|
|
| Строка 6: |
Строка 6: |
| | ---- | | ---- |
| | | | |
| − |
| |
| − | <math>\textstyle \bullet</math> Выведем теперь второе дифференциальное уравнение для функции <math>\textstyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x, t)</math> по "будущим" аргументам <math>\textstyle x,t</math>. Пусть процесс Ито в момент времени <math>\textstyle t-\Delta t</math> имеет значение <math>\textstyle x</math>. Спустя малый интервал времени <math>\textstyle \Delta t</math> он будет иметь значение <math>\textstyle y</math>:
| |
| − |
| |
| − | {| width="100%"
| |
| − | | width="90%" align="center"|<math> y=x+a\, \Delta t + b \, \varepsilon \sqrt{\Delta t}, </math>
| |
| − | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | где <math>\textstyle a=a(x, t-\Delta t)</math>, <math>\textstyle b=b(x, t-\Delta t)</math>. Величина <math>\textstyle x</math> является случайной с плотностью распределения <math>\textstyle P(x,t-\Delta t)=P(x_0,t_0\Rightarrow x,t-\Delta t)</math>. Случайной и независимой от неё будет и <math>\textstyle \varepsilon</math> c гауссовой плотностью <math>\textstyle P(\varepsilon)</math>. В результате <math>\textstyle y</math> в момент <math>\textstyle t</math> также будет случайной величиной.
| |
| − |
| |
| − | Чтобы найти распределение <math>\textstyle P(y,t)=P(x_0,t_0\Rightarrow y,t)</math>, необходимо вычислить среднее от произвольной функции (см. стр. \pageref{aver_fun_def}):
| |
| − |
| |
| − | {| width="100%"
| |
| − | | width="90%" align="center"|<math> \left\langle F(y)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} \overbrace{F(x+a\Delta t +b\varepsilon\sqrt{\Delta t})}^{F(y)}\cdot \overbrace{P(x, t-\Delta t) P(\varepsilon)}^{P(x,\varepsilon)} \,dx\,d\varepsilon </math>
| |
| − | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | и преобразовать его таким образом, чтобы получился однократный интеграл c <math>\textstyle F(y)</math> ''в момент времени'' <math>\textstyle t</math>. Обратим внимание, что, если в () <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle y</math> и <math>\textstyle \varepsilon</math> — это случайные величины, потенциально принимающие любые значения, то в () они же выступают в виде обычных вещественных переменных интегрирования.
| |
| − |
| |
| − | Так как <math>\textstyle \Delta t</math> малo, разложим <math>\textstyle F(..)</math> в ряд, оставляя члены порядка не более <math>\textstyle \Delta t</math>:
| |
| − |
| |
| − | :<center><math>F(x+a\Delta t +b\varepsilon\sqrt{\Delta t})= F(x)+\frac{\partial F}{\partial x}\,\bigl(a\,\Delta t + b\,\varepsilon \,\sqrt{\Delta t}\bigr) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \,b^2\,\varepsilon^2 \,\Delta t +...</math></center>
| |
| − |
| |
| − | Все функции справа вычислены в точке <math>\textstyle x</math> и в момент времени <math>\textstyle t</math>. Заметим, что в () функции вычислялись в момент времени <math>\textstyle t-\Delta t</math>. На самом деле их тоже необходимо разложить по <math>\textstyle \Delta t</math>. Однако эти ряды будут умножаться на <math>\textstyle \Delta t</math>, <math>\textstyle \sqrt{\Delta t}</math> и окажутся малыми более высокого порядка. Поэтому можно взять ведущее приближение разложения и считать в дальнейшем, что <math>\textstyle a=a(x,t)</math>, <math>\textstyle b=b(x,t)</math>.
| |
| − |
| |
| − | Аналогично раскладывается плотность вероятности по <math>\textstyle \Delta t</math>:
| |
| − |
| |
| − | :<center><math>P(x, t-\Delta t) = P(x, t) - \frac{\partial P(x, t)}{\partial t}\,\Delta t + ...</math></center>
| |
| − |
| |
| − | Этим соотношением мы связываем плотности вероятности в два бесконечно близких момента времени, в результате чего в конечном уравнении появится частная производная по времени.
| |
| − |
| |
| − | Подставим последние два разложения в (), выдерживая порядок малости по <math>\textstyle \Delta t</math>. Интегрирование по <math>\textstyle \varepsilon</math> сводится к <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math>, <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1</math>, и в результате:
| |
| − |
| |
| − | :<center><math>\left\langle F(y)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} F(x)P(x,t)dx - \Delta t \int\limits^\infty_{-\infty} \left[ F\,\frac{\partial P}{\partial t} -\frac{\partial F}{\partial x}\;a P - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \; b^2 P \right] dx.</math></center>
| |
| − |
| |
| − | Во втором интеграле <math>\textstyle F=F(x)</math>, <math>\textstyle P=P(x,t)</math>. Первый интеграл представляет определение искомого среднего ''в момент времени'' <math>\textstyle t</math> (переменная интегрирования <math>\textstyle x</math> может быть переобозначена в <math>\textstyle y</math>). Поэтому второй интеграл должен быть равен нулю. Интегрируя по частям один раз второе слагаемое в квадратных скобках и два раза третье (<math>\textstyle \lessdot</math> C), получим <math>\textstyle F(x)</math>, умноженную на выражение:
| |
| − |
| |
| − | {| width="100%"
| |
| − | | width="90%" align="center"|<math> { \;\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ a(x,t) \cdot P\bigr] - \frac{1}{2}\;\frac{\partial^2}{\partial x^2_{}} \;\bigl[ b^2(x,t) \cdot P \bigr]= 0\; }, </math>
| |
| − | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | которое должно быть равно нулю (в силу произвольности <math>\textstyle F(x)</math>). Это ''уравнение Фоккера - Планка'', или ''второе уравнение Колмогорова'' для плотности условной вероятности <math>\textstyle P=P(x_0,t_0 \Rightarrow x, t)</math>.
| |
| − |
| |
| − | Решение уравнения Фоккера-Планка позволяет найти плотность вероятности условного перехода. Имея её, мы фактически знаем о марковском случайном процессе всё. Можем вычислять его среднее, волатильность, автокорреляционную функцию и отвечать на другие вопросы.
| |
| − |
| |
| − | Естественно, кроме начального условия (), предполагается наличие граничных условий для плотности вероятности. Так как мы знаем, что в момент времени <math>\textstyle t_0</math> значение <math>\textstyle x</math> было равно <math>\textstyle x_0</math>, то спустя ''конечный'' интервал времени цена или броуновская частица не могут "заблуждать" бесконечно далеко. Поэтому мы считаем, что плотность вероятности на бесконечности равна нулю. Это же требование возникает в силу ''условия нормировки'':
| |
| − |
| |
| − | {| width="100%"
| |
| − | | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^\infty_{-\infty} P(x_0, t_0 \Rightarrow x, t) \, dx = 1, </math>
| |
| − | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | имеющего смысл вероятности перехода "куда угодно".
| |
| − |
| |
| − | Так как дифференциальное уравнение () линейно относительно функции <math>\textstyle P</math>, то решение не изменяется при умножении <math>\textstyle P</math> на произвольную константу. Её значение должно фиксироваться при помощи условия нормировки ().
| |
| | | | |
| | ---- | | ---- |
