Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца

Версия для печати: pdf

---

Введение <<	Оглавление	>> Лоренцевское сокращение

---

Пусть начало инерциальной системы отсчёта $\textstyle K'$ движется относительно "неподвижной" системы $\textstyle K$ со скоростью $\textstyle {\mathbf {v} }$. Время и координаты некоторого события, наблюдаемого из системы $\textstyle K$, обозначим как $\textstyle (t,\mathbf {r} )$. Это же событие в системе $\textstyle K'$ имеет время и координаты со штрихами $\textstyle (t',\mathbf {r} ')$. Рассмотрим сначала одномерное движение вдоль оси $\textstyle x$ со скоростью $\textstyle v$. Будем считать, что в момент времени $\textstyle t=t'=0$ начала систем отсчёта совпадают: $\textstyle x=x'=0$. Чтобы связь между наблюдениями события имела смысл, необходимо согласовать единицы измерения длины и времени в обоих системах отсчёта. Единицы длины можно согласовать при помощи "сравнения линеек" в перпендикулярном к относительной скорости направлении. Такими "линейками" может быть, например, расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно оси $\textstyle x$.

Постулируется, что координаты $\textstyle y$ и $\textstyle y'$ будут одинаковыми в обоих системах отсчёта: $\textstyle y'=y$. Единицы времени выбираются в результате соглашения о значении относительной скорости систем отсчёта. В частности, если начало системы $\textstyle K'$ ($\textstyle x'=0$) имеет уравнение движения $\textstyle x=vt$, то начало $\textstyle K$ ($\textstyle x=0$) относительно системы $\textstyle K'$, движется следующим образом: $\textstyle x'=-vt'$. После такого согласования единиц измерения, используя аксиоматику Эйнштейна или групповой подход , , , можно получить преобразования Лоренца в следующем виде:

$t'=\gamma \,(t-vx),\;\;\;\;\;\;\;x'=\gamma \,(x-vt),\;\;\;\;\;\;\;y'=y,$

(5)

где $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}}}$ — фактор Лоренца.

При движении вдоль оси $\textstyle x$ координатные оси обоих систем отсчёта предполагаются параллельными друг другу. Обратные преобразования получаются перестановкой "штрихованных" и "нештрихованных" величин местами и заменой $\textstyle v\mapsto -v$.

Пусть теперь относительная скорость $\textstyle \mathbf {v}$ двух систем отсчёта направлена произвольным образом. Фиксирование значений компонент вектора $\textstyle \mathbf {v} =\{v_{x},v_{y},v_{z}\}$ (и с обратным знаком для $\textstyle K'$), означает также выбор определённой ориентации координатных осей в каждой системе отсчета. Пусть наблюдатели в системе $\textstyle K$ при данном выборе координатных осей получают, например, следующие компоненты относительной скорости: $\textstyle \mathbf {v} =\{0.1,\,0.3,\,0.5\}$. Тогда наблюдатели в системе $\textstyle K'$ должны выбрать направление координатных осей таким образом, чтобы относительная скорость для них имела компоненты: $\textstyle \mathbf {v} '=\{-0.1,\,-0.3,\,-0.5\}$. Такая процедура позволяет ориентировать координатные оси систем отсчёта так, чтобы они были в некотором смысле "параллельны" друг другу.

В 3-мерном пространстве компоненты скорости не изменятся, если координатный базис повернуть вокруг вектора $\textstyle \mathbf {v}$. Поэтому для однозначной фиксации осей, вообще говоря, требуется ещё одно направление. Например, наблюдатели могут согласовать координаты двух параллельных "линеек", расположенных ортогонально к относительной скорости (аналогично, параллельны оси $\textstyle y$,$\textstyle y'$ и $\textstyle z$,$\textstyle z'$ при движении вдоль оси $\textstyle x$).

Рисунок 3. Согласование единиц измерения двумя системами отсчёта.

Для вывода преобразований Лоренца в векторном виде, радиус-вектор $\textstyle {\mathbf {r} }$ раскладывается по двум векторам $\textstyle {\mathbf {r} }={\mathbf {r} }_{\shortparallel }+{\mathbf {r} }_{\perp }$: параллельному к скорости $\textstyle {\mathbf {r} }_{\shortparallel }=(\mathbf {r} \mathbf {v} )\mathbf {v} /v^{2}$ и перпендикулярному $\textstyle {\mathbf {r} }_{\perp }$. Для них выполняются обычные преобразования Лоренца (5):

$t'=\gamma \,(t-{\mathbf {v} }{\mathbf {r} }_{\shortparallel }),\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {r} }'_{\shortparallel }=\gamma \,({\mathbf {r} }_{\shortparallel }-{\mathbf {v} }t),\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {r} }'_{\perp }={\mathbf {r} }_{\perp }.$

(6)

Подставляя их в $\textstyle {\mathbf {r} }'={\mathbf {r} }'_{\shortparallel }+{\mathbf {r} }'_{\perp }$ и заменяя $\textstyle {\mathbf {r} }_{\perp }$ на $\textstyle {\mathbf {r} }-{\mathbf {r} }_{\shortparallel }$, несложно записать преобразования Лоренца в векторном виде:

$t'=\gamma \,(t-{\mathbf {v} }{\mathbf {r} }),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {r} }'={\mathbf {r} }-\gamma {\mathbf {v} }t+\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }{\mathbf {r} }),$

(7)

где кроме фактора $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}}}$, $\textstyle v=|\mathbf {v} |$ введено обозначение для величины $\textstyle \Gamma$, которая обладает следующими свойствами:

$\Gamma ={\frac {\gamma -1}{v^{2}}}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma -\Gamma ={\frac {\gamma }{\gamma +1}}.$

(8)

Обратные преобразования Лоренца получаются заменой $\textstyle {\mathbf {v} }\mapsto -{\mathbf {v} }$.

Преобразования Лоренца являются пассивными (см. приложение А), т.к. связывают результаты наблюдения одного и того же события относительно различных систем отсчёта. Учитывая процедуру согласования `'параллельности" координатных осей двух систем отсчёта, соотношения (7) можно расписать по компонентам для $\textstyle \mathbf {r} =\{x,y,z\}$, $\textstyle \mathbf {r} '=\{x',y',z'\}$ и скорости $\textstyle \mathbf {v} =\{v_{x},v_{y},v_{z}\}$ (компоненты которой заданы относительно $\textstyle K$). В результате получится связь времени и координат одного и того же события, регистрируемого различными наблюдателями.

Пусть наблюдатели в системе $\textstyle K$ одновременно (по своим часам) фиксируют положение осей системы $\textstyle K'$. В следующем разделе мы покажем, что эти оси (в общем случае) оказываются не только не параллельными к осям системы $\textstyle K$, но даже и не являются ортогональным базисом (с точки зрения неподвижных наблюдателей). Поэтому "параллельность" координатных осей в преобразованиях Лоренца (7) необходимо понимать только в том смысле, что наблюдатели выполнили описанную выше процедуру согласования единиц измерения и после этого независимо (по компонентам скорости $\textstyle \mathbf {v}$) задали ориентацию координатных осей.

Примчания

---

Введение <<	Оглавление	>> Лоренцевское сокращение