Просмотр исходного текста страницы Пластичность волатильности:Внутридневная волатильность

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Пластичность_волатильности:Измерение волатильности|Измерение волатильности]] << 
 ! width="20%"|[[Пластичность волатильности|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Пластичность_волатильности:Эмпирические особенности автокорреляций|Эмпирические особенности автокорреляций]]
|}
----

Продемонстрируем эффективность модифицированной амплитуды размаха на реальных данных. Рассмотрим 15-минутные котировки на рынке Форекс за период с 2004 по 2008 год для пары EURUSD. Произведём их агрегирование в дневные точки, вычисляя, кроме минимального и максимального значения, также внутридневную волатильность на основе логарифмических доходностей 15-минутных лагов:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \sigma^2 = \frac{n}{n-1} \sum^n_{i=1} (r_i-\bar{r})^2. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4)'''</div>
 |}

В течение дня мы имеем <math>\textstyle n=96=4\cdot 24</math> пятнадцатиминутных лагов. Множитель <math>\textstyle n</math> в (4) приводит 15-минутную волатильность к дневному значению. Временная динамика ''внутридневной волатильности'' имела следующий вид (1250 торговых дней, без учёта выходных и основных праздников): 

<center>[[File:volat_pic4.png]]</center>

Видно, что, начиная с осени 2008-го года, волатильность валютного рынка, как, впрочем, и других финансовых рынков, существенно выросла, в связи с обострением финансового кризиса. Однако, даже в докризисный период волатильность имеет ярко выраженную нестационарную составляющую.

Предположим, что полученная по выборке из <math>\textstyle n=96</math> чисел выборочная волатильность лучше характеризует "истинную" волатильность, чем только дневной базис из трёх чисел <math>\textstyle \{h,l,r\}</math> <ref name="Barndorff2000"> O.E. Barndorff-Nielsen, N.Shephard, 2000, {Econometric analysis of realised volatility and its use in estimating stochastic volatility models},

</ref>, <ref name="Biaisa2005"> B. Biais, L. Glosten, C. Spatt, 2005, {Market microstructure: A surveyof microfoundations, empirical results, and policy implications} ''Journal of Financial Markets'', No.8, pp.217-264.

</ref>, <ref name="Madhavan2000"> A.Madhavan, 2000 {Market microstructure: A survey} ''Journal of Financial Markets'', 3, pp.205-258.

</ref>, <ref name="Bandi2003"> F.M. Bandi, J.R. Russell, 2003, {Separating microstructure noise from volatility}

</ref>. Более качественная мера волатильности, основанная на базисе, должна быть лучше скоррелирована с внутридневной волатильностью. Построим точечные диаграммы зависимости ежедневных значений <math>\textstyle v_t</math>, <math>\textstyle a_t</math> и <math>\textstyle |r_t|</math> от внутридневной волатильности <math>\textstyle \sigma_t</math> (EURUSD 2004-2008): 

<center>[[File:volat_pic5.png]]</center>

Несложно видеть, что <math>\textstyle v_t</math> и <math>\textstyle a_t</math> существенно лучше связаны с <math>\textstyle \sigma_t</math>, чем <math>\textstyle |r_t|</math>. Переход от амплитуд "<math>\textstyle a</math>" к модифицированным амплитудам "<math>\textstyle v</math>" даёт определённый выигрыш, однако он, конечно, не столь значителен.

Похожие результаты получаются и для других валют. Наклоны регрессионных прямых <math>\textstyle v_t/\sigma_t</math> и <math>\textstyle a_t/\sigma_t</math> для шести валютных пар имеют следующие значения: 

<center>[[File:volat_tbl1a.png]]</center>

В каждом случае ошибка линейной аппроксимации для <math>\textstyle v</math> была меньше, чем для <math>\textstyle a</math>, и существенно меньше, чем для <math>\textstyle |r|</math>.

Несмотря на заметный разброс, значения <math>\textstyle v/\sigma</math>, <math>\textstyle a/\sigma</math> и <math>\textstyle |r|/\sigma</math> близки к своим теоретическим величинам 1.197, 1.596 и 0.798, возникающим при случайном винеровском блуждании. Тем не менее, необходимо помнить, что, например, отношение <math>\textstyle v/\sigma=3/\sqrt{2\pi}</math> справедливо ''только'' для броуновского блуждания с ''нормальным'' распределением доходности лага. На практике это не совсем так, и отношение <math>\textstyle v/\sigma</math> может быть равно некоторой константе, отличной от <math>\textstyle 3/\sqrt{2\pi}</math>, определение значения которой мы обсудим ниже.

Ещё одним признаком значимости модифицированной амплитуды размаха цены являются автокорреляционные коэффициенты, которые будут объектом нашего интереса:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \rho_s(v) \;=\; cor(v_t, v_{t-s}) \;=\; \frac{\left\langle (v_t-\bar{v})(v_{t-s}-\bar{v})\right\rangle }{\sigma^2_v}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5)'''</div>
 |}

где усреднение проводится по всем наблюдаемым значениям <math>\textstyle v_t=v_1,..,v_n</math>. Для дневных курсов EURUSD (2004-2008) получаются следующие диаграммы автокорреляции как функции параметра сдвига <math>\textstyle s</math>: 

<center>[[File:volat_pic6.png]]</center>

Видно, что наиболее высокими являются автокорреляции внутридневной волатильности <math>\textstyle \rho_1(\sigma)=0.77</math>, затем идут модифицированные амплитуды размаха цены <math>\textstyle \rho_1(v)=0.54</math>, простой амплитуды <math>\textstyle \rho_1(a)=0.47</math>, и самые маленькие значения коэффициентов у модуля логарифмической доходности <math>\textstyle \rho_1(|r|)=0.11</math>.

Высокие автокорреляции появляются при рассмотрении самых разнообразных финансовых инструментов и являются довольно интригующим фактом <ref name="Cont2001"> R. Cont, 2001, {Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues}, ''Quantitative Finance'' Vol.1, pp.223-236.

</ref>. Для сравнения, 1-й автокорреляционный коэффициент доходности курса EURUSD равен <math>\textstyle \rho_1(r)=-0.02</math>, что с учётом двойной статистической ошибки 0.06 (1250 торговых дней) соответствует отсутствию корреляции. Эта непредсказуемость рынка является проявлением его эффективности.

Однако для модулей доходности, и тем более волатильностей, это не так. На основании этого факта строится огромное количество стохастических моделей, претендующих на предсказание будущих значений волатильности. В большинстве своём эти модели носят ''эмпирический'' характер, не объясняя ''причин'' появления автокорреляций. Одной из наших задач будет предложить подобное объяснение.
=== Примчания ===
<references/>
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Пластичность_волатильности:Измерение волатильности|Измерение волатильности]] << 
 ! width="20%"|[[Пластичность волатильности|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Пластичность_волатильности:Эмпирические особенности автокорреляций|Эмпирические особенности автокорреляций]]
|}