Обсуждение:Законы сохранения

А можно как-то "придти" к величинам $\ W,\quad \mathbf {P}$, не вводя их изначально? Maxim 11:58, 8 июля 2012 (UTC)

Да. Для этого служит теорема Нётер. Она описана в 6-й главе. Сергей Степанов 18:51, 8 июля 2012 (UTC)

А когда она будет доступна для чтения? Maxim 15:01, 9 июля 2012 (UTC)

К концу месяца Сергей Степанов 07:47, 10 июля 2012 (UTC)

Я не совсем понял, как была вынесена "набла" при получении компонент тензора потока импульса:

$\ {\frac {1}{8\pi }}\nabla (\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})-{\frac {1}{4\pi }}\sum _{i}\nabla _{i}[E_{i}\mathbf {E} +B_{i}\mathbf {B} ]$.

В выражении выше "набла" при квадратах напряженности и индукции - вектор, а при произведении компонент на вектора - скаляр. Можете, пожалуйста, показать эту "свертку"? Maxim 22:25, 13 июля 2012 (UTC)

Максим, а помощь под номером 36 (в pdf-ке) не проясняет ситуацию? Сергей Степанов 12:06, 16 июля 2012 (UTC)

Я не понимаю, как Вы получили компоненты тензора из той величины, что приведена мною выше, и как оператор набла вынесли за скобки. Тождество для двойного векторного произведения понятно, как получено. Maxim 20:27, 16 июля 2012 (UTC)

---

В

${\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} \times [\nabla \times \mathbf {B} ]+\mathbf {E} \times [\nabla \times \mathbf {E} ]}{4\pi }}+\mathbf {j} \times \mathbf {B} =0,$

подставляем двойное векторное произведение и закон Гаусса для электрического и магнитного поля:

${\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+{\frac {1}{4\pi }}{\Bigl (}\nabla \left({\frac {\mathbf {E} ^{2}}{2}}\right)-\nabla _{i}(E_{i}\mathbf {E} )+\nabla \left({\frac {\mathbf {B} ^{2}}{2}}\right)-\nabla _{i}(B_{i}\mathbf {B} ){\Bigr )}+\mathbf {E} \rho +\mathbf {j} \times \mathbf {B} =0,$

Это векторное уравнение. Запишем его j-ю компоненту:

${\frac {\partial P_{j}}{\partial t}}+{\frac {1}{4\pi }}{\Bigl (}\nabla _{j}\left({\frac {\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}}{2}}\right)-\nabla _{i}(E_{i}E_{j}+B_{i}B_{j}){\Bigr )}+E_{j}\rho +[\mathbf {j} \times \mathbf {B} ]_{j}=0,$

Набла с индексом j может быть записана как $\nabla _{i}\delta _{ij}$ (везде по повторяющимся индексам суммирование). От сюда получается тензор $\sigma _{ij}$. Сергей Степанов 06:42, 17 июля 2012 (UTC)

---

Спасибо большое. Не обратил внимание на то, что компоненты j-тые. А можете, пожалуйста, еще подробнее объяснить, почему именно "...Если заряды сосредоточены в некоторой области пространства и поля на бесконечности равны нулю, то при интегрировании по всему пространству правая часть (поверхностный интеграл) будет равна нулю..."? Я про интеграл от $\ \mathbf {P}$ в выражении для первого закона сохранения. Потому что поток через поверхность объема на бесконечности равен нулю? Maxim 13:06, 17 июля 2012 (UTC)

Ну да. Если поля на бесконечности убывают быстрее чем $1/r$ (их квадрат как $1/r^{2+\varepsilon }$), то поверхностный интеграл (в сферических координатах) будет пропорционален $(1/r^{2+\varepsilon })r^{2}d\Omega$ и при $r\to \infty$ равен нулю. Сергей Степанов 17:36, 17 июля 2012 (UTC)

И еще такой глупый вопрос. ij-тая компонента тензора потока импульса определяется как $\ \delta _{ij}W-\sum _{i}\left(E_{i}E_{j}+B_{i}B_{j}\right)$, или без знака суммы во втором слагаемом? Maxim 20:44, 18 июля 2012 (UTC)

Без, конечно. На то он и тензор - должен иметь 2 индекса. Сергей Степанов 07:39, 19 июля 2012 (UTC)

---

А вид законов сохранения (второго и третьего) при восстановленной константе $\ c$ не должен измениться? Maxim 23:35, 7 сентября 2012 (UTC) .

Мы имеем следующие базовые подставновки:

$t\mapsto ct,~~~~~Q\mapsto {\frac {Q}{c}},~~~~~\mathbf {E} \mapsto {\frac {\mathbf {E} }{c}},~~~~~\mathbf {B} \mapsto {\frac {\mathbf {B} }{c}}.$

Из них следует:

$\rho \mapsto {\frac {\rho }{c}},~~~~~\mathbf {j} =\rho \mathbf {v} \mapsto {\frac {\mathbf {j} }{c^{2}}},~~~~~\mathbf {P} \mapsto {\frac {\mathbf {P} }{c^{2}}},~~~~~\sigma _{ij}\mapsto {\frac {\sigma _{ij}}{c^{2}}}.$

Поэтому в законе для сохранения импульса при производной и векторном произведении появятся множители $1/c$. Аналогично восстанавливается фундаментальная скорость в третьем законе. Сергей Степанов 07:07, 11 сентября 2012 (UTC)