Просмотр исходного текста страницы Площадь под траекторией Винера

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Уравнение для x]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Интегралы Ито]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> Для данной реализации <math>\textstyle n</math> независимых случайных величин <math>\textstyle \varepsilon_1,...,\varepsilon_n</math>, имеющих нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией: <math>\textstyle \varepsilon_i\sim N(0,1)</math>, мы получаем конкретную ''выборочную траекторию'' винеровского процесса со значениями, заданными по оси времени с шагом <math>\textstyle \Delta t= t/n</math> :

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> W_n=W(t_n)=(\varepsilon_1+...+\varepsilon_n)\,\sqrt{\Delta t} =\varepsilon\,\sqrt{n\Delta t} = \varepsilon\,\sqrt{t}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.1)'''</div>
 |}

Предел <math>\textstyle n\to\infty</math> соответствует непрерывному стохастическому процессу.

Если использовать <math>\textstyle \varepsilon_1,...,\varepsilon_n</math> при итерационном решении некоторого стохастического уравнения:

:<center><math>x_{k+1} = a(x_{k}, t_k)\Delta t + b(x_k, t_{k})\,\varepsilon_k\,\sqrt{\Delta t},</math></center>

получится выборочный процесс, однозначно связанный с траекторией <math>\textstyle W_t</math>. В этом смысле ''выборочные'' решения всех уравнений с общим шумом <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math> являются деформацией ''единственной'' траектории <math>\textstyle W_t</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Несмотря на изломанный вид функции <math>\textstyle W_t=W(t)</math>, можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до <math>\textstyle t</math>: 

<center> [[File:winer_square.png]]</center>

Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> S_t= \sum^n_{k=1} W_{k-1}\Delta t= \left[\varepsilon_1 + (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)+...+(\varepsilon_1 +...+ \varepsilon_{n-1})\right](\Delta t)^{3/2}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.3)'''</div>
 |}

где интервал <math>\textstyle [0..t]</math> разбит на <math>\textstyle n</math> отрезков длительностью <math>\textstyle \Delta t</math>. Значение процесса Винера в конце <math>\textstyle k</math> - того отрезка равно накопленной сумме <math>\textstyle k</math> случайных независимых гауссовых изменений на каждом отрезке.

Для других реализаций <math>\textstyle \varepsilon_1,...,\varepsilon_n</math> мы получим другое значение, поэтому <math>\textstyle S_t</math> и аналогичные интегралы являются ''случайными процессами''.

Процесс <math>\textstyle S_t</math> в момент времени <math>\textstyle t</math> не может быть выражен через <math>\textstyle W_t</math>, так как зависит не только от значения <math>\textstyle W_t=W(t)</math>, но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для <math>\textstyle S_t</math> можно получить простое представление через скалярные случайные величины.

<math>\textstyle \bullet</math> Перегруппируем интегральную сумму (5.3) следующим образом:

:<center><math>\bigl[ (n-1)\cdot\varepsilon_1 +...+ 1\cdot\varepsilon_{n-1}\bigr]\, (\Delta t)^{3/2} = \eta_1 \sqrt{1^2+2^2+...+(n-1)^2}\, (\Delta t)^{3/2}.</math></center>

Сумма гауссовых чисел статистически эквивалентна одному, которое мы обозначили через <math>\textstyle \eta_1\sim N(0,1)</math>. В результате появляется соответствующий множитель. Сумма ряда <math>\textstyle 1^2+...+(n-1)^2</math> равна <math>\textstyle (n-1)n(2n-1)/6</math>. Устремляя <math>\textstyle n\to\infty</math>, <math>\textstyle \Delta t\to 0</math>, так что <math>\textstyle n\Delta t = t</math>, получаем:

:<center><math>S_t=\int\limits^t_0 W_\tau \, d\tau = \eta_1 \, \frac{t^{3/2}}{\sqrt{3}}.</math></center>

Таким образом, <math>\textstyle S_t</math> &mdash; это гауссовый случайный процесс с волатильностью, увеличивающейся со временем как <math>\textstyle t^{3/2}</math>, т.е. <math>\textstyle S_t\sim N(0, t^3/3)</math>. Однако это ещё не всё. Величина <math>\textstyle \eta_1</math> ''не является независимой'' от винеровского блуждания <math>\textstyle W_t</math>. Действительно, <math>\textstyle W_t</math> равен сумме гауссовых чисел <math>\textstyle \varepsilon_k</math>, которые мы использовали для вычисления интеграла <math>\textstyle S_t</math>:

:<center><math>\begin{array}{ll} \displaystyle W_t \;=\; \bigl[\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_{n-1}+\varepsilon_n\bigr]\,(\Delta t)^{1/2} &=\; \eta_2 \,\sqrt{t}\\ \displaystyle S_t \;\;=\; \bigl[ (n-1)\,\varepsilon_1 + (n-2)\,\varepsilon_2 + ... + 1\, \varepsilon_{n-1}\bigr]\, (\Delta t)^{3/2} &=\; \displaystyle\eta_1 \, \frac{t^{3/2}}{\sqrt{3}}. \end{array}</math></center>

Первая строка &mdash; это запись винеровского процесса в момент времени <math>\textstyle t</math> через накопленную сумму изменений <math>\textstyle \eta_2</math> на каждом интервале. Вторая &mdash; это интегральная сумма, полученная выше. В обоих случаях <math>\textstyle \eta_1</math> и <math>\textstyle \eta_2</math> &mdash; это гауссовы числа <math>\textstyle N(0,1)</math>. Однако, они скоррелированы друг с другом:

:<center><math>\left\langle W_t\,S_t\right\rangle = \left\langle \eta_1\eta_2\right\rangle \,\frac{t^2}{\sqrt{3}} = (1+2+...+n-1) (\Delta t)^2 = \frac{(n-1)n}{2}\,(\Delta t)^2 \to \frac{t^2}{2}.</math></center>

Две скоррелированные гауссовы переменные <math>\textstyle \left\langle \eta_1\eta_2\right\rangle =\sqrt{3}/2</math> можно представить в виде линейной комбинации (см. стр. \pageref{n_dim_gauss_n2}) независимых гауссовых чисел <math>\textstyle \varepsilon</math>, <math>\textstyle \eta</math>:

:<center><math>\eta_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\varepsilon + \frac{1}{2}\,\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\eta_2 = \varepsilon.</math></center>

Поэтому окончательно получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> W_t = \varepsilon\, \sqrt{t},\;\;\;\;\;\;\;\;S_t = (\sqrt{3}\,\varepsilon + \eta)\,\frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} = \frac{W_t}{2}\,t + \eta \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.4)'''</div>
 |}

Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например <math>\textstyle \left\langle W^2_t\,S^2_t\right\rangle =5\,t^4/6</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Полученное соотношение для <math>\textstyle S_t</math> имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от <math>\textstyle t_0</math> до <math>\textstyle t</math>, и в этих точках <math>\textstyle W_0=W(t_0)</math> и <math>\textstyle W_t=W(t)</math>. Тогда в формуле (5.4) необходимо заменить <math>\textstyle W_t</math> на <math>\textstyle W_t-W_0</math> и добавить нижний прямоугольник площадью <math>\textstyle W_0\cdot(t-t_0)</math>: 

<center>[[File:winer_square2.png]]</center> 

Площадь трапеции между <math>\textstyle W_0</math> и <math>\textstyle W_t</math> равна <math>\textstyle (W_0+W_t)(t-t_0)/2</math>. Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине <math>\textstyle \eta</math>, представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через <math>\textstyle W_0</math> и <math>\textstyle W_t</math>.

Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории <math>\textstyle S=f(W_0, W_t)</math>. Ошибка подобной модели пропорциональна <math>\textstyle \eta</math>, и её дисперсия увеличивается со временем как <math>\textstyle (t-t_0)^3</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Если известно <math>\textstyle n+1</math> значений процесса <math>\textstyle W_0,W_1,...,W_n</math>, идущих с шагом <math>\textstyle \Delta t</math> на интервале <math>\textstyle t-t_0=n\cdot \Delta t</math>, то сумма площадей <math>\textstyle n</math> трапеций и отклонений от них даст суммарную площадь:

:<center><math>S_n = \left(\frac{W_0}{2}+W_1+...+W_{n-1}+\frac{W_n}{2}\right)\,\Delta t+\eta \sqrt{t-t_0}\, \frac{\Delta t}{2\sqrt{3}},</math></center>

где учтено, что <math>\textstyle (\eta_1+...+\eta_n)\sqrt{\Delta t}=\eta \sqrt{n\Delta t}=\eta\sqrt{t-t_0}</math>. При <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> дисперсия поправки стремится к нулю.

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь два отрезка времени <math>\textstyle [0...t]</math> и <math>\textstyle [t...t+\tau]</math>. Площадь в момент времени <math>\textstyle t+\tau</math> равна площади в момент <math>\textstyle t</math> плюс площадь на участке длительностью <math>\textstyle \tau</math>:

:<center><math>S_{t+\tau} = S_t + \frac{W_t+W_{t+\tau}}{2}\,\tau + \eta \, \frac{\tau^{3/2}}{2\sqrt{3}}.</math></center>

Винеровский процесс в момент времени <math>\textstyle t+\tau</math> можно разбить на сумму двух ''независимых'' процессов <math>\textstyle W_{t+\tau}=W_t+\tilde{W}_\tau=\varepsilon\sqrt{t}+\tilde{\varepsilon}\sqrt{\tau}</math>, где <math>\textstyle \varepsilon</math> и <math>\textstyle \tilde{\varepsilon}</math> пропорциональны независимым накопленным изменениям на каждом отрезке времени (см. стр. \pageref{sect_autocor_fun}). Поэтому:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> S_{t+\tau}=S_t + W_t\cdot\tau + \tilde{S}_\tau, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.5)'''</div>
 |}

где площадь <math>\textstyle \tilde{S}_\tau</math> вычисляется под независимым от <math>\textstyle W_t</math> процессом <math>\textstyle \tilde{W}_\tau</math> от нуля до <math>\textstyle \tau</math> и имеет нулевую корреляцию с <math>\textstyle S_t</math>. В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H) стоит вывести это же соотношение непосредственно из (5.3).

<math>\textstyle \bullet</math> Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что <math>\textstyle S_t</math> &mdash; более гладкий процесс, чем <math>\textstyle W_t</math>. Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы <math>\textstyle W_t</math> и <math>\textstyle S_t</math> имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:

:<center><math>\left\langle W^2_t\right\rangle =\left\langle \varepsilon^2\right\rangle \, t = t,\;\;\;\;\;\;\;\left\langle S^2_t\right\rangle =\left\langle \eta^2\right\rangle \,\frac{t^{3}}{3}=\frac{t^{3}}{3}.</math></center>

Воспользуемся записью (5.5) площади <math>\textstyle S_t</math> в два различных момента времени <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle t+\tau</math>. Так как <math>\textstyle \tilde{S}_\tau</math> независима от <math>\textstyle S_t</math> и <math>\textstyle W_t</math>, автоковариация легко вычисляется:

:<center><math>\left\langle S_{t}\,S_{t+\tau}\right\rangle =\left\langle S^2_{t}\right\rangle + \left\langle S_{t}\,W_t\right\rangle \,\tau = \frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\,\tau,</math></center>

где учтено, что <math>\textstyle \left\langle W_t\,S_t\right\rangle =t^2/2</math>. Разделив ковариацию на волатильности <math>\textstyle S_t</math> и <math>\textstyle S_{t+\tau}</math>, получим автокорреляционный коэффициент для <math>\textstyle S</math>:

:<center><math>\rho(S_t, S_{t+\tau})=\frac{\left\langle S_{t}\,S_{t+\tau}\right\rangle }{\sqrt{\left\langle S^2_{t}\right\rangle \left\langle S^2_{t+\tau}\right\rangle }}=\frac{1+ 3T/2}{(1+T)^{3/2}}\approx 1-\frac{3}{8}\,T^2 + ...,</math></center>

где <math>\textstyle T=\tau/t</math>. Аналогично проводятся вычисления для <math>\textstyle W</math>:

:<center><math>\rho(W_t, W_{t+\tau})=\frac{\left\langle W_{t}\,W_{t+\tau}\right\rangle }{\sqrt{\left\langle W^2_{t}\right\rangle \left\langle W^2_{t+\tau}\right\rangle }}=\frac{1}{\sqrt{1+T}} \approx 1-T+...</math></center>

Корреляция для <math>\textstyle W_t</math> быстрее уменьшается с ростом <math>\textstyle T</math> по сравнению с корреляцией для <math>\textstyle S_t</math>. Графически это представлено ниже на левом графике: 

<center>[[File:cor_U_W.png]]</center>

Справа приведены выборочные траектории для <math>\textstyle W_t</math> и <math>\textstyle S_t</math>. Видно, что <math>\textstyle S_t</math> &mdash; существенно более гладкий процесс.

В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.

<math>\textstyle \bullet</math> В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции <math>\textstyle f(t)</math> и гауссового числа <math>\textstyle \eta\sim N(0,1)</math> следующих соотношений:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 f(s) W_s\,ds = \sigma(t)\,\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2(t) = \int\limits^t_0 \Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr]^2 \, ds. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.6)'''</div>
 |}

Если процесс Винера <math>\textstyle W_t=\varepsilon \sqrt{t}</math>, то коэффициент корреляции равен:

:<center><math>
\rho \;=\; \left\langle \varepsilon\,\eta\right\rangle \;=\; 
\frac{1}{\sigma(t)\,\sqrt{t}}\cdot\int\limits^t_0 
\Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr] \, ds.</math></center>

Например, для степенной функции <math>\textstyle f(t)=t^n</math>:

:<center><math>\int\limits^t_0 s^n\, W_s\,ds = \frac{\sqrt{2}\,t^{n+3/2}}{\sqrt{6+7n+2n^2}}\cdot\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rho=\frac{\sqrt{6+7n + 2 n^2}}{\sqrt{2}(2+n)}.</math></center>

В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени <math>\textstyle t</math>. При вычислении средних от произведения произвольных моментов удобнее выразить <math>\textstyle \eta</math> через <math>\textstyle \varepsilon</math> и независимую от неё случайную величину <math>\textstyle \varepsilon_1</math>:

:<center><math>\eta=\rho\,\varepsilon+\sqrt{1-\rho^2}\,\varepsilon_1.</math></center>

Теперь вычисление средних типа <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^2\eta^2\right\rangle </math> не составит труда.

<math>\textstyle \bullet</math> Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции:

:<center><math>I_t = \int\limits^t_{t_0} f_\tau(W_\tau)\, d\tau</math></center>

Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса <math>\textstyle W</math>, но и явная зависимость от времени: <math>\textstyle f_t(W_t)=f(t,\,W_t)</math>, как, например, в (5.6). Функция <math>\textstyle f</math> в общем случае может быть произвольным случайным процессом.

Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по <math>\textstyle W_t</math> случае интеграл оказывается нормально распределённым. В более общем случае это не так.

<math>\textstyle \bullet</math> Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции <math>\textstyle g_t(W_t)</math> и интеграла по времени от <math>\textstyle f_t(W_t)</math>. Запишем в символическом виде интегральную сумму:

<center>
[[File:ito_eq01.png]]
</center>

где мы для краткости опустили <math>\textstyle \sqrt{\Delta t}</math> внутри функций. Возьмём <math>\textstyle k</math>-тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией <math>\textstyle g</math>, необходимо сгруппировать в ней <math>\textstyle k</math> первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся <math>\textstyle n-k</math> &mdash; во второе:

:<center><math>g_t(\varepsilon_1+...+\varepsilon_k+\varepsilon_{k+1}+...+\varepsilon_n)f_k(\varepsilon_1+...+\varepsilon_k) =g_t(\varepsilon_a\sqrt{k}+\varepsilon_a\sqrt{n-k})f_k(\varepsilon_a\sqrt{k}).</math></center>

Так так <math>\textstyle \varepsilon_a</math> и <math>\textstyle \varepsilon_b</math> &mdash; два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:

<center>
[[File:ito_eq02.png]]
</center>

Например:

<center>
[[File:ito_eq03.png]]
</center>

Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла:

<center>
[[File:ito_eq04.png]]
</center>

и его обобщение для момента <math>\textstyle k-</math>того порядка (<math>\textstyle t_{k+1}=t</math>):

<center>
[[File:ito_eq05.png]]
</center>

Другие полезные соотношения можно найти в приложении "Стохастический справочник". Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.


----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Уравнение для x]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Интегралы Ито]]
|}
----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения