Линейность преобразований Лоренца

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Преобразования Лоренца

---

Наша задача состоит в установлении функциональной зависимости координат и времени некоторого события измеренного наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта:

$x'=f(x,t),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=g(x,t).$

Дифференциалы величин записываются стандартным образом:

$dx'=f_{x}\,dx+f_{t}\,dt,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dt'=g_{x}\,dx+g_{t}\,dt,$

где $\textstyle f_{x}$ — это частная производная функции $\textstyle f=f(x,t)$ по $\textstyle x$, и т.д. Рассмотрим некоторое тело, равномерно двигающееся вдоль оси $\textstyle x$. Его скорость, измеренная наблюдателями в системе $\textstyle S$ будем считать равной $\textstyle u$, а в системе $\textstyle S'$, соответственно $\textstyle u'$. Эти два значения между собой связаны:

$u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {f_{x}\,dx+f_{t}\,dt}{g_{x}\,dx+g_{t}\,dt}}={\frac {f_{x}\,u+f_{t}}{g_{x}\,u+g_{t}}}.$

Мы считаем, что скорость $\textstyle u=dx/dt$ является произвольной константной. Эта же скорость измеренная в $\textstyle S'$, в силу второй аксиомы, не должна зависеть от того, в какой точке системы $\textstyle S$ находится тело. Это означает, что правая часть выражения для $\textstyle u'$ не зависит от $\textstyle x$ и $\textstyle t$. Поэтому возьмём производную по $\textstyle x$ и приравняем её нулю:

${\frac {f_{xx}\,u+f_{tx}}{g_{x}\,u+g_{t}}}-{\frac {(f_{x}\,u+f_{t})(g_{xx}\,u+g_{tx})}{(g_{x}\,u+g_{t})^{2}}}=0.$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$u^{2}\cdot (f_{xx}g_{x}-g_{xx}f_{x})+u\cdot (f_{xx}g_{t}+f_{tx}g_{x}-g_{tx}f_{x}-g_{xx}f_{t})+(f_{tx}g_{t}-g_{tx}f_{t})=0.$

Функции преобразования $\textstyle f(x,t)$, $\textstyle g(x,t)$ зависят от относительной скорости наблюдателей $\textstyle v$, но, естественно, не зависят от скорости $\textstyle u$ некоторого тела летящего в пространстве. Поэтому, в силу произвольности $\textstyle u$, уравнение будет выполняться, если равны нулю коэффициенты при её степенях (можно положить $\textstyle u=0$, получив коэффициент при $\textstyle u^{0}$ равным нулю; затем взять производную по $\textstyle u$, и снова, положив $\textstyle u=0$, получить нулевым коэффициент при $\textstyle u^{1}$, и т.д.):

${\begin{array}{ll}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xx}\,g_{x}=g_{xx}\,f_{x}&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(X_{1})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xx}\,g_{t}+f_{tx}\,g_{x}=g_{tx}\,f_{x}+g_{xx}\,f_{t}&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(X_{2})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{tx}\,g_{t}=g_{tx}\,f_{t}.&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(X_{3})\end{array}}$

Это система дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.

Совершенно аналогично, беря производную $\textstyle u'$ по времени $\textstyle t$, получаем:

${\frac {f_{xt}\,u+f_{tt}}{g_{x}\,u+g_{t}}}-{\frac {(f_{x}\,u+f_{t})(g_{xt}\,u+g_{tt})}{(g_{x}\,u+g_{t})^{2}}}=0.$

Снова приводя к общему знаменателю, и приравнивая коэффциенты при степенях произвольной скорости $\textstyle u$, получаем:

${\begin{array}{ll}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xt}\,g_{x}=g_{xt}\,f_{x}&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(T_{1})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xt}\,g_{t}+f_{tt}\,g_{x}=g_{tt}\,f_{x}+g_{xt}\,f_{t}&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(T_{2})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{tt}\,g_{t}=g_{tt}\,f_{t}.&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(T_{3})\\\end{array}}$

Вычитая из уравнения $\textstyle (X_{2})$ уравнение $\textstyle (T_{1})$, а из $\textstyle (T_{2})$ — $\textstyle (X_{3})$, имеем:

${\begin{array}{ll}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xx}\,g_{t}=g_{xx}\,f_{t}&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(F_{1})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{tt}\,g_{x}=g_{tt}\,f_{x}.&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(F_{2})\\\end{array}}$

Умножим теперь $\textstyle (X_{1})$ на $\textstyle f_{t}$, а $\textstyle (F_{1})$ на $\textstyle f_{x}$, и вычтем их:

$(g_{x}f_{t}-g_{t}f_{x})\cdot f_{xx}=0.$

Выражение в круглых скобках является якобианом преобразования которой должен быть отличным от нуля. Поэтому $\textstyle f_{xx}=0$. Аналогично, умножая $\textstyle (T_{3})$ на $\textstyle f_{x}$, а $\textstyle (F_{2})$ на $\textstyle f_{t}$, приходим к равенству нулю второй производной по времени от $\textstyle f$:

$(g_{x}f_{t}-g_{t}f_{x})\cdot f_{tt}=0.$

Учитывая $\textstyle f_{xx}=f_{tt}=0$, не сложно найти $\textstyle f_{xt}=g_{xt}=0$. Равенство нулю вторых производных означает, что функции преобразования должны быть линейными.

---

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Преобразования Лоренца