Франк Роте 1911 II

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

---

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

---

II

7. Теперь выберем систему координат $\textstyle S$, состоящую из одной неподвижной прямой — оси $\textstyle x$ и неподвижной точки $\textstyle O$ — начала координат. На оси $\textstyle x$ представим неподвижную шкалу с началом отсчета в точке $\textstyle O$ и часы, размещенные в каждой точке шкалы. Затем рассмотрим движение материальной точки $\textstyle M$ вдоль оси $\textstyle x$ так, что каждому ее положению соответствует определённая пара значений $\textstyle t,x$, то есть определённое положение стрелок тех часов, которые находятся в точке $\textstyle x$ оси, с которой совпадает точка $\textstyle M$, и определённое деление шкалы. Любое такое движение представляется в виде уравнения (25), и скорость $\textstyle w$ тогда задается с помощью первого из уравнений (27).

Если мы рассмотрим величины $\textstyle t,x$ как координаты точки $\textstyle P$ в плоскости $\textstyle t,x$, то каждому положению $\textstyle M$ соответствует определенная точка $\textstyle P$, которая называется относящейся к этому положению пространственно-временной точкой; $\textstyle t,x$ назовем пространственно-временными координатами, измеренными в системе $\textstyle S$. Всё движение точки $\textstyle M$ представляется непрерывной последовательностью пространственно-временных координат, т.е. кривой $\textstyle \Gamma$, уравнение которой — уравнение (25), и которая называется мировой линией этого движения. Скорость $\textstyle w$ в момент времени $\textstyle t$ равна коэффициенту наклона касательной мировой линии в пространственно-временной точке $\textstyle P$. Мировая линия, соответствующая равномерному движению точки $\textstyle M$, является прямой.

8. Наряду с системой $\textstyle S$, мы рассмотрим на той же прямой ещё одно бесконечное множество других систем $\textstyle S'$ (т.е. других измерений длины и времени), каждое из которых связано с определённым значением параметра $\textstyle p$ таким образом, что разным значениям $\textstyle p$ соответствуют разные системы $\textstyle S'$.

Любая пространственно-временная точка $\textstyle P$ с пространственно-временными координатами $\textstyle t,x$ в системе $\textstyle S$, должна также иметь определенные пространственно-временные координаты $\textstyle t',x'$ в каждой из систем $\textstyle S'$, которые зависят только от $\textstyle t,x$ и $\textstyle p$; т. е. пространственно-временные координаты $\textstyle t,x$ и $\textstyle t',x'$ точки $\textstyle P$ в системах $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ должны быть связанными посредством уравнений вида (6). Величины $\textstyle t',x'$ называются shape измеренными в системе $\textstyle S'$ пространственно-временными координатами точки $\textstyle P$. Таким образом, соответственно бесконечному количеству пространственно-временных точек, существует бесконечное количество пар значений $\textstyle t',x'$, которые соответствуют бесконечному числу значений параметра $\textstyle p$. Эти пары могут быть получены из $\textstyle t,x$ через однопараметрическое множество $\textstyle {\mathfrak {G}}$ преобразований (6) .

Если мы выполним одно за другим два преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ так, что с помощью уравнений преобразования (6) от одной системы $\textstyle S$ перейдем ко второй системе $\textstyle S'$, а от нее — снова с помощью уравнений (7) — к третьей системе $\textstyle S''$, то произведение обоих преобразований, т.е. преобразование (8), которое непосредственно дает переход от $\textstyle S$ к $\textstyle S''$, должно тоже принадлежать множеству $\textstyle {\mathfrak {G}}$. Это значит, что множество $\textstyle {\mathfrak {G}}$ должно обладать групповым свойством.

Далее допустим, что среди систем $\textstyle S'$ встречается сама изначальная система $\textstyle S$. Тогда, если с ней связано значение параметра $\textstyle p_{0}$, то уравнения (6) при $\textstyle p=p_{0}$ должны превращаться в уравнения (15), т.е. множество $\textstyle {\mathfrak {G}}$ должно содержать тождественное преобразование.

Наконец, предположим, что во множестве $\textstyle {\mathfrak {G}}$ для каждого преобразования имеется обратное, то есть для каждого значения параметра $\textstyle p$ существует другое, $\textstyle {\bar {p}}$, такое, что $\textstyle p$ и $\textstyle {\bar {p}}$ удовлетворяют уравнению (18). Тогда преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ образуют однопараметрическую группу $\textstyle {\mathfrak {G}}$, и мы можем три вышеуказанных допущения свести в одно, предположив, что:

shape Преобразования (6), которые описывают переход от пространственно-временных координат $\textstyle t,x$, измеренных в изначальной системе $\textstyle S$, к пространственно-временным координатам $\textstyle t',x'$, измеренным в системе $\textstyle S'$, образуют однопараметрическую группу с параметром $\textstyle p$.

9. Для дальнейшего уточнения определения группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$, сделаем теперь следующие дополнительные допущения:

А. Всякое движение материальной точки $\textstyle M$, которое в отношении неподвижной системы $\textstyle S$ является равномерным, должно также быть равномерным в отношении каждой из двигающихся систем $\textstyle S'$. Следовательно, если мировая линия $\textstyle \Gamma$ движения точки $\textstyle M$ является прямой в $\textstyle S$, то мировая линия $\textstyle \Gamma '$ этого движения в системе $\textstyle S'$ должна также быть прямой; т.е. преобразования группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$ должны иметь такие свойства, чтобы преобразовывать прямую снова в прямую.

Однако, единственные преобразования этого вида являются проективными , т.е. такими, уравнения которых (6) имеют следующий специальный вид:

$\left\{{\begin{array}{lll}t'=\displaystyle {\frac {a_{11}(p)t+a_{12}(p)x+a_{13}(p)}{a_{31}(p)t+a_{32}(p)x+a_{33}(p)}},\\[4mm]x'=\displaystyle {\frac {a_{21}(p)t+a_{22}(p)x+a_{23}(p)}{a_{31}(p)t+a_{32}(p)x+a_{33}(p)}}.\end{array}}\right.$

(38)

Итак, группа $\textstyle {\mathfrak {G}}$ определяется как однопараметрическая проективная группа.

В. Всякая пространственно-временная точка, имеющая конечные координаты $\textstyle t,x$ в отношении системы $\textstyle S$, должна также иметь конечные координаты $\textstyle t',x'$ в отношении любой системы $\textstyle S'$. Отсюда следует [5] , что в уравнениях (38) должно быть:

$a_{31}(p)\equiv 0,\;\;\;\;a_{32}(p)\equiv 0.$

(39)

Если мы обозначим

${\frac {a_{ik}(p)}{a_{33}(p)}}\;\;\;\;(i=1,2;k=1,2,3)$

(40)

через $\textstyle a_{ik}(p)$, то (38) принимают вид:

$\left\{{\begin{array}{lll}t'=a_{11}(p)t+a_{12}(p)x+a_{13}(p),\\[2mm]x'=a_{21}(p)t+a_{22}(p)x+a_{23}(p).\end{array}}\right.$

(41)

Преобразования (41) оставляют бесконечно удаленную прямую из плоскости $\textstyle t,x$ инвариантной и являются аффинными. Группа $\textstyle {\mathfrak {G}}$, таким образом, называется аффинной или общей линейной.

С. Наконец, точка начала отсчета пространственно-временных измерений должна оставаться той же самой во всех системах, т. е. из

$t=0,\;\;\;\;x=0$

всегда должно следовать

$t'=0,\;\;\;\;x'=0.$

Тогда должно выполняться:

$a_{13}(p)\equiv 0,\;\;\;\;a_{23}(p)\equiv 0,$

(42)

так что уравнения (41) переходят в следующие:

$t'=a_{11}(p)t+a_{12}(p)x,\;\;\;\;x'=a_{21}(p)t+a_{22}(p)x.$

(43)

Таким образом, $\textstyle t',x'$ являются линейными однородными функциями $\textstyle t,x$ с коэффициентами, которые являются функциями только параметра $\textstyle p$. Группа $\textstyle {\mathfrak {G}}$ определяется теперь как однопараметрическая, линейная однородная, и ее преобразования оставляют бесконечно удаленную прямую из плоскости $\textstyle t,x$ и саму точку начала отсчета инвариантными . Очевидно, что коэффициенты $\textstyle a_{ik}(p)$ здесь не могут быть выбраны произвольно, а должны удовлетворять определенным условиям, чтобы преобразования составляли группу. В последующих разделах мы займемся определением вида этих коэффициентов.

Примечания

---

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии