Масса

Принцип параметрической неполноты <<	Оглавление (Глава 1)	>> Релятивистские законы сохранения

---

$\textstyle \bullet$ После пространства и времени масса — наиболее загадочное свойство, характеризующее объекты окружающего мира. Исаак Ньютон определил массу следующим образом:

Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объёму её. \cite{Newton}

В дальнейшем это определение неоднократно подвергалось критике, так как более естественно выглядит определение плотности через массу и объём: $\textstyle \rho =m/V$. Тем не менее, для тел одинаковой плотности вычисление массы через их геометрические характеристики выглядит достаточно привлекательным. Если бы существовали фундаментальные частицы, обладающие одинаковой массой, тогда вполне подошло бы определение, аналогичное определению Ньютона. Например, с зарядом ситуация обстоит именно таким образом. Однако пока не существует последовательных теорий, вводящих квантование масс частиц подобно квантованию их зарядов.

Масса в качестве коэффициента входит в различные соотношения классической механики. Так, если $\textstyle \mathbf {u}$, $\textstyle \mathbf {a}$ — это скорость и ускорение частицы, $\textstyle E$, $\textstyle \mathbf {p}$ — кинетическая энергия и импульс, а $\textstyle \mathbf {F}$ — сила, которая действует на частицу, то возможны следующие "определения" инертной массы:

$m\mathbf {a} =\mathbf {F} ,\;\;\;\;\;\;\;m\mathbf {u} =\mathbf {p} ,\;\;\;\;\;\;\;\;m=2E/\mathbf {u} ^{2}.$

Скорость и ускорение сводятся к кинематике, а следовательно, к измерению длины и времени. Поэтому в динамике они являются "хорошо" определёнными величинами. Этого нельзя сказать о силе, импульсе и энергии. Скорее, их нужно определять при помощи массы. Можно попытаться исключить динамические величины из определения массы. Пусть существует эталонная сила, одинаково действующая на две различные массы $\textstyle m_{1}$ и $\textstyle m_{2}$. В качестве такой силы может быть выбрана сила воздействия первой частицы на вторую, равная с обратным знаком воздействию второй частицы на первую (3-й закон Ньютона). В результате законы Ньютона приводят к соотношению $\textstyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}$, которое одновременно оказывается законом динамики и определением массы частицы.

Мы рассмотрим другой способ определения массы, основанный на задаче упругого соударения и соображениях симметрии. Инертные свойства массы проявляются при попытке изменить скорость объекта. Чтобы его скорость изменилась, необходимо некоторое воздействие со стороны других тел, например, в результате их столкновения.

Рассмотрим две различные частицы, которые сталкиваются, а затем разлетаются, двигаясь вдоль одной прямой. Если частицы после столкновения остались "теми же", то мы называем такое столкновение упругим.

Аксиома I. При упругом столкновении двух различных частиц существует система отсчёта, в которой скорости частиц после столкновения меняют свой знак, но не абсолютную величину.

Действительно, если у частицы $\textstyle A$ в некоторой системе отсчёта до столкновения скорость $\textstyle {\bar {u}}_{1}$, а после $\textstyle -{\bar {u}}_{2}$, то, двигаясь относительно этой системы с подходящей скоростью $\textstyle v$, можно уравнять эти скорости по модулю:

В такой системе, в силу симметрии, окажется неизменным и модуль скорости частицы $\textstyle B$. Подобное свойство симметрии упругого столкновения можно связать с обратимостью времени. Действительно, если прокрутить в обратном направлении фильм об этом соударении, мы не должны заметить никакой разницы ни в скоростях, ни во "внешнем виде" частиц.

Аксиома II. Каждая частица характеризуется вещественным скалярным параметром (массой). Эти параметры определяют скорости $\textstyle u_{1}$, $\textstyle u_{2}$ при упругом симметричном столкновении.

Если массы частицы $\textstyle A$ и $\textstyle B$ равны $\textstyle m_{1}$ и $\textstyle m_{2}$, то справедливо следующее правило упорядочивания:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin{array}»): {\displaystyle \begin{array}{lll} m_1<m_2, & \;\;\;если\;\;\; & u_1>u_2;\\ m_1=m_2, & \;\;\;если\;\;\; & u_1=u_2;\\ m_1>m_2, & \;\;\;если\;\;\; & u_1<u_2.\\ \end{array}}

Однако это определение не даёт измерительных инструкций для вычисления абсолютного значения массы. Необходимо задать некоторую функцию $\textstyle m_{2}/m_{1}=F(u_{1},u_{2})$, позволяющую получать отношение масс. То, что массы входят в виде отношения $\textstyle m_{2}/m_{1}$, можно мотивировать (но не доказать) при помощи следующего мысленного эксперимента:

Пусть кубики с пометками $\textstyle A$ эквивалентны друг другу и отличны от кубиков $\textstyle B$. Эти свойства устанавливаются при помощи правила упорядочивания. Столкновение верхних и нижних кубиков будет происходить одинаковым образом. С другой стороны, пары кубиков $\textstyle AA$ и $\textstyle BB$ можно рассматривать как единые объекты, имеющие вдвое больше "материи".

В результате будем считать, что справедлива

Аксиома III. Пропорциональное увеличение масс не изменяет значения скоростей частиц при их упругом столкновении.

Отношение масс двух частиц должно согласовываться с аналогичным отношением, полученным при столкновении с другими частицами. Поэтому потребуем, чтобы выполнялась аксиома транзитивности:

Аксиома IV.

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle если\;\;\frac{m_2}{m_1}=F(u_1,u_2),\;\;\;\;\;и\;\;\;\; \frac{m_3}{m_2}=F(u_2,u_3),\;\;\;\;\;то\;\;\;\; \frac{m_3}{m_1}=F(u_1,u_3).}

Первые два соотношения — это определения функции $\textstyle F$. В третьем скорость $\textstyle u_{3}$ та же, что и во втором отношении $\textstyle m_{3}/m_{2}$. Это очень сильное требование. Мы проиллюстрируем его на эксперименте, в котором сначала сталкиваются частицы $\textstyle C$ и $\textstyle B$, а затем $\textstyle A$ и $\textstyle C$:

Пусть $\textstyle A$ и $\textstyle B$ движутся с теми же скоростями, что и в отсутствие $\textstyle C$, а скорость $\textstyle u_{3}$ подобрана так, чтобы выполнялось условие симметричности разлёта $\textstyle C$ и $\textstyle B$ после их столкновения: $\textstyle m_{3}/m_{2}=F(u_{2},u_{3})$. Если затем, при столкновении $\textstyle A$ и $\textstyle C$, эти частицы развернут свои скорости, то частица $\textstyle C$ окажется в своём первоначальном состоянии, двигаясь вправо со скоростью $\textstyle u_{3}$. Финальная картина эквивалентна ситуации, когда $\textstyle C$ вообще не участвовала в столкновении, а $\textstyle A$ и $\textstyle B$ сталкиваются в соответствии с отношением их масс. Из транзитивности следует, что

$F(u_{1},u_{2})F(u_{2},u_{3})=F(u_{1},u_{3}).$

Массы в это соотношение не входят и скорость $\textstyle u_{3}$ является произвольной (ей соответствует произвольная масса $\textstyle m_{3}$). Она не зависит от $\textstyle u_{1}$, $\textstyle u_{2}$, поэтому для неё можно задать некоторое фиксированное значение, например, $\textstyle u_{3}=0$. Следовательно, функция $\textstyle F(u_{1},u_{2})$ является отношением двух одинаковых функций $\textstyle F(u_{1},0)/F(u_{2},0)$, зависящих от $\textstyle u_{1}$ и $\textstyle u_{2}$:

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}=F(u_{1},u_{2})={\frac {f(u_{1})}{f(u_{2})}}.$

(1.19)

В рамках классической механики для определения функции $\textstyle f(u)$ достаточно потребовать, чтобы масса не зависела от единиц измерения скорости. Например, при любой скорости просмотра фильма о соударении частиц (1.19) должно приводить к одному и тому же отношению $\textstyle m_{2}/m_{1}$.

Если в функции $\textstyle f(u)$ нет никаких других параметров с размерностью времени (например, фундаментальной скорости $\textstyle c$!), то справедлива:

Аксиома V.

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {f(\lambda \,u_{1})}{f(\lambda \,u_{2})}},$

где $\textstyle \lambda$ — произвольный параметр, не зависящий от скоростей и масс. Это условие полностью определяет вид функции $\textstyle f(u)$. Действительно, возьмём производную по $\textstyle \lambda$ от уравнения $\textstyle m_{1}f(\lambda \,u_{1})=m_{2}f(\lambda \,u_{2})$ и разделим её на исходное уравнение:

${\frac {f'(\lambda \,u_{1})\,u_{1}}{f(\lambda \,u_{1})}}={\frac {f'(\lambda \,u_{2})\,u_{2}}{f(\lambda \,u_{2})}}.$

Выберем $\textstyle \lambda =1/u_{2}$ и введём обозначения $\textstyle x=u_{1}/u_{2}$ и $\textstyle a=f'(1)/f(1)$. Это даст следующее дифференциальное уравнение:

${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {a}{x}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x)=f_{0}\cdot x^{a},$

где $\textstyle f_{0}$ — константа интегрирования. Следовательно:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \frac{m_2}{m_1} = \frac{u_1^\alpha}{u_2^a},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{m_2^{1/a}}{m_1^{1/a}} = \frac{u_1}{u_2}.}

Выбор парамера $\textstyle a$ произволен и сводится к деформации шкалы масс: $\textstyle m\mapsto m^{a}$. В простейшем случае $\textstyle a=1$ получаем следующее определение:

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}.$

(1.20)

Таким образом, свойство транзитивности операции измерения массы и её независимость от единиц измерения скорости полностью определяют (с точностью до степенной деформации) связь скоростей частиц и отношения их масс. Можно зафиксировать массу некоторой частицы как эталон. Тогда массы остальных частиц выражаются в долях эталонной массы при помощи симметричного столкновения и соотношения (1.20).

Содержание этого раздела не претендует на построение последовательной аксиоматики инертной массы в классической механике. То, что любая частица "сопротивляется" изменению её скорости, является фундаментальным свойством нашего Мира. На данном уровне понимания его законов мы принимаем это свойство, как экспериментальный факт. Оно является таким же основополагающим, как и существование пространства и времени. Без массы механика оказывается достаточно бедной математической теорией, описывающей невзаимодействующие материальные точки.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь частный случай симметричного столкновения двух одинаковых частиц:

Кроме обратимости времени, существует ещё один способ "объяснения" сохранения модуля скоростей частиц после их столкновения. Предположим, что некоторая функция квадрата скорости при упругом соударении остаётся неизменной. Эта функция на заре её введения поэтично называлась живой силой, однако со временем стала более прозаично именоваться энергией. В силу изотропности пространства энергия должна зависеть от квадрата вектора скорости $\textstyle E=E(\mathbf {u} ^{2})$ и, соответственно, быть скаляром. Если суммарная "живая сила" тел в процессе упругого симметричного столкновения сохраняется, то модули скоростей финальных частиц не изменятся. Естественно, для объяснения и так "очевидно симметричного" эксперимента введение новой сущности выглядит ненужным. Однако она оказывается очень полезной, когда такой явной симметрии нет.

Приняв определение $\textstyle m_{1}u_{1}=m_{2}u_{2}$ и предположив, что энергия частицы пропорциональна её массе $\textstyle E=m\,g(\mathbf {u} ^{2})$, можно получить явный вид функции $\textstyle g$ при помощи преобразований Галилея и следующей аксиомы:

Аксиома VI. Масса — это собственная характеристика частицы. Она одинаковая для всех инерциальных наблюдателей.

Рассмотрим закон сохранения энергии для симметричного упругого столкновения частиц с массами $\textstyle m_{1}$ и $\textstyle m_{2}$ из системы, движущейся с произвольной скоростью $\textstyle \mathbf {v}$. Скорости в этой системе изменяются $\textstyle \mathbf {u} \mapsto \mathbf {u} -\mathbf {v}$, а массы — нет. Поэтому закон сохранения энергии имеет следующий вид:

$m_{1}\,g[(u_{1}-v)^{2}]+m_{2}\,g[(-u_{2}-v)^{2}]=m_{1}\,g[(-u_{1}-v)^{2}]+m_{2}\,g[(u_{2}-v)^{2}].$

Взяв производную по $\textstyle v$ и положив $\textstyle v=0$, с учётом $\textstyle m_{1}\,u_{1}=m_{2}\,u_{2}$ получаем:

$m_{1}\,g'(u_{1}^{2})\,u_{1}=m_{2}\,g'(u_{2}^{2})\,u_{2}\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;g'(u_{1}^{2})=g'(u_{2}^{2})=const.$

Так как массы сократились, в силу их произвольности $\textstyle u_{1}$ и $\textstyle u_{2}$ — также произвольные и независимые величины. Поэтому последнее соотношение выполняется только, если оно равно константе. Следовательно, функция $\textstyle g(\mathbf {u} ^{2})$ линейна по квадрату скорости.

Закона сохранения энергии недостаточно для полного "объяснения" симметрии столкновения одинаковых тел. Так как $\textstyle E$ зависит от квадрата скорости, не запрещена ситуация, когда после столкновения обе частицы полетят в одну сторону. Поэтому требуется ещё одна сохраняющаяся величина — импульс, который уже зависит от направления скорости. Его вид можно получить из закона сохранения энергии при помощи преобразований Галилея и инвариантности массы. Запишем выражение для суммарной энергии нескольких частиц, движущихся со скоростями $\textstyle \mathbf {u} _{i}$:

$\sum _{i}m_{i}\,{\frac {\mathbf {u} _{i}^{2}}{2}}=const.$

Выбор множителя при $\textstyle m\mathbf {u} ^{2}$ в случае упругого столкновения произволен, и он положен равным $\textstyle 1/2$. Для наблюдателя, движущегося со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$ относительно "неподвижной" системы отсчёта, в которой происходит столкновение, скорости всех частиц изменятся на величину $\textstyle \mathbf {v}$. В силу равноправия инерциальных наблюдателей энергия должна сохраняться в любой системе отсчёта, поэтому:

$\sum _{i}m_{i}{\frac {(\mathbf {u} _{i}-\mathbf {v} )^{2}}{2}}=\sum _{i}m_{i}{\frac {\mathbf {u} _{i}^{2}}{2}}+\mathbf {v} \sum _{i}m_{i}\mathbf {u} _{i}+{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{2}}\sum _{i}m_{i}=const.$

Первый член после знака равенства является константой в силу закона сохранения энергии. Так как скорость $\textstyle \mathbf {v}$ произвольна, должны также сохраняться суммарный импульс и масса системы:

$\sum _{i}m_{i}\mathbf {u} _{i}=const,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum _{i}m_{i}=const,$

Для их вывода можно взять производную по $\textstyle \mathbf {v}$ от закона сохранения. Приравнивая $\textstyle \mathbf {v} =0$, мы получим закон сохранения суммарного импульса. Ещё одна производная по $\textstyle \mathbf {v}$ даст закон сохранения массы. Если бы энергия зависела от квадрата скорости нелинейным образом, то при выполнимости линейных преобразований Галилея у нас возникло бы не три закона сохранения, а больше.

В законах присутствует один и тот же параметр, характеризующий частицу, — её масса $\textstyle m$. В частности, сохранение импульса при симметричном упругом столкновении приводит к полученному выше определению классической массы:

$m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}=-m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}.$

Закон сохранения энергии при этом выполняется автоматически независимо от явного вида функции $\textstyle E(\mathbf {u} ^{2})$.

---

Принцип параметрической неполноты <<	Оглавление (Глава 1)	>> Релятивистские законы сохранения

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии