Распады и столкновения

Кинетическая энергия <<	Оглавление (Глава 3)	>> Космические полёты

---

$\textstyle \bullet$ Предположим, что в результате некоторых внутренних причин неподвижная частица массой $\textstyle M$ распадается на две частицы с массами $\textstyle m_{1}$ и $\textstyle m_{2}$, имеющие скорости $\textstyle u_{1}$ и $\textstyle u_{2}$:

Найдём энергии продуктов распада. Для этого запишем законы сохранения:

$E=E_{1}+E_{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p=p_{1}+p_{2}.$

Стандартный приём решения подобных задач состоит в использовании соотношения $\textstyle E^{2}-p^{2}=m^{2}$, при помощи которого избавляются от одной из неизвестных скоростей (энергии и импульса). Перенесём $\textstyle E_{1}$ и $\textstyle p_{1}$ в законах сохранения влево, возведём их в квадрат и вычтем:

$(E-E_{1})^{2}-(p-p_{1})^{2}=E_{2}^{2}-p_{2}^{2}=m_{2}^{2}.$

Раскрывая скобки и снова учитывая выражение для квадрата массы, имеем:

$M^{2}+m_{1}^{2}-2EE_{1}+2pp_{1}=m_{2}^{2}.$

Так как начальная частица покоится, для неё $\textstyle E=M$ и $\textstyle p=0$. Поэтому несложно получить выражение для энергии первого продукта распада $\textstyle E_{1}$. Для $\textstyle E_{2}$ достаточно переставить местами индексы. В результате:

$E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}.$

Таким образом, энергии полностью определяются массой начальной частицы и массами продуктов её распада. При желании, при помощи формулы $\textstyle E=m/{\sqrt {1-u^{2}}}$ можно найти и их скорости.

Когда такой распад возможен? Масса начальной частицы превращается в энергию разлетающихся после распада частиц:

$M={\frac {m_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}}}}+{\frac {m_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}}}}>m_{1}+m_{2}.$

Если $\textstyle M<m_{1}+m_{2}$, то такой самопроизвольный распад невозможен по энергетическим соображениям и требуется некоторое внешнее воздействие, чтобы разрушить энергию связи, равную $\textstyle m_{1}+m_{2}-M$.

Требование $\textstyle M>m_{1}+m_{2}$ запрещает испускание частицей некоторой другой частицы при сохранении своей исходной массы. Например, равномерно движущийся электрон не может излучить фотон, оставшись электроном. На самом деле он не может и превратиться в другую частицу в процессе такого распада, но это уже другая история.

Почему вообще частицы распадаются? Обычно к этому приводят некоторые эволюционные процессы, происходящие внутри исходной частицы. Простейшим примером может служить взрыв в результате химических реакций. В квантовом мире распады обычно связаны с туннелированием квантовой частицы через потенциальный барьер, непреодолимый для классической частицы. В квантово-релятивистском мире элементарных частиц ситуация ещё менее наглядна. Например, свободный нейтрон в среднем за 15 минут распадается на протон, электрон и нейтрино, которые "в нём не находились". Этот же нейтрон внутри ядер, в окружении других нейтронов и протонов, вполне стабилен и не подвержен распаду.

Распад обратен ситуации "слипания", когда в результате столкновения двух частиц возникает третья. Рассмотрим такую реакцию в лабораторной системе отсчёта, где первая частица с массой $\textstyle m_{1}$ имеет скорость $\textstyle v$ и энергию $\textstyle E_{1}=m_{1}/{\sqrt {1-v^{2}}}$, а вторая с массой $\textstyle m_{2}$ покоится. Результат их столкновения имеет массу $\textstyle M$ и движется со скоростью $\textstyle u$:

Запишем законы сохранения энергии и импульса:

$E_{1}+m_{2}=E,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p_{1}=p.$

Возводя в квадрат и вычитая, находим квадрат массы результирующей частицы, которая, естественно, больше, чем сумма исходных:

$M^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+{\frac {2m_{1}m_{2}}{\sqrt {1-v^{2}}}}=(m_{1}+m_{2})^{2}+2m_{1}m_{2}\,\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}-1\right).$

Её скорость можно найти из сохранения импульса $\textstyle p_{1}=p$, однако более быстрый путь — воспользоваться связью импульса, энергии и скорости:

$u={\frac {p}{E}}={\frac {p_{1}}{E_{1}+m_{2}}}={\frac {v}{1+(m_{2}/m_{1}){\sqrt {1-v^{2}}}}}.$

Если $\textstyle v\to 1$, то к скорости света стремится и скорость результирующей частицы.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь ситуацию, когда частица, имеющая энергию $\textstyle E_{1}$ и массу $\textstyle m_{1}$, налетает на неподвижную частицу с массой $\textstyle m_{2}$ и массы частиц после этого взаимодействия не изменяются (упругое столкновение):

Если столкновение было "не лобовое", то частицы разлетятся под некоторыми углами к скорости $\textstyle \mathbf {u} _{1}$ налетающей частицы. Обозначим все величины после столкновения штрихами и запишем законы сохранения:

$E_{1}+E_{2}=E'_{1}+E'_{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}=\mathbf {p} '_{1}+\mathbf {p} '_{2},$

где $\textstyle E_{2}=m$, $\textstyle \mathbf {p} _{2}=0$. Избавимся от энергии и импульса одной из частиц:

$(E_{1}+m_{2}-E'_{1})^{2}-(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} '_{1})^{2}=m_{2}^{2}.$

Возводя в квадрат, получаем:

$\mathbf {p} _{1}\mathbf {p} '_{1}=(E_{1}+m_{2})\,E'_{1}-m_{1}^{2}-E_{1}m_{2}.$

Скалярное произведение импульсов выражается через их модули и угол: $\textstyle \mathbf {p} _{1}\mathbf {p} '_{1}=p_{1}p'_{1}\cos \theta _{1}$. Поэтому угол вылета частиц равен:

$\cos \theta _{1}={\frac {(E_{1}+m_{2})\,E'_{1}-m_{1}^{2}-E_{1}m_{2}}{p_{1}p'_{1}}},\;\;\;\;\;\;\;\cos \theta _{2}={\frac {(E_{1}+m_{2})(E'_{2}-m_{2})}{p_{1}p'_{2}}}.$

Второй угол получается совершенно аналогично. При этом необходимо избавиться от энергии и импульса первой частицы после столкновения.

Сам по себе угол рассеивания зависит от прицельного расстояния и характера взаимодействия между частицами. Однако независимо от последнего энергия рассеявшейся частицы, благодаря законам сохранения, связана с этим углом. Чем сильнее теряет энергию первая частица, тем на больший угол она рассеивается. Заметим, что так как $\textstyle E'_{2}>m_{2}$, $\textstyle E_{2}=m_{2}$, то из закона сохранения энергии следует, что $\textstyle E'_{1}<E_{1}$, т.е. энергия уменьшается, переходя к покоящейся частице.

Подставив в выражение для $\textstyle \cos \theta _{1}$ зависимость импульса от энергии $\textstyle p'={\sqrt {E'\,_{1}^{2}-m_{1}^{2}}}$ и взяв производную по $\textstyle E'_{1}$, можно ($\textstyle \lessdot$ H) найти максимальное значение угла рассеяния:

$(\sin \theta _{1})_{max}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}.$

Естественно, максимум, отличный от $\textstyle \theta =\pi /2$, существует, если масса налетающей частицы $\textstyle m_{1}$ больше, чем масса частицы $\textstyle m_{2}$.

Особенно просто выражение для результирующей энергии выглядит, если налетающая частица является безмассовой $\textstyle m_{1}=0$. Например, в эффекте Комптона (1923 г.) фотон рассеивается на электроне. В этом случае $\textstyle p_{1}=E_{1}$, $\textstyle p'_{1}=E'_{1}$, и энергия фотона после столкновения равна: \parbox{8cm}{

${\frac {1}{E'_{1}}}={\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\,(1-\cos \theta _{1}).$

} \parbox{6cm}{

} C фотоном по формуле Планка связаны частота $\textstyle E=h\nu$ и длина волны $\textstyle \lambda =1/\nu$. Относительное изменение $\textstyle \Delta \lambda =\lambda '-\lambda$ последней имеет вид:

${\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\;=\;{\frac {E_{1}}{m_{2}}}\,(1-\cos \theta _{1}).$

Таким образом, чем больше угол рассеивания, тем сильнее увеличивается длина волны (уменьшается энергия). Чтобы относительное изменение длины волны было заметным, необходимы энергии фотона $\textstyle E_{1}$, сравнимые с массой электрона $\textstyle E_{1}\sim m_{2}$. Постоянная Планка в электрон-вольтах равна:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \hbar = \frac{h}{2\pi} =6.582\,118\,99(16)\cdot 10^{-22}\;МэВ\cdot c.}

Поэтому частоты фотона, соответствующие массе электрона $\textstyle m_{e}=0.511$ МэВ, равны $\textstyle 10^{20}$ герц. Длина волны при этом составляет $\textstyle \sim 10^{-12}$ м. Это фотоны жесткого рентгеновского излучения, которые могут быть получены при помощи рентгеновской трубки, в которой ускоренные электрическим полем электроны при резком ударе об анод испускают рентгеновские лучи (тормозное излучение). Дополнительно они выбивают электроны из внутренних электронных оболочек атомов. Замещающие их электроны с верхних энергетических уровней также испускают фотоны рентгеновского спектра. Величина $\textstyle h/mc=2.4263\cdot 10^{-12}$ м называется комптоновской длиной волны электрона. Изменение длины волны (частоты) фотона при рассеивании на электроне — это чисто квантовый эффект. В классической электродинамике при рассеивании электромагнитной волны на заряженной частице частота волны не изменится.

Выше рассмотрено столкновение в лабораторной системе отсчёта, когда одна частица покоится, а другая налетает на неё с импульсом $\textstyle p_{1}$. Термин "лабораторная система отсчёта" мы уже несколько раз использовали. Он происходит от экспериментов, в которых один вид частиц разгоняют при помощи ускорителя и направляют на неподвижную мишень, состоящую из частиц другого вида. Естественно, это достаточно условный термин, потому что в тех же лабораториях проводят и эксперименты со встречными пучками, разгоняя каждый из них в ускорителе.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь упругое столкновение двух частиц в системе отсчёта центра масс, в которой их суммарный импульс равен нулю.

На первом рисунке изображено это столкновение в динамике и нарисованы траектории частиц. Когда они сближаются, начинает сказываться сила взаимодействия между ними и траектории искривляются. Когда частицы достаточно удалились друг от друга, они снова становятся свободными и движутся с постоянной скоростью.

По определению системы центра масс модули импульсов частиц равны друг другу до и после соударения. В силу закона сохранения импульса угол рассеивания обеих частиц один и тот же, равный $\textstyle \chi$. Энергии частиц при столкновении не изменяются, так как из закона сохранения при одинаковых начальных импульсах имеем:

${\sqrt {{\tilde {\mathbf {p} }}^{2}+m_{1}^{2}}}+{\sqrt {{\tilde {\mathbf {p} }}^{2}+m_{2}^{2}}}={\sqrt {{\tilde {\mathbf {p} }}'^{2}+m_{1}^{2}}}+{\sqrt {{\tilde {\mathbf {p} }}'^{2}+m_{2}^{2}}},$

откуда $\textstyle {\tilde {\mathbf {p} }}^{2}={\tilde {\mathbf {p} }}'^{2}$, и, следовательно, $\textstyle {\tilde {E}}_{i}={\tilde {E}}'_{i}$. Энергия и импульс в системе центра масс помечены тильдой, чтобы отличать их от лабораторной системы. Скорости при одинаковых импульсах подчиняются соотношению:

$|{\tilde {\mathbf {p} }}|={\tilde {E}}_{1}{\tilde {u}}_{1}={\tilde {E}}_{2}{\tilde {u}}_{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {{\tilde {u}}_{1}/{\sqrt {1-{\tilde {u}}_{1}^{2}}}}{{\tilde {u}}_{2}/{\sqrt {1-{\tilde {u}}_{1}^{2}}}}},$

и при различных массах также различны.

Выразим энергии в лабораторной системе отсчёта через угол $\textstyle \chi$ в системе центра масс. Для этого перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся влево со скоростью $\textstyle \mathbf {v} ={\tilde {\mathbf {u} }}_{2}$. В этой системе вторая частица до столкновения покоится. Воспользуемся формулой преобразования энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}. Энергия первой частицы и модуль импульса до и после столкновения в системе центра масс не меняются: $\textstyle {\tilde {E}}_{1}={\tilde {E}}'_{1}={\tilde {E}}$, $\textstyle |{\tilde {\mathbf {p} }}_{1}|=|{\tilde {\mathbf {p} }}'_{1}|={\tilde {p}}$. В лабораторной системе энергии равны:

$E_{1}={\frac {{\tilde {E}}_{1}+{\tilde {u}}_{2}{\tilde {p}}_{1}}{\sqrt {1-{\tilde {u}}_{2}^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_{1}={\frac {{\tilde {E}}_{1}+{\tilde {u}}_{2}{\tilde {p}}_{1}\cos \chi }{\sqrt {1-{\tilde {u}}_{2}^{2}}}},$

(EQN)

где учтено, что после столкновения энергия не изменяется и скалярное произведение $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {p}$ равно произведению модулей на косинус угла $\textstyle \chi$.

Поэтому переданная энергия в лабораторной системе равна:

$E'_{1}-E_{1}=-{\frac {{\tilde {p}}_{1}{\tilde {u}}_{2}}{\sqrt {1-{\tilde {u}}_{2}^{2}}}}\,(1-\cos \chi )=-{\frac {{\tilde {p}}^{2}}{m_{2}}}\,(1-\cos \chi ),$

где $\textstyle {\tilde {u}}_{2}$ выражена через $\textstyle {\tilde {p}}_{2}$, равный $\textstyle {\tilde {p}}$ (в системе центра масс). Чтобы его найти, воспользуемся первым соотношением (), в которое подставим связь энергии и импульса $\textstyle {\tilde {E}}_{1}={\sqrt {{\tilde {p}}^{2}+m_{1}^{2}}}$, а также импульса и скорости $\textstyle 1+{\tilde {p}}^{2}/m_{2}^{2}=1/(1-{\tilde {u}}_{2}^{2})$:

$E_{1}={\frac {{\tilde {E}}_{1}}{\sqrt {1-{\tilde {u}}_{2}^{2}}}}+{\frac {{\tilde {p}}^{2}}{m_{2}}}={\sqrt {{\tilde {p}}^{2}+m_{1}^{2}}}\;{\sqrt {1+{\tilde {p}}^{2}/m_{2}^{2}}}+{\frac {{\tilde {p}}^{2}}{m_{2}}}.$

Решая это уравнение относительно $\textstyle {\tilde {p}}$, получаем:

${\frac {{\tilde {p}}^{2}}{m_{2}}}=\varepsilon ={\frac {(E_{1}^{2}-m_{1}^{2})\,m_{2}}{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{2}\,E_{1}}},$

Что даёт $\textstyle E'_{1}$, а при помощи закона сохранения и $\textstyle E'_{2}=E_{1}+m_{2}-E'_{1}$:

$E'_{1}=E_{1}-\varepsilon \,(1-\cos \chi ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_{2}=m_{2}+\varepsilon \,(1-\cos \chi ).$

Таким образом, энергии рассеянных частиц в лабораторной системе достаточно просто связаны с углом $\textstyle \chi$ поворота импульсов в системе центра масс. Величина $\textstyle \varepsilon \,(1-\cos \chi )$ является энергией, переданной первой частицей, и она тем больше, чем больше $\textstyle \chi$. При "лобовом" столкновении, когда $\textstyle \chi =\pi$, эта энергия максимальна и равна $\textstyle 2\varepsilon$.

В заключение рассмотрим один важный аспект, связанный с законами сохранения \cite{Fock}. Если частицы взаимодействуют, то скорость конкретной частицы изменяется. Поэтому её энергия и импульс должны вычисляться в конкретный момент времени. При записи закона сохранения, например, импульса мы суммируем импульсы частиц, вычисленные в данный момент времени в конкретной системе отсчёта. Однако, так как частицы находятся в различных точках пространства, в другой системе такая сумма будет соответствовать не одновременным моментам времени!

В результате, вообще говоря, закон сохранения имеет однозначный смысл, только когда частицы ещё не взаимодействовали или после этого взаимодействия. В этом случае они движутся с постоянными скоростями (импульсами), и даже не одновременные значения импульсов, дадут одинаковую сумму. Мы подробнее рассмотрим этот вопрос в последнем разделе главы.

---

Кинетическая энергия <<	Оглавление (Глава 3)	>> Космические полёты

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии