Лемма Ито

Почему Ито <<	Оглавление	>> Точные решения уравнения Ито

---

$\textstyle \bullet$ Пусть процесс $\textstyle x(t)$ подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию $\textstyle F(x,t)$. Если вместо $\textstyle x$ в неё подставить $\textstyle x(t)$, то $\textstyle F(t)=F{\bigl (}x(t),t{\bigr )}$ станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:

$dF=A(x,t)\;dt+B(x,t)\;\delta W$

с $\textstyle x=G(F,t)$, где $\textstyle G$ — обратная к $\textstyle F$ функция. Для этого необходимо найти функции сноса $\textstyle A$ и волатильности $\textstyle B$, а также убедиться, что моменты более высоких порядков равны нулю.

Разложим в ряд Тейлора $\textstyle F(x,t)=F(x_{0}+\Delta x,t_{0}+\Delta t)$ в окрестности начального фиксированного значения $\textstyle x_{0}$ по небольшим $\textstyle \Delta x$ и $\textstyle \Delta t$:

$F(x,t)=F(x_{0},t_{0})+{\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}\;\Delta x+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{0}^{2}}}\;(\Delta x)^{2}+...+{\frac {\partial F}{\partial t_{0}}}\;\Delta t+...,$

где все производные справа вычислены в точке $\textstyle x_{0},t_{0}$. Для ряда оставлен член второго порядка малости по $\textstyle \Delta x$. При помощи () мы можем записать $\textstyle (\Delta x)^{2}$ в следующем виде:

$(\Delta x)^{2}={\bigl (}a_{0}\;\Delta t+b_{0}\;\varepsilon {\sqrt {\Delta t}}+...{\bigr )}^{2}=b_{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\;\Delta t+...,$

где оставлено ведущее приближение по $\textstyle \Delta t$. Таким образом, если в начальный момент времени $\textstyle t_{0}$ функция равна детерминированному числу $\textstyle F_{0}=F(x_{0},t_{0})$, то через малый промежуток времени, в зависимости от значения $\textstyle \varepsilon$, это будет случайная величина вида:

$F=F_{0}+{\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}\cdot (a_{0}\Delta t+b_{0}\;\varepsilon {\sqrt {\Delta t}})+{\frac {b_{0}^{2}}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{0}^{2}}}\;\varepsilon ^{2}\;\Delta t+{\frac {\partial F}{\partial t_{0}}}\;\Delta t+...$

По определению () коэффициент сноса в пределе $\textstyle \Delta t\to 0$ равен:

$A(x_{0},t_{0})\;=\;{\frac {\left\langle F-F_{0}\right\rangle }{\Delta t}}\;=\;a_{0}\cdot {\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+{\frac {b_{0}^{2}}{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{0}^{2}}}+{\frac {\partial F}{\partial t_{0}}},$

где подставлено разложение () для $\textstyle F$ и учтено, что $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$, $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =1$. Аналогично, для коэффициента диффузии:

$B^{2}(x_{0},t_{0})\;=\;{\frac {\left\langle (F-F_{0})^{2}\right\rangle }{\Delta t}}\;=\;b_{0}^{2}\cdot \left({\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}\right)^{2}.$

Для моментов более высоких порядков в пределе $\textstyle \Delta t\to 0$ получается ноль. Таким образом, это действительно диффузный процесс.

Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при $\textstyle \Delta t\to 0$ стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (). Поэтому необходима полная проверка "диффузности", проведенная выше.

Считая уравнение () первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу $\textstyle \S$. Сумма слагаемых вида $\textstyle \varepsilon ^{2}\Delta t$ приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие $\textstyle \varepsilon ^{2}$. Поэтому можно положить $\textstyle \varepsilon ^{2}\to 1$.

Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции $\textstyle F(x,t)$ в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной $\textstyle \delta W=\varepsilon {\sqrt {dt}}$:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \;dF \;= {\Bigr|}} \left( \frac{\partial F}{\partial t} +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\;. }

Это соотношение называется "леммой Ито". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов.

Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции $\textstyle F(x,t)$, в которую подставили решение $\textstyle x=x(t)$ уравнения $\textstyle dx=a(x,t)dt$, имеет вид:

$dF\;=\;{\frac {\partial F}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial F}{\partial x}}\,dx\;=\;\left({\frac {\partial F}{\partial t}}+a(x,t)\,{\frac {\partial F}{\partial x}}\right)\,dt.$

В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии $\textstyle b^{2}(x,t)$ и вторая производная по $\textstyle x$. Происходит это, как мы видели, благодаря корню $\textstyle {\sqrt {dt}}$. Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.

Для винеровского уравнения $\textstyle dx=\mu \,dt+\sigma \delta W$ с постоянным сносом $\textstyle \mu$ и волатильностью $\textstyle \sigma$ дифференциал квадрата траектории $\textstyle y=x^{2}$, в соответствии с (), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:

$d(x^{2})=(2\mu x+\sigma ^{2})\,dt+2\sigma \,x\,\delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;dy=(2\mu {\sqrt {y}}+\sigma ^{2})\,dt+2\sigma {\sqrt {y}}\,\delta W.$

Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.

---

Почему Ито <<	Оглавление	>> Точные решения уравнения Ито

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения