Обсуждение:Применения теоремы Нётер

Вопрос по поводу сохранения суммы тензоров углового момента поля и частиц

Здравствуйте!

Такой вопрос. Я рассматриваю сохранение полного тензора момента

$\ M^{\mu \nu }=\int (x^{\mu }T^{\nu \lambda }-x^{\nu }T^{\mu \lambda })dS_{\lambda }+\sum (x^{\mu }p^{\nu }-x^{\nu }p^{\mu })$,

определяя 4-дивергенцию от этого выражения (интегрирование ведется по гиперповерхности с постоянной временной компонентой).

Есть такие вопросы.

1. Я ведь могу заменить выражение

$\ \sum (x^{\mu }p^{\nu }-x^{\nu }p^{\mu })$

на интеграл

$\ \int (x^{\mu }\mathrm {T} ^{\nu \lambda }-x^{\nu }\mathrm {T} ^{\mu \lambda })dS_{\lambda }$,

$\ \mathrm {T}$ - тензор энергии-импульса частиц?

1.1. Если могу, то можно рассмотреть ковариантную производную от суммарной подынтегральной функции

$\ x^{\mu }T^{\nu \lambda }-x^{\nu }T^{\mu \lambda }+x^{\mu }\mathrm {T} ^{\nu \lambda }-x^{\nu }\mathrm {T} ^{\mu \lambda }$.

Тут появляется такой вопрос: чему равна производная

$\ \partial _{\lambda }(x^{\mu }T^{\nu \lambda }-x^{\nu }T^{\mu \lambda })$?

По идее, для пространственной части 4-производной легко записать

$\ \partial _{i}(x^{\mu }T^{\nu i}-x^{\nu }T^{\mu i})=(\delta _{\mu }^{i}T^{\nu i}-\delta _{\nu }^{i}T^{\mu i})+(x^{\mu }\partial _{\lambda }T^{\nu \lambda }-x^{\nu }\partial _{\lambda }T^{\mu \lambda })=-{\frac {1}{c}}(x^{\mu }F^{\nu i}-x^{\nu }F^{\mu i})j_{i}$.

Но для временной части у меня получается

$\ \partial _{0}(x^{\mu }T^{\nu 0}-x^{\nu }T^{\mu 0})={\frac {1}{c}}([\partial _{0}x^{\mu }]T^{\nu 0}-[\partial _{0}x^{\nu }]T^{\mu 0})-{\frac {1}{c}}(x^{\mu }F^{\nu 0}-x^{\nu }F^{\mu 0})j_{0}$.

Слагаемое в первых скобках, вроде бы, должно быть равным нулю, но я не понимаю, почему.

1.2. Если не могу, то как взять ковариантную производную так, чтобы произвести свертку по индексу и для первого, и для второго слагаемого?

Maxim 23:46, 2 ноября 2012 (UTC).

Можно конечно. Если $T^{\alpha \beta }$ симметричный тензор энергии-импульса поля, а $\mathrm {T} ^{\alpha \beta }$ - частиц, то уравнение непрерывности для момента выполняется автоматически. Лучше это делать в ковариантных обозначениях, не расписывая сумму: см. уравнение 6.60 на стр. 388. Записанный там симметричный тензор - это $T^{\alpha \beta }+\mathrm {T} ^{\alpha \beta }$. Сергей Степанов 14:12, 4 ноября 2012 (UTC)

Не понимаю, почему $\ \partial _{\mu }x^{\alpha }=\delta _{\mu }^{\alpha }$. Ведь если $\ \alpha =1,\mu =0$, то получается $\ {\frac {dx}{cdt}}={\frac {v_{x}}{c}}$.

Нет. Это частные производные: $\partial _{\mu }x^{\alpha }=\partial x^{\alpha }/\partial x^{\mu }$. Поэтому при $\ \alpha =1,\mu =0$ это $\partial x/\partial t=0.$ Сергей Степанов 19:44, 4 ноября 2012 (UTC)