Преобразования координат

Равноускоренная система отсчёта <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Вращающаяся система отсчёта

---

$\textstyle \bullet$ Найдём преобразования координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной $\textstyle S_{0}:\,(T,\,X)$ и неинерциальной $\textstyle S:\,(t,\,x)$ системах отсчёта. При этом $\textstyle (t,\,x)$ — это результаты измерений наблюдателя, находящегося в $\textstyle x=0$ (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние $\textstyle l_{0}=\ln(1+ax_{0})/a$ до которого известно из радиолокационных измерений и будет принято им за координату события $\textstyle x=l_{0}$ в $\textstyle S$. Будем считать, что, как только произошло событие в момент времени $\textstyle t'$ (по часам второго корабля), на первый корабль посылается световой сигнал:

С учётом корректировки на время распространения сигнала (), его время по часам первого корабля равно $\textstyle t=t'e^{-ax}$. С другой стороны, время $\textstyle t'$ второго корабля связано со временем события $\textstyle T$ в инерциальной системе отсчета следующим образом:

$T={\frac {1+ax_{0}}{a}}\,\mathrm {sh} \left({\frac {at'}{1+ax_{0}}}\right)={\frac {e^{ax}}{a}}\,\mathrm {sh} (at),$

где во втором равенстве подставлено $\textstyle t'=t\,e^{ax}$ и $\textstyle 1+ax_{0}=e^{ax}$. Координата события в $\textstyle S_{0}$ совпадает с координатой второго корабля ():

$aX=F(T)=(1+ax_{0})\mathrm {ch} \left({\frac {at'}{1+ax_{0}}}\right)-1=\mathrm {ch} (at)e^{ax}-1.$

В результате, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта можно записать в следующем виде:

$T={\frac {1}{a}}\,\mathrm {sh} (at)\,e^{ax},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X={\frac {1}{a}}\,{\bigl [}\mathrm {ch} (at)\,e^{ax}-1{\bigr ]}.$

(EQN)

Эти преобразования получил Кристиан Мёллер \cite{Myelller1987}, рассматривая последовательность инерциальных систем отсчета сопутствующих неинерциальной. При этом использовалась другая параметризация координаты:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \mapsto \tilde{x}=(e^{ax}-1)/a,\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;e^{ax} = 1+a\tilde{x}, }

(EQN)

в которой $\textstyle {\tilde {x}}=x_{0}$. Фактически это лишь иной способ нумерации точек пространства в неинерциальной системе $\textstyle S$.

$\textstyle \bullet$ Преобразования () имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. У наблюдателей в данной инерциальной системе отсчёта существует единое синхронизированное время и преобразования Лоренца одинаковы для всех таких наблюдателей. В силу этого, обычно, в каждой инерциальной системе отсчёта представляют по одному наблюдателю, которые "размазаны" по всему пространству. В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает своим собственным временем. Об удалённых событиях он может судить только получая некоторую информацию от наблюдателя, который реально регистрирует событие, находясь в точке где оно произошло. Поэтому

преобразования () относятся к конкретному неинерциальному наблюдателю и произвольному инерциальному.

Преобразования () несложно обратить:

$t={\frac {1}{2a}}\,\ln \left[{\frac {1+aX+aT}{1+aX-aT}}\right],\;\;\;\;\;\;x={\frac {1}{2a}}\,\ln {\bigl [}(1+aX)^{2}-(aT)^{2}{\bigr ]}.$

(EQN)

То, что прямые и обратные преобразования имеют различную функциональную форму, является отражением неравноправности инерциального и неинерциального наблюдателей. В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$\,H) предлагается найти скорость точки $\textstyle X=0$ (начало системы $\textstyle S_{0}$) в системе $\textstyle S$ и убедиться, что она совпадает со скоростью точки $\textstyle x=0$ относительно системы $\textstyle S_{0}$.

Запишем интервал между событиями в координатах неинерциального наблюдателя. Подставляя () в $\textstyle ds^{2}=dT^{2}-dX^{2}$, имеем:

$ds^{2}=e^{2ax}{\bigl [}dt^{2}-dx^{2}{\bigr ]}.$

(EQN)

Распространение света соответствует нулевому интервалу: $\textstyle ds=0$ (стр.\,\pageref{bk_h_ds_inv}). Если свет движется вдоль оси $\textstyle x$, то его траектория в координатах $\textstyle (t,\,x)$ является линейной функцией. Именно это и закладывалось в определение радиолокационного расстояния $\textstyle x=l_{0}$. Если использовать координату $\textstyle {\tilde {x}}$ () то получится интервал Мёллера:

$ds^{2}=(1+a{\tilde {x}})^{2}dt^{2}-d{\tilde {x}}^{2}.$

(EQN)

Отличие интервалов () и () состоит в различном способе "нумерации" точек пространства неинерциальной системы отсчета. В первом в качестве координат кораблей используется радиолокационные расстояния, измеренные наблюдателем в начале системы координат. Во втором — координаты точек совпадают с начальными координатами в инерциальной системе в момент старта кораблей.

$\textstyle \bullet$ Выясним смысл сингулярности, возникающей в (), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в $\textstyle x=0$ события, расположенные по ходу движения $\textstyle x>0$, соответствуют в системе $\textstyle S_{0}$ области $\textstyle aX>{\sqrt {1+(aT)^{2}}}-1$. События в обратном направлении видны только, если $\textstyle X>T-1/a$. Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в $\textstyle (T_{0},\,X_{0})$, "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени $\textstyle T_{1}$. Это происходит, когда уравнение:

${\frac {1}{a}}\,\left({\sqrt {1+(aT_{1})^{2}}}-1\right)-X_{0}=T_{1}-T_{0}$

имеет решение относительно времени прихода $\textstyle T_{1}$. Несложно проверить, что при $\textstyle X_{0}=T_{0}-1/a$ время $\textstyle T_{1}$ обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя она всё время остаётся меньше единицы). Поэтому события, находящиеся сзади далее, чем точка $\textstyle T-1/a$, в системе $\textstyle S$ видны не будут:

Определим горизонт событий, как линию (поверхность), ограничивающую в пространстве событий $\textstyle S_{0}:\,(T,\,X)$ область видимых событий данным наблюдателем системы отсчета $\textstyle S:\,(t,\,x)$. Для описания горизонта событий требуется две системы отсчёта — $\textstyle S_{0}$, имеющая более широкое множество событий, чем события, видимые во второй системе $\textstyle S$. Из () следует, что предельная видимая точка $\textstyle X=T-1/a$ сзади от корабля имеет в системе $\textstyle S$ координату $\textstyle x=-\infty .$ На плоскости $\textstyle (T,\,X)$ можно нарисовать сетку линий (выше второй рисунок), соответствующих постоянным значениям $\textstyle t$ (одновременные в $\textstyle S$ события) и постоянным значениям $\textstyle x$. Их уравнения имеют вид:

$aT=\mathrm {th} (at)\,(1+aX),\;\;\;\;\;\;\;\;(1+aX)^{2}-(aT)^{2}=e^{2ax}.$

(EQN)

После старта корабля, его наблюдатель видит, что сзади него распространяется "волна" постепенного покраснения частоты излучения источников света (стр.\,\pageref{acsel_ref_sys_times}). Это покраснение тем сильнее, чем дальше от него находятся источники. Заметим, что о горизонте наблюдатель никогда не узнает, т.к. волна покраснения достигнет горизонта только при $\textstyle t=\infty$.

$\textstyle \bullet$ Найдём преобразования в ситуации, когда равноускоренная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость $\textstyle U_{0}$. Введём три системы отсчёта: "неподвижную" $\textstyle S_{0}:\,(T,\,X)$, инерциальную $\textstyle S'_{0}:\,(T',\,X')$, движущаяся равномерно со скоростью $\textstyle U_{0}$ относительно $\textstyle S_{0}$ и $\textstyle S:\,(t,\,x)$, которая начинает двигаться равноускоренно относительно $\textstyle S'_{0}$ с нулевой начальной скоростью так, как это было описано выше. Имеем два последовательных преобразования координат и времени:

$\left\{{\begin{array}{lll}aT'&=&\mathrm {sh} (at)\,e^{ax},\\aX'&=&\mathrm {ch} (at)\,e^{ax}-1,\end{array}}\right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{{\begin{array}{lll}T&=&\gamma _{0}\,(T'+U_{0}\,X'),\\X&=&\gamma _{0}\,(X'+U_{0}\,T'),\end{array}}\right.$

где $\textstyle \gamma _{0}=1/{\sqrt {1-U_{0}^{2}}}$, и в момент времени $\textstyle T=T'=t=0$ начала систем $\textstyle X=X'=x=0$ совпадали. Исключая $\textstyle (T',\,X')$, получаем:

$\left\{{\begin{array}{llll}\displaystyle a\,T&\displaystyle =&\mathrm {sh} (at+\alpha _{0})\,e^{ax}-\mathrm {sh} \alpha _{0},\\\displaystyle a\,X&\displaystyle =&\mathrm {ch} (at+\alpha _{0})\,e^{ax}-\mathrm {ch} \alpha _{0},\end{array}}\right.$

(EQN)

где $\textstyle \alpha _{0}=\mathrm {ath} \,U_{0})$, $\textstyle \gamma _{0}=\mathrm {ch} (\alpha _{0})$, $\textstyle U_{0}\gamma _{0}=\mathrm {sh} (\alpha _{0})$. В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$\,H ) стоит найти нерелятивистское приближение к ().

Несложно проверить, что преобразования () снова приводят к интервалу (). Таким образом, все равноускоренные системы отсчета, независимо от их начальной скорости $\textstyle U_{0}$, имеют один и тот же интервал. В общем случае, по определению:

системы отсчета являются равноправными, если они имеют одинаковую функциональную форму интервала.

Естественно в это определение "равноправности" попадает и вся совокупность инерциальных систем отсчета, так как преобразования Лоренца оставляют форминвариантным интервал $\textstyle ds^{2}=dT^{2}-dX^{2}$ (т.е. не изменяют его функциональной формы). Равноускоренная и инерциальные системы не равноправны, так как интервалы между двумя событиями в этих системах отсчета различны (в дальнейшем мы уточним это определение).

Запишем также трансляционные преобразования в равноускоренной системе отсчета. В координатах Мёллера между вторым ($\textstyle {\tilde {x}}'$) и первым кораблем ($\textstyle {\tilde {x}}$) они имеют вид:

${\tilde {x}}={\tilde {x}}'+x_{0},\;\;\;\;\;\;\;t=t'/(1+ax_{0}).$

Подставляя их в интервал (), получаем: $\textstyle ds^{2}=(1+a_{2}{\tilde {x}}')^{2}\,dt'-d{\tilde {x}}'^{2},$ где $\textstyle a_{2}=a/(1+ax_{0})$. Этот результат вполне ожидаем. Собственное ускорение второго корабля равно $\textstyle a_{2}$, поэтому и интервал в координатах $\textstyle (t',\,x')$ наблюдателя на втором корабле должен зависеть именно от $\textstyle a_{2}$, вместо $\textstyle a$ для интервала () в координатах $\textstyle (t,\,x)$ первого корабля.

---

Равноускоренная система отсчёта <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Вращающаяся система отсчёта

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии