричным представлением элементов группы $\textstyle \mathbf {SU} (2)$. Аналогично в обратную сторону: все элементы группы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SO}(3)} можно изоморфно отобразить в часть матриц Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SU}(2)} (это точное представление).

Алгебры генераторов групп Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SU}(2)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SO}(3)} совпадают, хотя имеют различную размерность (матрицы 2x2 и 3x3). Представлением алгебры группы Ли размерности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} называется множество квадратных матриц Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} x$\textstyle n$, коммутатор которых совпадает с коммутатором генераторов группы. Не стоит путать размерность представления и размерность группы Ли (равную числу действительных параметров, "перечисляющих" элементы группы). Для одной и той же группы можно построить представления алгебр различной размерности.

Почему интересно изучение представлений, например, группы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SO}(3)} ? Эта группа с тремя генераторами Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3} является группой матриц $\textstyle \mathbf {R} =e^{\mathbf {X} _{k}n_{k}\,\phi }$ размера 3x3. С их помощью записывается преобразование компонент 3-вектора $\textstyle \mathbf {r} =\{x,y,z\}$ при поворотах системы координат: $\textstyle r'_{i}=R_{ij}r_{j}$ (собственно одним из определений компонент вектора является: "набор 3-х величин, преобразующихся при поворотах при помощи матрицы $\textstyle \mathbf {R}$"). Пусть теперь найдены матрицы-генераторы $\textstyle {\tilde {\mathbf {X} }}_{k}$ другой размерности $\textstyle n\neq 3$, имеющие такую же алгебру, как и $\textstyle \mathbf {X} _{k}$. Это означает, что построены матрицы $\textstyle {\tilde {\mathbf {R} }}=e^{{\tilde {\mathbf {X} }}_{k}n_{k}\,\phi }$ преобразования некоторой $\textstyle n$-компонентной величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \{x_1,...,x_n\}} . Таким образом, существуют различные математические объекты, по разному преобразующиеся при вращении системы координат. Часть из них хорошо известна. Например, тензоры Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a_{ij}} ранга 2 в 3-мерном пространстве имеют 9 компонент. Обычно мы записываем их преобразование как произведение двух векторов: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a'_{ij}=R_{ik}R_{jl}a_{kl}} . Однако его можно записать и при помощи матрицы 9x9, действующей на столбик, состоящий из 9 компонент тензора.

Замечательно, что существуют более экзотические объекты, несводимые к векторам и тензорам. Например, матрицам 2x2 преобразования группы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SU}(2)} соответствуют так называемые 3-спиноры, которые мы подробно изучим в главе . Природа не любит "математической пустоты". Если естественным образом возникают математические конструкции обобщающие, например, векторы, то, обычно, в физике находятся объекты, адекватное описание которых проще всего провести при помощью этих конструкций. Например, спиноры лежат в основе нашего понимания таких фундаментальных частиц как лептоны (к которым относится электрон) и кварки, из которых "состоят" адроны.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Найдем все неприводимые представления алгебры Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle [\mathbf{X}_i,\mathbf{X}_j]=-\varepsilon_{ijk}\mathbf{X}_k} групп $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{SO}(3)} . Как мы увидим в дальнейшем, классификация представлений группы Лоренца (к которой относятся преобразования Лоренца), также основана на этой алгебре. Матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{X}_i} — антиэрмитовы. Удобно вместо них ввести эрмитовы матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_k = -\imath \mathbf{X}_k} , не меняющиеся при эрмитовом сопряжении: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}^+_k=\mathbf{J}_k} . Для них справедлива следующая алгебра:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [\mathbf{J}_i,\mathbf{J}_j]=\imath\varepsilon_{ijk}\mathbf{J}_k. }

(EQN)

В частности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle [\mathbf{J}_1,\mathbf{J}_2]=\imath\mathbf{J}_3} . Кроме этого введем ещё две матрицы:

$\mathbf {J} _{+}={\frac {\mathbf {J} _{1}+\imath \mathbf {J} _{2}}{\sqrt {2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {J} _{-}={\frac {\mathbf {J} _{1}-\imath \mathbf {J} _{2}}{\sqrt {2}}}.$

При помощи коммутатора () несложно проверить, что

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [\mathbf{J}_3,\,\mathbf{J}_{\pm}]=\pm\mathbf{J}_{\pm}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{J}_{+},\,\mathbf{J}_{-}]=\mathbf{J}_{3},}

и эрмитово сопряжение меняет местами эти матрицы: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\mathbf{J}_+)^+=\mathbf{J}_-} .

Рассмотрим уравнение на собственные функции и собственные значения матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_3} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{J}_3 \Phi_m = m \Phi_m. }

(EQN)

Если представление имеет размерность Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} (матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} x$\textstyle n$), то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Phi_m} — это столбик, состоящий их Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} чисел (индекс Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle m} нумерует столбики соответствующие различным собственным значениям Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle m} , а не компоненты этих столбиков). Для эрмитовой матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} xНевозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} это уравнение имеет не более $\textstyle n$ решений (они существует, если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \det(\mathbf{J}_3-m\mathbf{1})=0} , а это степенное уравнение порядка Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} относительно числа Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle m} ). Кроме этого, все собственные значения — действительны (стр.\,\pageref{math_eq_egenval}). Найдем их. Умножая коммутатор Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_3\mathbf{J}_{\pm}-\mathbf{J}_{\pm}\mathbf{J}_3=\pm\mathbf{J}_{\pm}} справа на столбик Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Phi_m} , приходим к выводу, что столбик Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_{\pm}\Phi_m} , также является собственным вектором матрицы $\textstyle \mathbf {J} _{3}$, который соответствует собственному значению Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle m\pm 1} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{J}_{3}\, (\mathbf{J}_{\pm}\Phi_m) = (m\pm 1)(\mathbf{J}_{\pm}\Phi_m). }

(EQN)

Матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_{\pm}} называются повышающей (Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_{+}} ) и понижающей (Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_{-}} ). Число собственных значений ограничено значением Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} и бесконечно повышать и понижать собственное значение матрицы $\textstyle \mathbf {J} _{\pm }$ не могут. В частности существует максимальное собственное значение $\textstyle m=j$, для которого

$\mathbf {J} _{+}\Phi _{j}=0.$

(EQN)

Понижая $\textstyle m=j$ при помощи $\textstyle \mathbf {J} _{-}$, мы также рано или поздно получим ноль, т.е. существует целое число $\textstyle N<n$, такое, что $\textstyle (\mathbf {J} _{-})^{N+1}\Phi _{j}=0$. При этом собственные значения равны $\textstyle m=j$, $\textstyle j-1$, ...., $\textstyle j-N$.

Собственные векторы $\textstyle \Phi _{m}$ унитарной матрицы $\textstyle \mathbf {J} _{3}$ являются ортогональными и в силу линейности уравнений () могут быть сделаны ортонормированными: $\textstyle \Phi _{m}^{+}\Phi _{m}'=\delta _{mm'}$. С их помощью матрицу $\textstyle \mathbf {J} _{3}$ можно задать диагональной с элементами:

$(\mathbf {J} _{3})_{mm'}=\Phi _{m}^{+}\mathbf {J} _{3}\Phi _{m}=m\,\delta _{mm'},$

т.е. на её диагонали стоят собственные значения. Беря след от коммутатора $\textstyle [\mathbf {J} _{+},\mathbf {J} _{-}]=\mathbf {J} _{3}$ и учитывая, что для любых матриц $\textstyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {A} \mathbf {B} )=\mathrm {Tr} \,\mathbf {B} \mathbf {A} )$, получаем, что $\textstyle \mathrm {Tr} \,mathbf{J}_{3}=0$. След — это сумма диагональных элементов, поэтому (арифметическая прогрессия):

$j+(j-1)+...+(j-N)={\frac {1}{2}}\,(2j-N)(N+1)=0.$

В результате, максимальное собственное значение $\textstyle j=N/2$, т.е. оно может быть только целым или полуцелым ($\textstyle N$ — целое число), а собственные значения равны $\textstyle m=j,j-1,...,-j$. Например, для $\textstyle j=1/2$ и $\textstyle j=1$ имеем следующие представления матрицы $\textstyle \mathbf {J} _{3}$ (нумерация индексов элементов матриц соответствует $\textstyle m=j,...,-j$):

$\mathbf {J} _{3}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {J} _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.$

Из линейных уравнений () следует, что:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{J}_+ \Phi_m = N_{m+ 1} \Phi_{m+1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{J}_- \Phi_m = N^*_{m} \Phi_{m-1}, }

(EQN)

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle N_{m}} — некоторые числа. Первое соотношение следует из линейности, а второе из первого, так как учитывая Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\mathbf{J}_+)^+=\mathbf{J}_-} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Phi^+_m\Phi_m=1} (нет суммы по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle m} ), имеем: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle N_m=(\Phi^+_{m-1}\mathbf{J}_- \Phi_m)^+=\Phi^+_m \mathbf{J}_+ \Phi_{m-1}=N_m} . Найдем коэффициенты $\textstyle N_{m}$:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{J}_+\mathbf{J}_-\Phi_{m} =([\mathbf{J}_+,\mathbf{J}_-]+\mathbf{J}_-\mathbf{J}_+)\Phi_{m} =(\mathbf{J}_3+\mathbf{J}_-\mathbf{J}_+)\Phi_{m} = \bigl(m+N^{*}_{m+1}N_{m+1}\bigr)\Phi_{m},}

и так как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_+\mathbf{J}_-\Phi_{m}=N_{m}N^{*}_{m}\Phi_{m}=|N_m|^2\Phi_{m}} , получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |N_m|^2-|N_{m+1}|^2=m.}

Сложив левые части этих соотношений для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle m=j} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle j-1} , ...., Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle j-p} (принимая во внимание, что $\textstyle N_{j+1}=0$):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |N_j|^2+ (|N_{j-1}|^2-|N_{j}|^2)+(|N_{j-2}|^2-|N_{j-1}|^2)+...+(|N_{j-p}|^2-|N_{j-p+1}|^2),}

получаем Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle |N_{j-p}|^2} . Сумма правых частей Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle j+ (j-1)+...+(j-p)} (арифметическая прогрессия) дает Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (2j-p)(p+1)/2} .

Поэтому, с точностью до произвольного фазового множителя, имеем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_k = \sqrt{\frac{(j+k)(j-k+1)}{2}}.}

Теперь можно записать элементы понижающей и повышающей матриц Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\mathbf{J}_\pm)_{m'm} = \Phi^+_{m'}\mathbf{J}_\pm\Phi_m:}

$(\mathbf {J} _{+})_{m'm}=N_{m+1}\,\delta _{m',m+1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\mathbf {J} _{-})_{m'm}=N_{m}\,\delta _{m',m-1}.$

Элементы этих матриц равны нулю за исключением чисел Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle N_j} , ..., Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle N_{-j+1}} , стоящих над главной диагональю в $\textstyle \mathbf {J} _{+}$ и под главной диагональю в $\textstyle \mathbf {J} _{-}$. Так, для $\textstyle j=1/2$ имеем $\textstyle N_{1/2}=1/{\sqrt {2}}$, поэтому для $\textstyle \mathbf {J} _{\pm }$ и $\textstyle \mathbf {J} _{1}=(\mathbf {J} _{+}+\mathbf {J} _{-})/{\sqrt {2}}$ и $\textstyle \mathbf {J} _{2}=(\mathbf {J} _{+}-\mathbf {J} _{-})/\imath {\sqrt {2}}$, получаем:

$\mathbf {J} _{+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\;\;\;\mathbf {J} _{-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}},\;\;\;\mathbf {J} _{1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}},\;\;\;\mathbf {J} _{2}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-\imath \\\imath &0\\\end{pmatrix}},$

что совпадает с матрицами 2x2 генераторов $\textstyle {\tilde {\mathbf {X} }}_{k}=\imath \mathbf {J_{k}}$, полученных при рассмотрении группы $\textstyle \mathbf {SU} (2)$. Аналогично, для представления $\textstyle j=1$, имеем $\textstyle N_{1}=N_{0}=1$, откуда:

$\mathbf {J} _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\\\end{pmatrix}},\;\;\;\mathbf {J} _{2}={\frac {1}{\imath {\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&1\\0&-1&0\\\end{pmatrix}},$

что соответствует матрицам 3x3 генераторов $\textstyle \mathbf {X} _{k}=\imath \mathbf {J} _{k}$ группы $\textstyle \mathbf {SO} (3)$, с точностью до преобразования эквивалентности $\textstyle {\tilde {\mathbf {X} }}_{k}=\mathbf {S} \mathbf {X} _{k}\mathbf {S} ^{-1}$, см. стр.\,\pageref{sec_represatation} (найдите (Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \lessdot} \,H) матрицу Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}} ). Аналогично записываются неприводимые представления более высокой размерности. Неприводимость представления следует из того, что число линейно независимых векторов Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Phi_m} равно размерности представления (нет инвариантных подпространств).

В заключение введем матрицу Казимира:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{J}^2=(\mathbf{J}_1)^2+(\mathbf{J}_2)^2+(\mathbf{J}_3)^2 = \mathbf{J}_+\mathbf{J}_-+\mathbf{J}_-\mathbf{J}_++(\mathbf{J}_3)^2,}

которая коммутирует со всеми генераторами алгебры Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle [\mathbf{J}^2,\,\mathbf{J}_i] = 0,} что проверяется при помощи алгебры матриц Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{J}_i} . Векторы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Phi_m} также являются её собственными векторами. В частности, для максимального $\textstyle m=j$, имеем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{J}^2\Phi_j = \{[\mathbf{J}_+,\,\mathbf{J}_-]+2\mathbf{J}_-\mathbf{J}_++ (\mathbf{J}_3)^2\}\Phi_j = j(j+1)\Phi_j,}

где учтен второй коммутатор () и ().

---

Группы O(3) и SO(3) <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 5)	>> Группа Лоренца

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии