Обсуждение:Ковариантная электродинамика — различия между версиями
Maxim (обсуждение | вклад) (→Про "выделенность" уравнения Максвелла для дивергенции напряженности) |
Maxim (обсуждение | вклад) (→Про "выделенность" уравнения Максвелла для дивергенции напряженности) |
||
Строка 57: | Строка 57: | ||
Я прав? [[Участник:Maxim|Maxim]] 18:17, 25 октября 2012 (UTC). | Я прав? [[Участник:Maxim|Maxim]] 18:17, 25 октября 2012 (UTC). | ||
+ | |||
+ | Возможно, я невнятно написал. |
Версия 21:45, 26 октября 2012
Тождества с символом Леви-Чевиты
В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для
можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? Maxim 17:13, 18 октября 2012 (UTC).
- Это математические приложения. Они пока не готовы. Но скопирую ниже соответствующий кусок. Советую также читать книжку Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков (и решать задачки :). Там в частности стр.183 (но для 3-мерного пространства, зато в криволинейных координатах).
В пространстве-времени определим абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чевиты так, что и . Таким образом, значение, равное 1 для символа с нижними индексами принято по определению. Тензор с верхними индексами получается при помощи свёртки с метрическим тензором . Три ненулевых индекса приводят к нечётному произведению -1 и дают значение -1.
Произведение двух символов Леви-Чевиты выражается через определитель от символов Кронекера:
Действительно, если четвёрки индексов и различны, то:
Если любые два индекса равны, то в матрице оказываются равными две строки или два столбца. Например, при равны первые две строки. Поэтому в этом случае определитель равен нулю. Перестановка любых двух индексов приводит для первого символа к перестановке местами строк, а для второго — столбцов. В этом случае определитель меняет свой знак. Что и требовалось доказать.
Свернём по индексам и , перенеся в индекс на первое место (появится знак минус). Затем раскроем определитель по нижней строке (получится сумма 4-х определителей 3x3). Учитывая, что перестановка столбцов в определители даёт знак минус, а , получаем:
где введено сокращение и второе равенство получено раскрытием определителя. Продолжая аналогичным образом, получаем также следующие тождества:
Спасибо! Есть еще один вопрос по поводу антисимметричных тензоров (в данном случае - Леви-Чивиты). Как получить, что
?
Интересует, откуда взялся множитель 2. Не до конца понимаю, как это "навскидку" следует из антисимметричности тензоров. Maxim 19:35, 19 октября 2012 (UTC).
- Просто подставляем определение , сворачиваем с символами Кронекера и в конце учитываем антисимметричность :
Про "очевидность" получения ковариантных уравнений
Интересно, те же уравнения Максвелла в ковариантной форме исторически были получены наобум, или же были какие-то (даже качественные) основания "свернуть" тензор напряженности с 4-вектором производной именно так? Аналогичный вопрос по поводу "очевидности" введения тензора напряженности.
Можете написать по этому поводу? Подобные вопросы очень мучат, [:)]. Maxim 20:22, 19 октября 2012 (UTC).
- Скорее сложно было догадаться о необходимости введения тензора напряженности. То, что и преобразуются как было известно ещё Лоренцу и Пуанкаре. Хотя тензорный анализ они не использовали (про Пуанкаре не уверен, надо проверить). Уравнения Максвелла разбиваются на две пары уравнений (с зарядами и без). Это уравнения первого порядка. Поэтому в тензорном виде они должны зависеть от и . Два вектора и в один 4-вектор не засунуть. Можно взять два 4-вектора, но не ясно что для них брать для скалярной части. Остается антисимметричный тензор 2-го ранга, он как раз зависит от двух 3-векторов. Как то так. Хотя это сейчас тривиально, а тогда :)... По-моему Минковский тензорную форму предложил. Но нужно это проверить. Сергей Степанов 12:52, 21 октября 2012 (UTC)
Про "выделенность" уравнения Максвелла для дивергенции напряженности
Записывая в ковариантных обозначениях уравнения Максвелла, можно получить:
.
Записывая первое уравнение при , можно получить, что
.
Как видно, это уравнение - уравнение первого порядка по времени относительно потенциала.
Аналогично, записывая три других уравнения, можно получить для них уравнения второго порядка по времени относительно потенциала. Эти три уравнения однозначно определяют 4-потенциал, удовлетворяющий уравнениям Максвелла, если заданы две константы - значение потенциала и его производной по времени в некоторый заданный момент времени . С другой стороны, задание должно удовлетворять уравнению , то есть, это уравнение есть своего рода "связью" для трех уравнений. При этом, в зависимости от вектора , таких значений может быть бесконечное множество.
Я прав? Maxim 18:17, 25 октября 2012 (UTC).
Возможно, я невнятно написал.