Просмотр исходного текста страницы Прецессия Томаса/Движение спина во внешнем поле

Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Движение гироскопа по окружности|Движение гироскопа по окружности]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Заключение|Заключение]]
|}
----

До сих пор мы рассматривали прецессию Томаса как кинематическую задачу. В реальности, чтобы НИСО двигалась с ускорением, необходимо силовое поле или другой способ изменения скорости изучаемого объекта. Наблюдение за поворотом и изменением длины движущегося с ускорением стержня является очень непростой задачей. Поэтому мы ограничимся обсуждением движения классического спина во внешних полях.

Экспериментально наиболее доступны две физические ситуации: 1) микрочастица (электрон, протон, атомное ядро) движется во внешнем электромагнитном поле; 2) макроскопический гироскоп движется по орбите вокруг Земли. В обоих ситуациях спин объекта изменяется, как в результате кинематического эффекта Томаса, так и в силу динамических причин.

Проще всего кинематика и динамика разделяются при движении спина в электромагнитном поле. В этом случае поведение классического спина удовлетворяет уравнению Баргмана-Мишеля-Телегди (BMT) 
<ref>
Bargmann V., Michel L. Telegdi V. L. &mdash; "''Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field''", Phys.Rev.Lett. '''2''', 435-436 (1959)
</ref>. 
Пусть в системе покоя частицы изменение спина, находящегося в магнитном поле, удовлетворяет уравнению Лармора (ларморовская прецессия):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \frac{gQ}{2m}\, \mathbf{S}\times \mathbf{B}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(97)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle Q</math>, <math>\textstyle m</math> &mdash; заряд и масса частицы, а <math>\textstyle g</math> &mdash; гиромагнитный фактор (для электрона <math>\textstyle Q=-e</math>, <math>\textstyle g\approx 2</math>). Кроме этого, пусть производная 4-вектора спина по собственному времени частицы <math>\textstyle d\tau=dt\sqrt{1-\mathbf{v}^2}</math> линейна по тензору электромагнитного поля <math>\textstyle \mathrm{F}\equiv F^{\alpha\beta}</math> и спину <math>\textstyle \mathrm{S}\equiv S^\alpha</math>. Кроме этого производная спина может зависеть от 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{V}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathrm{S}}{d\tau} = \alpha_1\,\mathrm{S}+\alpha_2\,\mathrm{V}+\alpha_3\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{S} +\alpha_4\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{V}+\alpha_5\,(\mathrm{S}\cdot\mathrm{F}\cdot\mathrm{V})\,\mathrm{V}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(98)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \alpha_i</math> &mdash; некоторые константы. Предполагается также, что на частицу действует сила Лоренца:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathrm{A} = \frac{d\mathrm{V}}{d\tau} = \frac{Q}{m}\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{V}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(99)'''</div>
 |}

Производная условия ортогональности 4-спина и 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{S}\cdot\mathrm{V}=0</math> с учётом уравнений (98), (99) даёт <math>\textstyle \alpha_2=0</math>, <math>\textstyle \alpha_5=\alpha_3-Q/m</math>. Уравнение Лармора (97) в системе покоя частицы (<math>\textstyle \mathrm{V}=\{1,\mathbf{0}\}</math>) позволяет найти оставшиеся коэффициенты: <math>\textstyle \alpha_1=\alpha_4=0</math>, <math>\textstyle \alpha_3=gQ/2m</math>.

В результате получается BMT уравнение:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathrm{S}}{d\tau} = \frac{gQ}{2m}\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{S} -\bigl(1-\frac{g}{2}\Bigr)\, (\mathrm{A}\cdot\mathrm{S})\,\mathrm{V}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(100)'''</div>
 |}

где 4-ускорение <math>\textstyle \mathrm{A}</math> определяется силой Лоренца (99). Запишем BMT уравнение в 3-мерных обозначениях. Учитывая, что <math>\textstyle \mathrm{F}\cdot\mathrm{S}=\{\mathbf{E}\mathbf{S},\;S^0\mathbf{E}+\mathbf{S}\times\mathbf{B}\}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{E}</math> и <math>\textstyle \mathbf{B}</math> &mdash; электрическое и магнитное поле, имеем

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} =\frac{gQ}{2m \gamma}\, \Bigl((\mathbf{v}\mathbf{S})\,\mathbf{E} +\mathbf{S}\times\mathbf{B}\Bigr)+\bigl(1-\frac{g}{2}\Bigr)\,\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{S})\,\mathbf{v}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(101)'''</div>
 |}

Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует (<math>\textstyle g=0</math>), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из (101) следует уравнение (69). На самом деле частицы, имеющие заряд и спин, но не имеющие магнитного момента, неизвестны. Однако, например, ядро урана <math>\textstyle \,^{235}_{92}U</math> имеет достаточно малый g-фактор (<math>\textstyle g=-0.26</math>), что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона. Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.

При движении в однородном магнитном поле модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{Q}{m\gamma}\,[\mathbf{v}\times\mathbf{B}] = \omega [\mathbf{v}\times\mathbf{n}], </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(102)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mathbf{n}</math> &mdash; единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота <math>\textstyle \omega=QB/m\gamma</math>, в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Из (101), (102) следует, что при движении по окружности в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, выполняются уравнения аналогичные (82):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d(\mathbf{v}\mathbf{S})}{dt} = -\gamma^2 \,\frac{g-2}{2}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d(\mathbf{a}\mathbf{S})}{dt} = \omega^2 \,\frac{g-2}{2}\,(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(103)'''</div>
 |}

Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают осцилляторные колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \omega_a = \frac{g-2}{2}\,\gamma\,\omega =\frac{g-2}{2}\,\frac{QB}{m}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(104)'''</div>
 |}

Для электрона <math>\textstyle g\approx 2</math> и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением <math>\textstyle g</math>-фактора от двойки. Это позволяет измерять аномальные магнитные моменты 
<ref>
Филд Дж., Пикассо Э., Комбли Ф. &mdash; "''Проверка фундаментальных физических теорий в опытах со свободными заряженными лептонами''", УФН '''127''', 4, c.553-598 (1979).
</ref>.

Заметим, что иногда (см., например, 
<ref name="Landau4">
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. &mdash; "''Квантовая электродинамика''", М.: Наука, 179-186, (1989)
</ref>
) уравнение (101) записывается не для спина <math>\textstyle \mathbf{S}</math>, измеряемого в лабораторной системе отсчёта, а для спина в системе покоя частицы <math>\textstyle \mathbf{S}'</math>. Для этого берётся производная по времени ''лабораторной'' системы от преобразования (64):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(105)'''</div>
 |}

Учитывая уравнение (69), справедливое для частицы без магнитного момента (<math>\textstyle g=0</math>, спиновая кинематика), получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}'}{dt} + \Gamma\, \mathbf{v}\,\Bigl(\mathbf{v}\frac{d\mathbf{S}'}{dt}\Bigr) = \gamma\Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}') - \Gamma\,\mathbf{a}\,(\mathbf{v}\mathbf{S}') - \Gamma^2\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(106)'''</div>
 |}

Умножим обе части уравнения на скорость <math>\textstyle \mathbf{v}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}\frac{d\mathbf{S}'}{dt} = \Gamma v^2 (\mathbf{a}\mathbf{S}') - \Gamma\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\,(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(107)'''</div>
 |}

Используя это соотношение, уравнение (106) можно переписать в следующем виде:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}'}{dt} = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1} \,[\mathbf{v}\times\mathbf{a}]\times\mathbf{S}'. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(108)'''</div>
 |}

Для сравнения с \cite{Landau4} необходимо иметь ввиду, что сила Лоренца для релятивистской частицы с импульсом <math>\textstyle \mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}</math> приводит к следующему 3-мерному ускорению <math>\textstyle \mathbf{a}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> m\gamma \mathbf{a} = Q(\mathbf{E}+ \mathbf{v}\times\mathbf{B}) - Q \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{E}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(109)'''</div>
 |}

а <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> в обозначениях \cite{Landau4} &mdash; это <math>\textstyle \boldsymbol{\zeta}</math>.

Уравнение (108) совпадает с уравнением Томаса (3). Однако уравнение (108), как и (3), имеет специфический смысл. Все величины в нём (за исключением спина) относятся к лабораторной системе отсчёта. Спин же <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> измеряется наблюдателями в сопутствующей к частице системе отсчёта. Поэтому фактически (108), как и (3), не являются уравнениями прецессии ни относительно лабораторной системы отсчёта, ни относительно сопутствующей.

=== Примчания ===
<references/>
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Движение гироскопа по окружности|Движение гироскопа по окружности]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Заключение|Заключение]]
|}