Закон Кулона

Парадоксы Белла и Эренфеста <<	Оглавление (Глава 5)	>> Поле равномерно двигающегося заряда

---

Мир вещественных тел, непосредственно воспринимаемый чувствами, очень привычен для нашего повседневного опыта. Поэтому для возникновения понятия "поля" потребовались длительная эволюция и достаточно высокий уровень физической абстракции. Простейший способ введения поля состоит в "отрывании" параметров пробного тела от параметров объекта, оказывающего на него силовое воздействие. Известно, что неподвижный заряд $\textstyle Q$ действует на небольшой пробный заряд $\textstyle q$ силой Кулона:

$\mathbf {F} ={\frac {qQ}{r^{3}}}\mathbf {r} .$

Заряды могут быть как положительными, так и отрицательными. Сила взаимодействия зависит от их произведения. Следовательно, заряды одинакового знака отталкиваются, а противоположного — притягиваются. Введём электрическое поле $\textstyle \mathbf {E}$ следующим образом:

$\mathbf {E} ={\frac {Q}{r^{3}}}\mathbf {r} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {F} =q\mathbf {E} .$

(EQN)

Напряжённость электрического поля, т.е. значение векторной функции $\textstyle \mathbf {E}$, зависит от расстояния $\textstyle \mathbf {r}$ и заряда $\textstyle Q$, но не зависит от значения пробного заряда $\textstyle q$. Такое отделение источника силы от объекта воздействия является очень удобным, однако достаточно формальным. В дальнейшем, когда мы учтём конечность скорости распространения электромагнитного взаимодействия, поле окажется реально существующим физическим объектом. Обратим внимание, что электрическое поле мы обозначаем той же буквой, что и энергию. Чтобы не было путаницы, в этой главе будем обозначать энергию движения частицы, как $\textstyle \mathbb {E}$.

Закон Кулона с хорошей степенью точности справедлив как на очень малых расстояниях, так и на достаточно больших. Тем не менее, с физической точки зрения соответствующее ему электрическое поле $\textstyle \mathbf {E}$ не является хорошо определённой величиной. Если объект, имеющий заряд $\textstyle Q$ — точечный, то при $\textstyle r=0$ получается бесконечное значение поля и, следовательно, силы воздействия на пробный заряд $\textstyle q$. Попробуем временно устранить эту проблему, модифицируя закон Кулона при помощи малой константы $\textstyle a$:

$\mathbf {E} ={\frac {Q\,\mathbf {r} }{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.$

(EQN)

При $\textstyle a=0$ мы возвращаемся к исходному выражению, однако при $\textstyle a\neq 0$ получается конечное значение напряжённости $\textstyle \mathbf {E}$ при $\textstyle r=0$. Подобное устранение сингулярности (бесконечности) называется регуляризацией.

Найдём дивергенцию электрического поля, умножив его на оператор набла. Дивергенция радиус вектора $\textstyle \mathbf {r}$ и градиент его длины $\textstyle r={\sqrt {\mathbf {r} ^{2}}}$ равны (см. стр. \pageref{math_nabla_r_3}):

$\nabla \mathbf {r} =3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nabla r={\frac {\mathbf {r} }{r}}.$

Поэтому, вычисляя дивергенцию поля () как производную произведения, получаем:

$\mathbf {\nabla } \mathbf {E} ={\frac {3Q}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}-{\frac {3}{2}}\,{\frac {Q\mathbf {r} }{(r^{2}+a^{2})^{5/2}}}\,2r\,{\frac {\mathbf {r} }{r}}=4\pi Q\,\delta _{a}(\mathbf {r} ),$

где введена следующая скалярная функция:

При уменьшении значения параметра $\textstyle a$ функция $\textstyle \delta _{a}(\mathbf {r} )$ получается всё более высокой и узкой (см. рисунок). Множитель $\textstyle 3/4\pi$ выделен для того, чтобы интеграл от $\textstyle \delta _{a}(\mathbf {r} )$ по всему пространству был равен единице:

$\int \delta _{a}(\mathbf {r} )\,dV={\frac {3a^{2}}{4\pi }}\,\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{4\pi }{\frac {r^{2}drd\Omega }{(r^{2}+a^{2})^{5/2}}}=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {3\chi ^{2}d\chi }{(1+\chi ^{2})^{5/2}}}={\frac {\chi ^{3}}{(1+\chi ^{2})^{3/2}}}{\Bigr |}_{0}^{\infty }=1.$

Вычисление интеграла проводится в сферических координатах. Интегрирование по телесному углу $\textstyle d\Omega$ даёт $\textstyle 4\pi$, и сделана замена $\textstyle \chi =r/a$. Значение интеграла остаётся единичным при $\textstyle a\to 0$, хотя функция $\textstyle \delta (\mathbf {r} )=\delta _{0}(\mathbf {r} )$ в этом пределе становится разрывной:

$\lim _{a\to 0}\delta _{a}(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} )=\left\{{\begin{array}{lll}0,&\;\;\;&r\neq 0\\\infty ,&\;\;\;&r=0\end{array}}\right.,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int \limits \delta (\mathbf {r} )\,dV=1.$

Функция $\textstyle \delta (\mathbf {r} )$ с такими свойствами называется трёхмерной функцией Дирака (см. также стр. \pageref{m_dirac}). Её удобно использовать для описания точечных зарядов, когда заряд сосредоточен в сколь угодно малом объёме. В этом случае дивергенция электрического поля равна нулю везде, кроме точки $\textstyle r=0$, где она обращается в бесконечность. Заметим, что если бы мы формально вычислили $\textstyle \nabla \mathbf {E}$ для закона Кулона (), то получился бы ноль при любом значении $\textstyle r$. Поэтому дифференцирование сингулярных функций требует определённой аккуратности.

$\textstyle \bullet$ При помощи функции Дирака закон Кулона можно записать в форме дифференциального уравнения:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi Q\,\delta (\mathbf {r} ).$

Воспользовавшись теоремой Гаусса (стр. \pageref{m_nabla}) и интегрируя по замкнутой поверхности, окружающей заряд $\textstyle Q$, мы получаем интегральную версию этого же уравнения:

$\oint \limits _{S}\,\mathbf {E} \,d\mathbf {S} =4\pi Q.$

(EQN)

Экспериментальным фактом является принцип суперпозиции:

поле, создаваемое несколькими зарядами, равно векторной сумме напряжённостей поля от каждого заряда.

Поэтому закон Кулона в дифференциальной форме может быть записан в следующем виде, который называют законом Гаусса:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi \,\rho (\mathbf {r} ),$

(EQN)

где функция $\textstyle \rho (\mathbf {r} )$ называется плотностью заряда

$\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}).$

Она выражается через значения зарядов $\textstyle Q_{1},...,Q_{n}$, находящихся в точках пространства $\textstyle \mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{n}$. Интегральный закон Кулона () остаётся неизменным, однако $\textstyle Q$, входящий в правую часть, имеет смысл суммарного заряда в объёме, окружённом поверхностью $\textstyle S$.

Интеграл по объёму $\textstyle V$ от функции $\textstyle \rho (\mathbf {r} )$ даёт суммарный заряд, находящийся в этом объёме. Пусть точечные заряды расположены очень близко, так что имеет смысл говорить о непрерывном распределении заряда. Тогда его плотность определяется при помощи предела:

$\sum _{i}Q_{i}=\int \limits _{V\to 0}\rho (\mathbf {r} )\,dV\approx \rho (\mathbf {r} )\,V\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\rho (\mathbf {r} )=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\sum _{i}Q_{i},$

где суммируются все заряды, попавшие в объём $\textstyle V$, окружающий точку пространства $\textstyle \mathbf {r}$. На практике математический предел не вычисляется, а берётся малый объём $\textstyle V$, и плотность считается равной отношению заряда, который содержится в объёме, к величине этого объёма. Такая процедура "сглаживания" суммы сингулярных функций Дирака приводит к тому, что плотность заряда $\textstyle \rho (\mathbf {r} )$ в ряде случаев оказывается гладкой ("обычной") функцией координат.

$\textstyle \bullet$ Напряжённость поля принято изображать в виде стрелок, направление которых совпадает с вектором $\textstyle \mathbf {E}$, а их количество, проходящее через единицу поверхности, пропорционально модулю напряжённости $\textstyle |\mathbf {E} |$.

Если есть симметрия в распределении заряда, при помощи уравнения () иногда можно легко находить напряжённость электрического поля. Рассмотрим, например, однородный шар радиуса $\textstyle R$, плотность заряда внутри которого постоянна. Выделенных направлений нет, поэтому в силу сферической симметрии "стрелки" электрического поля выглядят так, как это показано на рисунке ниже, и напряжённость равна:

Действительно, окружим шар сферой радиуса $\textstyle r>R$, имеющей площадь $\textstyle 4\pi r^{2}$. Так как вектор $\textstyle d\mathbf {S}$ параллелен вектору напряжённости и на сфере её модуль постоянен, имеем:

$\oint _{S}\,\mathbf {E} \,d\mathbf {S} =|\mathbf {E} |4\pi r^{2}=4\pi Q\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;|\mathbf {E} |={\frac {Q}{r^{2}}},$

т.е. вне шара выполняется закон Кулона. Если же $\textstyle r\leqslant R$, то заряд внутри сферы равен произведению объёма $\textstyle 4\pi r^{3}/3$ на плотность:

$\oint _{S}\,\mathbf {E} \,d\mathbf {S} =|\mathbf {E} |4\pi r^{2}=4\pi \,\rho \,{\frac {4\pi }{3}}\,r^{3}=4\pi Q\,{\frac {r^{3}}{R^{3}}}\;\;\;=>\;\;\;\mathbf {E} =Q\,{\frac {\displaystyle \mathbf {r} }{\displaystyle R^{3}}}.$

Проверьте ($\textstyle \lessdot$ H), что поле, создаваемое бесконечной тонкой однородно заряженной нитью с зарядом $\textstyle \mu =Q/L$ на единицу длины $\textstyle L$, равно:

где $\textstyle \mathbf {r} _{\perp }$ — составляющая радиус-вектора, перпендикулярная к нити (см. рисунок), а $\textstyle \mathbf {k}$ — единичный вектор, направленный вдоль нити. Стоит вычислить $\textstyle \nabla \mathbf {E}$, проведя регуляризацию выражения. Заметим, что выделенных направлений вдоль нити нет. Поэтому ещё одна симметричная конфигурация поля, когда вектор $\textstyle \mathbf {E}$ касателен цилиндру, окружающему нить (поперёк направления нити), не является подходящей. Нет оснований "закрутить" поле $\textstyle \mathbf {E}$ в одну или в другую сторону.

$\textstyle \bullet$ Вторая операция, которая может быть проделана с векторной функцией при помощи оператора набла, — это ротор. Для любого сферически симметричного поля $\textstyle f(r)\mathbf {r}$ ротор равен нулю. Действительно, так как:

$\nabla f(r)=f'(r)\,{\frac {\mathbf {r} }{r}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\nabla \times \mathbf {r} ]=0,$

то для ротора сферически симметричного поля получаем:

$[\nabla \times f(r)\,\mathbf {r} ]=f(r)\,[\nabla \times \mathbf {r} ]-[\mathbf {r} \times \nabla ]\,f(r)=-f'(r)\,{\frac {[\mathbf {r} \times \mathbf {r} ]}{r}}=0.$

Поэтому как для закона Кулона, так и для его регуляризованного выражения () ротор будет равен нулю. В силу принципа суперпозиции это справедливо для любого статического распределения заряда. Поэтому уравнения электростатики имеют вид:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi \,\rho ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nabla \times \mathbf {E} =0.$

(EQN)

Последнее уравнение, выражающее центральный характер кулоновского поля для точечного заряда, выполняется автоматически, если:

$\mathbf {E} =-\nabla \,\varphi ,$

(EQN)

где $\textstyle \varphi =\varphi (\mathbf {r} )$ — скалярная функция, называемая потенциалом. Действительно: $\textstyle \nabla \times \mathbf {E} =-[\nabla \times \nabla ]\varphi =0.$ Подстановка вектора напряжённости, выраженного через потенциал, в уравнение для дивергенции (закон Гаусса), даёт уравнение Пуассона с оператором Лапласа $\textstyle \Delta =\nabla ^{2}$:

$\Delta \varphi =-4\pi \rho .$

(EQN)

Кулоновский потенциал поля точечного заряда равен

$\varphi ={\frac {Q}{r}},$

что проверяется вычислением его градиента () и сравнением с ().

Потенциал и напряжённость можно представить в интегральном виде, просуммировав кулоновские поля от зарядов малых объёмов:

Значения напряжённости поля и потенциал вычисляются в точке пространства $\textstyle \mathbf {x} =\{x,y,z\}$ ("жирный" $\textstyle \mathbf {x}$ — это вектор, а не координата $\textstyle x$!). Интегрирование проводится по радиус-вектору $\textstyle \mathbf {r}$, пробегающему все заряды $\textstyle \rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r}$ в каждом элементарном объёме $\textstyle dV\equiv d^{3}\mathbf {r}$. Если плотность $\textstyle \rho (\mathbf {r} )$ равна сумме дельта-функций Дирака, мы возвращаемся к сумме полей, создаваемых точечными зарядами (принцип суперпозиции).

$\textstyle \bullet$ При движении в кулоновском поле, создаваемом точечным зарядом $\textstyle Q$, сохраняется полная энергия пробного заряда $\textstyle q$:

${\mathcal {E}}=\mathbb {E} +{\frac {qQ}{r}}=\mathbb {E} +q\varphi ,$

где $\textstyle \mathbb {E} =m/{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$. Действительно (см. также стр. \pageref{sec_force}):

${\frac {d{\mathcal {E}}}{dt}}\;=\;\mathbf {u} \mathbf {F} -{\frac {qQ}{r^{2}}}\,{\frac {\mathbf {r} \mathbf {u} }{r}}\;=\;{\frac {qQ}{r^{3}}}\,(\mathbf {r} \mathbf {u} )-{\frac {qQ}{r^{3}}}\,(\mathbf {r} \mathbf {u} )\;=\;0.$

Поэтому потенциал $\textstyle \varphi$ можно интерпретировать, как потенциальную энергию пробного единичного заряда:

$U(\mathbf {r} )=q\,\varphi (\mathbf {r} ).$

При помощи теоремы Стокса равенство нулю ротора электрического поля можно записать в интегральном виде:

где интегрирование проводится по замкнутому контуру $\textstyle L$. Сила, действующая на заряд $\textstyle q$, равна $\textstyle q\mathbf {E}$, а скалярное произведение силы на вектор смещения $\textstyle d\mathbf {r}$ в пространстве — это работа, совершаемая для перемещения заряда в поле. Поэтому подобный интегральный закон выражает равенство нулю работы перемещения заряда по замкнутому контуру. Если контур незамкнутый, то работа:

$A=\int \limits _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }\mathbf {F} \,d\mathbf {r} =-\int \limits _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }q\nabla \varphi (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} =-q\int \limits _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }d\varphi =q\varphi (\mathbf {r_{1}} )-q\varphi (\mathbf {r_{2}} )$

равна разнице потенциалов в начальной и конечной точках (изменению потенциальной энергии) и поэтому не зависит от формы пути.

Так как электрическое поле является градиентом от потенциала (с обратным знаком), то оно всегда перпендикулярно поверхности постоянного потенциала $\textstyle \varphi (\mathbf {r} )=const$ (стр.\pageref{m_nabla}). Такие поверхности называются эквипотенциальными. Перемещение заряда вдоль эквипотенциальной поверхности происходит перпендикулярно вектору силы и не меняет энергии заряда. Например, для центрально-симметричного электрического поля, создаваемого точечным зарядом или заряженным шаром, эквипотенциальные поверхности являются сферами, окружающими центр симметрии.

---

Парадоксы Белла и Эренфеста <<	Оглавление (Глава 5)	>> Поле равномерно двигающегося заряда

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии