Просмотр исходного текста страницы Прецессия ускоренного стрежня

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Ускоренное движение]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf Глава 2]) 
 | width="40%" align="right"| >> [[Четырёхмерное пространство-время]]
|}
----

В 1926 г. Люэлин Хиллет Томас \cite{Thomas1926} для объяснения расщепления линий в спектрах атомов рассмотрел движение по криволинейной траектории вращающегося шарика. Такой шарик представлял собой классическую модель электрона. Томас учёл релятивистский кинематический эффект поворота системы координат, возникающий при композиции лоренцевских преобразований, и получил правильные коэффициенты в гамильтониане взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Математику такого поворота мы рассмотрим в 5-й главе.

В настоящее время классическая модель электрона имеет только историческое значение, а правильный гамильтониан получается в квантовой теории из уравнения Дирака. Тем не менее, релятивистский эффект поворота ускоренного движущегося стержня или собственного момента вращения гироскопа представляет определённый интерес. В этом разделе мы рассмотрим движение по произвольной траектории стержня, а вопросы, связанные с гироскопом, отложим до следующей главы. Стоит отметить, что уравнения, которые мы выведем, отличаются от томасовских, так как в последних было учтено вращение системы отсчёта, но проигнорировано лоренцевское сокращение длины \cite{Stepsnov_Thomas}.

Пусть стержень движется с небольшим ускорением (но, возможно, с большой скоростью) так, что его условно можно считать жёстким. Если на такой стержень действует сила (но не момент силы), то с точки зрения классической механики он должен перемещаться в пространстве, не меняя своей ориентации. В теории относительности это не так.

Рассмотрим неподвижный относительно системы отсчёта <math>\textstyle S'</math> стержень, один конец которого находится в начале системы (точка <math>\textstyle A</math> далее на рисунке). Пусть другой, "точно такой же" стержень движется относительно него с ''небольшой'' постоянной скоростью <math>\textstyle \mathbf{u}'</math> так, что в момент времени <math>\textstyle t'=0</math> оба стержня совпадают. Можно считать, что существует один стержень, все точки которого в момент времени <math>\textstyle t'=0</math> ''одновременно'' приобретают одинаковую скорость <math>\textstyle \mathbf{u}'</math>. Такой стержень ускоряется, перемещаясь параллельно относительно своего предыдущего положения.

Относительно системы <math>\textstyle S</math> в момент времени <math>\textstyle t=0</math> концы стержней в точке <math>\textstyle A</math> и начала систем отсчёта совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней совпадать не будут. Для неподвижных наблюдателей они оказываются повёрнутыми вокруг точки <math>\textstyle A</math>. Точно так же будет выглядеть изменение стержня, который приобретает дополнительную скорость <math>\textstyle \mathbf{u}'</math>, сдвигаясь параллельно себе (с собственной точки зрения).

Найдём величину изменения радиус-вектора, связанного со стержнем.



<center>[[File:main0.png]]</center>

Траектории точки, движущейся с постоянной скоростью в системах <math>\textstyle S'</math> и <math>\textstyle S</math>, имеют вид:

:<center><math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}_0' + \mathbf{u}' t', \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + \mathbf{u} t.</math></center>

Подставим их в обратные преобразования Лоренца (), стр.\pageref{lorenz_vec0}:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> t = \gamma\,(t' + \mathbf{v}\mathbf{r}'_0 + (\mathbf{v}\mathbf{u}') t' ) </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_0+\mathbf{u}t=\mathbf{r}_0' + \mathbf{u}' t' + \mathbf{v}\gamma t' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}_0')+\Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{u}')t'. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

В левую часть уравнения () подставим время <math>\textstyle t</math> из () и сгруппируем слагаемые при <math>\textstyle t'</math>:

:<center><math>\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_0' + \gamma\mathbf{u}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}'_0) - \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}_0') = \bigl[\mathbf{u}' + \gamma\mathbf{v} +\Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{u}') - \gamma\mathbf{u}\,(1 + \mathbf{v}\mathbf{u}') \bigr]t'.</math></center>

Это соотношение выполняется при любом <math>\textstyle t'</math>, если его левая и правая части равны нулю. В результате получается связь скоростей (), стр.\pageref{transf_u_vec0}, и начальных положений:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_0= \mathbf{r}'_0 - \gamma \mathbf{u}( \mathbf{v} \mathbf{r}_0') + \Gamma \mathbf{v}( \mathbf{v} \mathbf{r}'_0). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

В момент времени <math>\textstyle t=t'=0</math> точки <math>\textstyle A</math> первого и второго стержня совпадают и находятся в началах систем отсчёта (<math>\textstyle \mathbf{r}_0=\mathbf{r}'_0=0</math>). Точка <math>\textstyle B</math> первого стержня имеет скорость <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}</math> и <math>\textstyle \mathbf{u}'=0</math>. Поэтому из () следует, что в момент времени <math>\textstyle t=0</math> в системе <math>\textstyle S</math> она имеет координаты:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_{0_1}= \mathbf{r}'_0 - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,( \mathbf{v} \mathbf{r}_0'), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Это соотношение совпадает с (), стр.\pageref{shape_coord_sys}, при <math>\textstyle t=0</math>.

Точка <math>\textstyle B</math> второго стержня имеет скорости <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math> и <math>\textstyle \mathbf{u}'=d\mathbf{v}'</math>. Из () получаем её положение в момент <math>\textstyle t=0</math> в системе <math>\textstyle S</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_{0_2}= \mathbf{r}'_0 - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,( \mathbf{v} \mathbf{r}_0') - \gamma ( \mathbf{v} \mathbf{r}_0')d\mathbf{v}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Вычитая из () уравнение (), мы получим изменение положения точки <math>\textstyle B</math> относительно точки <math>\textstyle A</math> (смещение конца <math>\textstyle B</math> второго стержня относительно первого) для наблюдателей в системе <math>\textstyle S</math>.

Введём вектор <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, соединяющий концы стержня <math>\textstyle A</math> и <math>\textstyle B</math>. Так как радиус-вектор точки <math>\textstyle A</math> нулевой, имеем <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}_{0_1}</math>. После изменения стержнем скорости в () <math>\textstyle \mathbf{r}_{0_2}=\mathbf{s}+d\mathbf{s}</math>. Поэтому:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{s} = - \gamma ( \mathbf{v} \mathbf{s}')d\mathbf{v} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,d\mathbf{v}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mathbf{s}'=\mathbf{r}'_{0_1}=\mathbf{r}'_{0_2}</math> &mdash; положение точки <math>\textstyle B</math> стержней в системе <math>\textstyle S'</math>. Во втором равенстве, c учётом (), стр. \pageref{shape_coord_sys1}, подставлено <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{s}'=\gamma(\mathbf{v}\mathbf{s})</math>. Вводя вектор 3-мерного ускорения <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, окончательно приходим к уравнению: \parbox{7.5cm}{ <center> 

<center>[[File:v_a_s_r.png]]</center>

} \parbox{8cm}{

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

} </center> Так как точки <math>\textstyle A</math> обоих стержней совпадали, в уравнении () производная по времени от <math>\textstyle \mathbf{s}</math> имеет смысл скорости изменения ориентации и длины стержня (изменение положения точки <math>\textstyle B</math> относительно <math>\textstyle A</math>). Сама же точка <math>\textstyle A</math> независимо движется с переменной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}(t)</math>. Предлагается самостоятельно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) восстановить в () константу "<math>\textstyle c</math>".

Рассмотрим несколько частных случаев ускоренного движения. Ниже на рисунке представлены различные ориентации стержня, скорости и ускорения. В первых двух случаях поворота стержня не происходит. 

<center>[[File:variants.png]]</center>

Например, если стержень перпендикулярен скорости (<math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{s}=0</math>), то при изменении её величины (но не направления) стержень не изменит ни ориентации, ни длины. Так и должно быть. В этом случае все точки стержня одновременно изменяют свою скорость как в системе <math>\textstyle S</math>, так и в системе <math>\textstyle S'</math>, а поперечные к скорости расстояния неизменны. Поэтому, если в <math>\textstyle S'</math> начинают сдвигать (ускорять) вертикальный стержень в горизонтальном направлении, то он поворачиваться не будет. Аналогично, если в движущейся в горизонтальном направлении системе отсчёта ''вверх'' поднимают вертикальный стержень, то он также не должен повернуться (оба его конца имеют совпадающие координаты <math>\textstyle x</math>). Однако, если в системе <math>\textstyle S'</math> оба конца горизонтального стержня поднимают вверх, то в системе <math>\textstyle S</math> концы поднимутся неодновременно и возникнет поворот (). Его угол можно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) также получить из соображений относительности одновременности.

Полученное уравнение () справедливо только при небольшом ускорении стержня, когда его можно считать жёстким. В этом случае в каждый момент времени со стержнем связывается "мгновенно инерциальная" (''сопутствующая'') система отсчёта. В рамках такого предположения и получено уравнение (). Рассмотрим равноускоренное движение стержня, когда скорость и ускорение направлены вдоль стержня. Пусть один из концов стержня движется со следующими скоростью и ускорением:

:<center><math>v = \frac{wt}{\sqrt{1+(wt)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\gamma=\sqrt{1+(wt)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;a=\frac{w}{\gamma^3},</math></center>

где <math>\textstyle w</math> &mdash; некоторая константа (собственное ускорение). Длина стержня <math>\textstyle l=\sqrt{\mathbf{s}^2}</math> удовлетворяет уравнению:

:<center><math>\frac{dl}{dt} = \frac{\mathbf{s}(d\mathbf{s}/dt)}{l} = -\gamma^2\frac{(\mathbf{s}\mathbf{v})(\mathbf{s}\mathbf{a})}{l}= -\gamma^2 v(t)a(t) l(t)=- \frac{w^2 t}{1+(wt)^2}.</math></center>

Интегрируя его с начальным условием <math>\textstyle l(0)=l_0</math>, получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> l(t) = \frac{l_0}{\sqrt{1+(wt)^2}} = l_0 \sqrt{1-v^2(t)}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Это выражение совпадает с мгновенным лоренцевским сокращением движущегося со скоростью <math>\textstyle v(t)</math> стержня.

Как мы увидим в шестой главе, посвящённой неинерциальным системам отсчёта, физика в ускоренной системе выглядит "хитрее", чем физика в последовательности сопутствующих к ней инерциальных систем. В частности, если ускоренно движущиеся наблюдатели "выдерживают" одинаковое расстояние друг между другом, время у них будет идти по-разному. Стержень, связанный с такой системой, относительно неподвижных наблюдателей изменяет свою длину следующим образом:

:<center><math>l(t) = \frac{\sqrt{\gamma^2+ 2wl_0+ (w l_0)^2}-\gamma}{w} \approx\frac{l_0}{\gamma}\,\Bigl(1+\frac{v^2}{2}\,wl_0 +...\Bigr),</math></center>

где приближенное равенство записано для малых <math>\textstyle w</math>. Видно, что это соотношение стремится к мгновенному лоренцевскому сжатию () только при <math>\textstyle v^2w l_0 =v^2\gamma^3 al_0 \ll 1</math>. Это приближение будет справедливым при относительно небольшом ускорении (точнее, при <math>\textstyle a\ll a_0=c^4/(v^2\gamma^3l_0)</math>, где восстановлена скорость света <math>\textstyle c</math>). Именно эта комбинация длины стержня, скорости и ускорения должна быть мала, чтобы можно было не учитывать "эффекты неинерциальности" и пользоваться уравнением (). Впрочем, для метрового стержня, движущегося со скоростью <math>\textstyle v=0.8\,c</math>, имеем достаточно большое значение <math>\textstyle a_0=3\cdot10^{16}\;м/с^2</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь движение начала системы отсчёта <math>\textstyle S'</math> по окружности радиуса <math>\textstyle R</math> с постоянной по модулю скоростью <math>\textstyle v</math>. При периоде обращения <math>\textstyle T</math> скорость равна <math>\textstyle v=2\pi R/T=\omega R</math>, где <math>\textstyle \omega</math> &mdash; круговая частота. Модуль ускорения равен <math>\textstyle a=v^2/R=\omega v</math>. 

<center>[[File:thomas.png]]</center>

Вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости <math>\textstyle \mathbf{a}\mathbf{v}=0</math>. Если <math>\textstyle \mathbf{n}</math> &mdash; постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты, то справедливы следующие соотношения:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{a} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{v}],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d\mathbf{a}}{dt} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{a}] =-\omega^2\,\mathbf{v}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Запишем уравнение () и умножим его на <math>\textstyle \mathbf{v}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt} = \mathbf{a}\mathbf{s}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Дифференцируя это уравнение по времени:

:<center><math>\frac{d^2(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt^2} = \mathbf{a}\frac{d\mathbf{s}}{dt}+\mathbf{s}\frac{d\mathbf{a}}{dt}=-(\gamma^2 a^2+\omega^2)\,(\mathbf{v}\mathbf{s})</math></center>

и подставляя <math>\textstyle a=\omega v</math>, получаем осцилляторное уравнение:

:<center><math>\frac{d^2(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt^2} + \omega^2\gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s}) = 0</math></center>

со следующим решением:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}\mathbf{s} = (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t)+\frac{(\mathbf{a}\mathbf{s})_0}{\omega\gamma}\,\sin(\omega\gamma t), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где нулевой индекс помечает начальное значение скалярного произведения в момент времени <math>\textstyle t=0</math>, а значение <math>\textstyle d(\mathbf{v}\mathbf{s})/dt</math> при <math>\textstyle t=0</math> записано при помощи уравнения ().

Умножая теперь () на ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}</math> и учитывая (), получаем:

:<center><math>\frac{d(\mathbf{a}\mathbf{s})}{dt} = \mathbf{s}\frac{d\mathbf{a}}{dt} -\gamma^2 a^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s}) = -\omega^2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{s}).</math></center>

Правая часть известна (), поэтому уравнение легко интегрируется:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{a}\mathbf{s} = (\mathbf{a}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t) - (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\omega \gamma\,\sin(\omega\gamma t). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Таким образом, относительно подвижного базиса, построенного на векторах <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, <math>\textstyle \mathbf{a}</math>, конец стержня вращается с угловой скоростью <math>\textstyle \omega\gamma</math>.

Найдём зависимость координат конца стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\{s_x,s_y\}</math> относительно его начала в неподвижной системе отсчёта. Пусть стержень движется по окружности против часовой стрелки <math>\textstyle \mathbf{r}(t)=R\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}</math>. Тогда компоненты скорости и ускорения равны:

:<center><math>\mathbf{v} = R\omega\,\{-\sin(\omega t),\;\cos(\omega t)\},\;\;\;\;\;\;\mathbf{a} = -R\omega^2\,\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}.</math></center>

В момент времени <math>\textstyle t=0</math> имеем <math>\textstyle \mathbf{v}=R\omega\,\{0,1\}</math>, <math>\textstyle \mathbf{a}=-R\omega^2\,\{1,0\}</math>, поэтому <math>\textstyle (\mathbf{v}\mathbf{s})_0=R\omega s_{y0}</math>, <math>\textstyle (\mathbf{a}\mathbf{s})_0=-R\omega^2 s_{x0}</math> и решения (), () приводят к системе:

:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} s_x\cos(\omega t) + s_y\sin(\omega t) = s_{x0}\cos(\omega\gamma t) + \;\;s_{y0}\,\gamma\;\sin(\omega\gamma t)\\ -s_x\sin(\omega t) + s_y\cos(\omega t) = s_{y0}\cos(\omega\gamma t) - (s_{x0}/\gamma)\sin(\omega\gamma t).\\ \end{array} \right.</math></center>

Из этого решения следует, что длина стержня восстанавливается в моменты времени <math>\textstyle \omega t = \pi k/\gamma</math>, где <math>\textstyle k=1, 2,....</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H). Если <math>\textstyle \gamma</math> &mdash; рациональное число, то конец стержня будет описывать правильный <math>\textstyle n</math>-угольник. При этом <math>\textstyle (\gamma-1)/\gamma</math> равно несократимой дроби <math>\textstyle 2k/n</math>. При малых скоростях после каждого оборота по окружности стержень поворачивается на малый угол <math>\textstyle \pi v^2</math> \cite{Stepsnov_Thomas}.

Ниже изображены траектории конца стержня относительно его начала при различной скорости движения по окружности и начальной ориентации. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности, и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка &mdash; это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа. Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращения по окружности. \includegraphics{pic/thomas_cicle.eps}

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Ускоренное движение]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_02.pdf Глава 2])
 | width="40%" align="right"| >> [[Четырёхмерное пространство-время]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии