Просмотр исходного текста страницы Прецессия Томаса/Момент импульса и спин

Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Движение по окружности стержня|Движение по окружности стержня]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса|Прецессия спина и момента импульса]]
|}
----

До сих пор мы рассматривали поворот стержня, движущегося по криволинейной траектории. Иногда вектор спина (собственного момента импульса) гироскопа отождествляют с таким стержнем (или осью координат НИСО). Ниже мы покажем, что это, в общем случае, неверно.

Как известно 
<ref name="Landau">
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. &mdash; "''Теоретическая физика. Теория поля''", Т.2, М.:Наука (1988)
</ref>, в теории относительности момент импульса <math>\textstyle \mathbf{L}</math> точечной частицы не является векторной частью 4-вектора. Чтобы записать преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта, необходимы два вектора:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{G} = E\,\mathbf{r}-\mathbf{p}\,t, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(46)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mathbf{p}</math> &mdash; импульс частицы, а <math>\textstyle E</math> &mdash; её энергия. Эти векторы являются компонентами антисимметричного тензора

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> L^{\alpha\beta}=x^\alpha p^\beta - x^\beta p^\alpha = \begin{pmatrix} 0 & -G_x & -G_y & -G_z \\ G_x & 0 & L_z & -L_y \\ G_y & -L_z & 0 & L_x \\ G_z & L_y & -L_x & 0 \\ \end{pmatrix}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(47)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle x^\alpha=\{t,\mathbf{r}\}</math> &mdash; 4-вектор положения частицы в данный момент времени, а <math>\textstyle p^\alpha=\{E,\mathbf{p}\}</math> &mdash; её 4-импульс.

Используя преобразования Лоренца для координат-времени (7) и аналогичные для энергии-импульса:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> E'=\gamma\, (E-{\mathbf v}{\mathbf p}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf p}' = {\mathbf p} - \gamma{\mathbf v} E + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf p}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(48)'''</div>
 |}

можно получить преобразования для <math>\textstyle \mathbf{L}</math> и <math>\textstyle \mathbf{G}</math>, которые мы запишем в обращённом виде:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\,(\mathbf{L}'-\mathbf{v}\times\mathbf{G}') - \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(49)'''</div>
 |}

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{G}=\gamma\,(\mathbf{G}' +\mathbf{v}\times\mathbf{L}' )- \Gamma \,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{G}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(50)'''</div>
 |}

Прямые преобразования получаются перестановкой штрихованных и нештрихованных величин и сменой знака относительной скорости <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto -\mathbf{v}</math>.

Продольные компоненты векторов <math>\textstyle \mathbf{L}</math> и <math>\textstyle \mathbf{G}</math> при преобразованиях Лоренца не изменяются: <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{L}=\mathbf{v}\mathbf{L}'</math>, <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{G}=\mathbf{v}\mathbf{G}'</math>. Кроме этого, для точечной частицы эти векторы ортогональны в любой системе отсчёта (<math>\textstyle \mathbf{L}\mathbf{G}=0</math>).

Суммарная энергия движения, импульс и момент импульса системы частиц определяют суммированием по всем частицам:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathcal{E}=\sum E,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{P}=\sum \mathbf{p} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{L}=\sum \mathbf{r}\times\mathbf{p}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(51)'''</div>
 |}

где опущены индексы, нумерующие частицы.

В системе отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю (<math>\textstyle \mathbf{P}=0</math>), вектор <math>\textstyle \mathbf{G}</math> делённый на суммарную энергию <math>\textstyle \mathcal{E}</math> имеет смысл центра энергии системы 
<ref name="Landau"/> (в нерелятивистском случае центра масс):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{R}=\frac{\sum E\mathbf{r}}{\sum E} \approx \frac{\sum m\mathbf{r}}{\sum m}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(52)'''</div>
 |}

где приближенное равенство записано в нерелятивистском пределе, в котором энергия частицы <math>\textstyle E</math> приблизительно равна её массе <math>\textstyle m</math>.

Для системы частиц вводится также 4-вектор собственного момента импульса системы или классического (не квантового) спина 
<ref>
Вейнберг С. &mdash; "''Гравитация и космология''", М.:Мир (1975)
</ref>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> S_\nu = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}\,L^{\alpha\beta}\,U^\gamma, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(53)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}</math> &mdash; символ Леви-Чевиты, а <math>\textstyle U^\alpha </math> &mdash; суммарная 4-скорость системы частиц, определяемая при помощи суммарного 4-импульса <math>\textstyle P^\alpha=\{\mathcal{E},\mathbf{P}\}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> U^\alpha=\frac{P^\alpha}{M}= \{U^0,\mathbf{U}\}=\frac{\{1,\mathbf{u}\}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(54)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mathbf{u}</math> &mdash; 3-мерный вектор "суммарной скорости", а <math>\textstyle M=\sqrt{\mathcal{E}^2-\mathbf{P}^2}</math> &mdash; масса системы частиц (без учёта энергии их взаимодействия). Мы используем сигнатуру <math>\textstyle g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math> и <math>\textstyle \varepsilon_{0123}=1</math>.

Физический смысл классического спина становится ясным, если его определение (53) записать в 3-мерных обозначениях <math>\textstyle S^\alpha=\{S^0,\,\mathbf{S}\}</math>. Оказывается, что 3-вектор спина <math>\textstyle \mathbf{S}</math> пропорционален разнице полного момента импульса <math>\textstyle \mathbf{L}</math> и момента суммарного импульса <math>\textstyle \mathbf{P}</math> к радиус-вектору центра энергии системы <math>\textstyle \mathbf{R}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \frac{\mathcal{E}}{M} \,(\mathbf{L} - \mathbf{R}\times \mathbf{P}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S^0 = \mathbf{u}\mathbf{S}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(55)'''</div>
 |}

Таким образом, спин имеет смысл ''собственного момента импульса'' и равен разнице полного момента импульса и момента движения системы как целого. В системе отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю, 3-мерный вектор спина совпадает с моментом импульса <math>\textstyle \mathbf{S}=\mathbf{L}</math>.

В силу антисимметричности символа Леви-Чевиты, произведение спина на 4-вектор скорости в любой системе отсчёта равно нулю:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> S\cdot U = S_\alpha U^\alpha = 0. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(56)'''</div>
 |}

Поэтому в системе покоя <math>\textstyle U^\alpha=\{1,\mathbf{0}\}</math> спин обладает только векторными компонентами <math>\textstyle S^\alpha=\{0,\mathbf{S}\}</math>.

Для точечной частицы <math>\textstyle \mathbf{L}=\mathbf{R}\times \mathbf{P}</math>, поэтому всегда <math>\textstyle \mathbf{S}=\mathbf{0}</math>. В случае системы частиц, суммарный момент импульса непропорционален суммарному импульсу (51), и спин, в общем случае, не равен нулю.

=== Примчания ===
<references/>
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Движение по окружности стержня|Движение по окружности стержня]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса|Прецессия спина и момента импульса]]
|}