Обсуждение:Применения теоремы Нётер

Вопрос по поводу сохранения суммы тензоров углового момента поля и частиц

Здравствуйте!

Такой вопрос. Я рассматриваю сохранение полного тензора момента

$\ M^{\mu \nu }=\int (x^{\mu }T^{\nu \lambda }-x^{\nu }T^{\mu \lambda })dS_{\lambda }+\sum (x^{\mu }p^{\nu }-x^{\nu }p^{\mu })$,

определяя 4-дивергенцию от этого выражения (интегрирование ведется по гиперповерхности с постоянной временной компонентой).

Есть такие вопросы.

1. Я ведь могу заменить выражение

$\ \sum (x^{\mu }p^{\nu }-x^{\nu }p^{\mu })$

на интеграл

$\ \int (x^{\mu }\mathrm {T} ^{\nu \lambda }-x^{\nu }\mathrm {T} ^{\mu \lambda })dS_{\lambda }$,

$\ \mathrm {T}$ - тензор энергии-импульса частиц?

1.1. Если могу, то можно рассмотреть ковариантную производную от суммарной подынтегральной функции

$\ x^{\mu }T^{\nu \lambda }-x^{\nu }T^{\mu \lambda }+x^{\mu }\mathrm {T} ^{\nu \lambda }-x^{\nu }\mathrm {T} ^{\mu \lambda }$.

Тут появляется такой вопрос: чему равна производная

$\ \partial _{\lambda }(x^{\mu }T^{\nu \lambda }-x^{\nu }T^{\mu \lambda })$?

По идее, для пространственной части 4-производной легко записать

$\ \partial _{i}(x^{\mu }T^{\nu i}-x^{\nu }T^{\mu i})=(\delta _{\mu }^{i}T^{\nu i}-\delta _{\nu }^{i}T^{\mu i})+(x^{\mu }\partial _{\lambda }T^{\nu \lambda }-x^{\nu }\partial _{\lambda }T^{\mu \lambda })=-{\frac {1}{c}}(x^{\mu }F^{\nu i}-x^{\nu }F^{\mu i})j_{i}$.

Но для временной части у меня получается

$\ \partial _{0}(x^{\mu }T^{\nu 0}-x^{\nu }T^{\mu 0})={\frac {1}{c}}([\partial _{0}x^{\mu }]T^{\nu 0}-[\partial _{0}x^{\nu }]T^{\mu 0})-{\frac {1}{c}}(x^{\mu }F^{\nu 0}-x^{\nu }F^{\mu 0})j_{0}$.

Слагаемое в первых скобках, вроде бы, должно быть равным нулю, но я не понимаю, почему.

1.2. Если не могу, то как взять ковариантную производную так, чтобы произвести свертку по индексу и для первого, и для второго слагаемого?

Maxim 23:46, 2 ноября 2012 (UTC).

Можно конечно. Если $T^{\alpha \beta }$ симметричный тензор энергии-импульса поля, а $\mathrm {T} ^{\alpha \beta }$ - частиц, то уравнение непрерывности для момента выполняется автоматически. Лучше это делать в ковариантных обозначениях, не расписывая сумму: см. уравнение 6.60 на стр. 388. Записанный там симметричный тензор - это $T^{\alpha \beta }+\mathrm {T} ^{\alpha \beta }$. Сергей Степанов 14:12, 4 ноября 2012 (UTC)

Не понимаю, почему $\ \partial _{\mu }x^{\alpha }=\delta _{\mu }^{\alpha }$. Ведь если $\ \alpha =1,\mu =0$, то получается $\ {\frac {dx}{cdt}}={\frac {v_{x}}{c}}$.

Нет. Это частные производные: $\partial _{\mu }x^{\alpha }=\partial x^{\alpha }/\partial x^{\mu }$. Поэтому при $\ \alpha =1,\mu =0$ это $\partial x/\partial t=0.$ Сергей Степанов 19:44, 4 ноября 2012 (UTC)

Вопрос по поводу сохранения электрического заряда и теоремы Нетер

Можно ли как-то в рамках классической физики показать инвариантность электрического заряда из теоремы Нетер? Вроде бы, это как-то делается через введение поля Клейна-Гордона, но это поле появляется уже в квантовой теории поля, и смысл оно приобретает только исходя из нее. Maxim 00:16, 3 января 2013 (UTC).

Не совсем. Любое классическое комплексное поле (скалярное Клейна-Гордона, спинорное и т.п.) для действительного лагранжиана обладает симметрией типа $\Psi \mapsto e^{\imath \alpha }\Psi$, которая приводит к току, удовлетворяющему уравнению непрерывности и соответствующему сохраняющемуся заряду. То, что этот инвариант, действительно, имеет смысл заряда ясно видно при использовании принципа локальной калибровочной инвариантности (он рассматривается в 8-й главе, которая скоро будет выложена). Сергей Степанов 18:36, 3 января 2013 (UTC)

А каково различие смыслов (да и в чем вообще различие) закона сохранения заряда, получаемого из уравнения непрерывности, и закона сохранения заряда, полученного из теоремы Нетер? Maxim 18:04, 4 января 2013 (UTC).

Нет разницы в смыслах конечно нет. Речь шла о том, что говорить о заряде (типа электрического) содержательно только когда есть взаимодействие этих зарядов. Оно возникает когда кроме глобальной инвариантности (дающей сохраняющийся ток) требуют локальной инваиантности. Сергей Степанов 11:02, 6 января 2013 (UTC)

Спасибо.

И еще. В ходе получения закона сохранения заряда из локальной калибровочной инвариантности ведь приходят к выражению для тока $\ j^{\mu }=iq\left(\Psi ^{*}d^{\mu }\Psi -\Psi d^{\mu }\Psi ^{*}\right)$ (рассматривался лагранжиан, модифицированный добавкой $\ {\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }$ и производной $D^{\mu }=\partial ^{\mu }+iqA^{\mu }$)? А как от этого выражения придти к закону сохранения заряда? Maxim 18:47, 4 января 2013 (UTC).

Ток (и заряд) сохраняется в силу не локальной, а глобальной калибровочной инвариантности. При применении принципа локальной инвариантности возникают члены взаимодействия типа $j^{\mu }A_{\mu }$. Сергей Степанов 11:02, 6 января 2013 (UTC)

То есть, нужно рассмотреть модификации $\ \Psi ->e^{i\lambda }\Psi$, где величина $\ \lambda$ есть константой? Оттуда получится, что существует определенный ток, имеющий инвариант. А потом, уже из локальной калибровочной инвариантности, можно показать, что инвариант, соответствующий току, и есть электрическим зарядом. А как это, вкратце, сделать (я про показание того, что из локальной калибровочной инвариантности следует интерпретация инварианта)? Maxim 11:53, 6 января 2013 (UTC).

Да, все верно. А показывается это просто построением калибровочной теории. В ней возникает в лагранжиане взаимодействие $j^{\mu }A_{\mu }$, с током $j^{\mu }$, следующим из локальной инвариантности. Решаем уравнения движения и получаем закон Кулона и т.д. Сергей Степанов 14:29, 6 января 2013 (UTC)

Ага, спасибо большое, разобрался.