Наша задача состоит в установлении функциональной зависимости координат и времени некоторого события измеренного наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта:
Дифференциалы величин записываются стандартным образом:
где 
— это частная производная функции 
по 
, и т.д. Рассмотрим некоторое тело, равномерно двигающееся вдоль оси . Его скорость, измеренная наблюдателями в системе 
будем считать равной 
, а в системе 
, соответственно 
. Эти два значения между собой связаны:
Мы считаем, что скорость 
является произвольной константной. Эта же скорость измеренная в , в силу второй аксиомы, не должна зависеть от того, в какой точке системы находится тело. Это означает, что правая часть выражения для не зависит от и 
. Поэтому возьмём производную по и приравняем её нулю:
Приводя к общему знаменателю, получаем:
Функции преобразования 
, 
зависят от относительной скорости наблюдателей 
, но, естественно, не зависят от скорости некоторого тела летящего в пространстве. Поэтому, в силу произвольности , уравнение будет выполняться, если равны нулю коэффициенты при её степенях (можно положить 
, получив коэффициент при 
равным нулю; затем взять производную по , и снова, положив , получить нулевым коэффициент при 
, и т.д.):
Это система дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.
Совершенно аналогично, беря производную по времени , получаем:
Снова приводя к общему знаменателю, и приравнивая коэффциенты при степенях произвольной скорости , получаем:
Вычитая из уравнения 
уравнение 
, а из 
— 
, имеем:
Умножим теперь 
на 
, а 
на , и вычтем их:
Выражение в круглых скобках является якобианом преобразования которой должен быть отличным от нуля. Поэтому 
. Аналогично, умножая 
на , а 
на , приходим к равенству нулю второй производной по времени от 
:
Учитывая 
, не сложно найти 
. Равенство нулю вторых производных означает, что функции преобразования должны быть линейными.
