Решение уравнения Фоккера-Планка

Уравнение для плотности вероятности <<	Оглавление	>> Граничные условия

---

$\textstyle \bullet$ Выведем теперь второе дифференциальное уравнение для функции $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$ по "будущим" аргументам $\textstyle x,t$. Пусть процесс Ито в момент времени $\textstyle t-\Delta t$ имеет значение $\textstyle x$. Спустя малый интервал времени $\textstyle \Delta t$ он будет иметь значение $\textstyle y$:

$y=x+a\,\Delta t+b\,\varepsilon {\sqrt {\Delta t}},$

(EQN)

где $\textstyle a=a(x,t-\Delta t)$, $\textstyle b=b(x,t-\Delta t)$. Величина $\textstyle x$ является случайной с плотностью распределения $\textstyle P(x,t-\Delta t)=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t-\Delta t)$. Случайной и независимой от неё будет и $\textstyle \varepsilon$ c гауссовой плотностью $\textstyle P(\varepsilon )$. В результате $\textstyle y$ в момент $\textstyle t$ также будет случайной величиной.

Чтобы найти распределение $\textstyle P(y,t)=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow y,t)$, необходимо вычислить среднее от произвольной функции (см. стр. \pageref{aver_fun_def}):

$\left\langle F(y)\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\overbrace {F(x+a\Delta t+b\varepsilon {\sqrt {\Delta t}})} ^{F(y)}\cdot \overbrace {P(x,t-\Delta t)P(\varepsilon )} ^{P(x,\varepsilon )}\,dx\,d\varepsilon$

(EQN)

и преобразовать его таким образом, чтобы получился однократный интеграл c $\textstyle F(y)$ в момент времени $\textstyle t$. Обратим внимание, что, если в () $\textstyle x$, $\textstyle y$ и $\textstyle \varepsilon$ — это случайные величины, потенциально принимающие любые значения, то в () они же выступают в виде обычных вещественных переменных интегрирования.

Так как $\textstyle \Delta t$ малo, разложим $\textstyle F(..)$ в ряд, оставляя члены порядка не более $\textstyle \Delta t$:

$F(x+a\Delta t+b\varepsilon {\sqrt {\Delta t}})=F(x)+{\frac {\partial F}{\partial x}}\,{\bigl (}a\,\Delta t+b\,\varepsilon \,{\sqrt {\Delta t}}{\bigr )}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\,b^{2}\,\varepsilon ^{2}\,\Delta t+...$

Все функции справа вычислены в точке $\textstyle x$ и в момент времени $\textstyle t$. Заметим, что в () функции вычислялись в момент времени $\textstyle t-\Delta t$. На самом деле их тоже необходимо разложить по $\textstyle \Delta t$. Однако эти ряды будут умножаться на $\textstyle \Delta t$, $\textstyle {\sqrt {\Delta t}}$ и окажутся малыми более высокого порядка. Поэтому можно взять ведущее приближение разложения и считать в дальнейшем, что $\textstyle a=a(x,t)$, $\textstyle b=b(x,t)$.

Аналогично раскладывается плотность вероятности по $\textstyle \Delta t$:

$P(x,t-\Delta t)=P(x,t)-{\frac {\partial P(x,t)}{\partial t}}\,\Delta t+...$

Этим соотношением мы связываем плотности вероятности в два бесконечно близких момента времени, в результате чего в конечном уравнении появится частная производная по времени.

Подставим последние два разложения в (), выдерживая порядок малости по $\textstyle \Delta t$. Интегрирование по $\textstyle \varepsilon$ сводится к $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$, $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =1$, и в результате:

$\left\langle F(y)\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(x)P(x,t)dx-\Delta t\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[F\,{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial F}{\partial x}}\;aP-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\;b^{2}P\right]dx.$

Во втором интеграле $\textstyle F=F(x)$, $\textstyle P=P(x,t)$. Первый интеграл представляет определение искомого среднего в момент времени $\textstyle t$ (переменная интегрирования $\textstyle x$ может быть переобозначена в $\textstyle y$). Поэтому второй интеграл должен быть равен нулю. Интегрируя по частям один раз второе слагаемое в квадратных скобках и два раза третье ($\textstyle \lessdot$ C), получим $\textstyle F(x)$, умноженную на выражение:

${\;{\frac {\partial P}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\;{\bigl [}a(x,t)\cdot P{\bigr ]}-{\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{}^{2}}}\;{\bigl [}b^{2}(x,t)\cdot P{\bigr ]}=0\;},$

(EQN)

которое должно быть равно нулю (в силу произвольности $\textstyle F(x)$). Это уравнение Фоккера - Планка, или второе уравнение Колмогорова для плотности условной вероятности $\textstyle P=P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$.

Решение уравнения Фоккера-Планка позволяет найти плотность вероятности условного перехода. Имея её, мы фактически знаем о марковском случайном процессе всё. Можем вычислять его среднее, волатильность, автокорреляционную функцию и отвечать на другие вопросы.

Естественно, кроме начального условия (), предполагается наличие граничных условий для плотности вероятности. Так как мы знаем, что в момент времени $\textstyle t_{0}$ значение $\textstyle x$ было равно $\textstyle x_{0}$, то спустя конечный интервал времени цена или броуновская частица не могут "заблуждать" бесконечно далеко. Поэтому мы считаем, что плотность вероятности на бесконечности равна нулю. Это же требование возникает в силу условия нормировки:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)\,dx=1,$

(EQN)

имеющего смысл вероятности перехода "куда угодно".

Так как дифференциальное уравнение () линейно относительно функции $\textstyle P$, то решение не изменяется при умножении $\textstyle P$ на произвольную константу. Её значение должно фиксироваться при помощи условия нормировки ().

---

Уравнение для плотности вероятности <<	Оглавление	>> Граничные условия

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения