Просмотр исходного текста страницы Нелокальность законов сохранения

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Ускоренное движение гироскопа]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3])
 | width="40%" align="right"| >> [[Равноускоренная система отсчёта]]
|}
----

В теории относительности сохранение момента импульса совокупности частиц в одной инерциальной системе отсчёта в общем случае не влечёт за собой его сохранения в других инерциальных системах. Для составных систем преобразования (), (), стр.\pageref{moment_R_L_R}, являются лишь первым приближением. Этот факт, по-видимому, первым отметил В.А. Фок \cite{Fock}. Действительно, постоянство момента импульса (и других сохраняющихся величин) в данной системе отсчёта выражается в терминах, синхронизированных во всём пространстве часов. Для системы частиц, находящихся в различных точках пространства, одновременные события в одной системе будут неодновременными в другой.

Чтобы получить преобразования Лоренца для момента импульса совокупности частиц (например, составляющих вращающийся гироскоп), необходимо просуммировать преобразования (), () по всем частицам. Величины, находящиеся в правой части, соответствуют времени <math>\textstyle t'</math>. Их сумма даст момент импульса и центр энергии в момент времени <math>\textstyle t'</math>. Однако, если <math>\textstyle t'</math> фиксировано, в левой части суммируемые величины <math>\textstyle \mathbf{L}</math> и <math>\textstyle \mathbf{R}</math> относятся к различным моментам времени. Для <math>\textstyle k</math>-той частицы в силу преобразований Лоренца (), стр.\pageref{lorenz_vec0}, имеем:

:<center><math>t_k=\mathbf{v}\mathbf{r}_k+\frac{t'}{\gamma}.</math></center>

Так как положения частиц <math>\textstyle \mathbf{r}_k</math> вращающегося тела различны, то различными будут и времена <math>\textstyle t_k</math>. Поэтому такая сумма не равна суммарному моменту импульса в момент времени <math>\textstyle t</math>:

:<center><math>\sum\mathbf{L}_k(\mathbf{v}\mathbf{r}_k+t'/\gamma) =\sum \gamma\,(\mathbf{L}'(t')-\mathbf{v}\times\mathbf{R}'(t')) - \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'(t')).</math></center>

Аналогично можно зафиксировать время <math>\textstyle t</math> в левой части суммарных преобразований. Тогда слагаемые в правой части будут относиться к различным моментам времени.

В результате преобразования для суммарных величин выглядят существенно более сложными, чем уравнения (), (). Последние справедливы для одиночной частицы или как первое приближение по угловой скорости вращения. В общем случае оказывается, что, хотя <math>\textstyle \mathbf{L}'</math> и <math>\textstyle \mathbf{R}'</math> постоянны в системе <math>\textstyle S'</math>, они будут изменяться со временем в системе <math>\textstyle S</math>.
Естественно, это относится не только к моменту импульса. 

Во избежание недоразумений, подчеркнём, что речь идёт о механическом моменте, определённом
как <math>\mathbf{L}=\sum \mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>. Его несохранение не означает,
что нельзя построить некоторую величину (включающую в себя <math>\mathbf{L}</math>),
которая будет постоянна во всех инерциальных системах отсчёта.

Рассмотрим для примера два массивных шарика, соединённых лёгким стержнем. Пусть в системе <math>\textstyle S'</math> такая гантелька вращается с угловой скоростью <math>\textstyle \omega_0</math> в плоскости <math>\textstyle (x', y')</math>. Центр вращения совпадает с центром масс и началом системы отсчёта. Траектория одного шарика равна

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> x'=r_0\,\cos(\phi+\omega_0 t'),\;\;\;\;\;\;\;\;y'=r_0\,\sin(\phi+\omega_0 t'), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \phi</math>, <math>\textstyle \omega_0</math>, <math>\textstyle r_0</math> &mdash; константы. Второй шарик получается заменой <math>\textstyle \phi\mapsto \phi+\pi</math> или <math>\textstyle r_0\mapsto -r_0</math>. Модули скорости шариков одинаковы и равны <math>\textstyle \omega_0r_0</math>. Момент импульса гантельки, перпендикулярный плоскости <math>\textstyle (x', y')</math>, равен:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> L_0 = \frac{\mu\,\omega_0r^2_0}{\sqrt{1-(\omega_0r_0)^2}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mu=2m</math> &mdash; суммарная масса шариков.

Найдём, как выглядит эта же гантелька для неподвижных наблюдателей в системе <math>\textstyle S</math>, относительно которой <math>\textstyle S'</math> движется со скоростью <math>\textstyle v</math> вдоль оси <math>\textstyle x</math>. Подставим в траекторию () преобразования Лоренца:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \gamma\,[x-vt]=r_0\,\cos\bigl(\phi+\omega_0\gamma \,[t- vx]\,\bigr),\;\;\;\;\;\; y=r_0\,\sin\bigl(\phi+\omega_0\gamma\,[t- vx]\,\bigr). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Введём координату <math>\textstyle \tilde{x}=x-vt</math> относительно начала системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \gamma\,\tilde{x}=r_0\,\cos(\phi+\omega t-\omega_0v\, \gamma \tilde{x}),\;\;\;\;\;\;\;\; y=r_0\,\sin(\phi+\omega t-\omega_0v\,\gamma\tilde{x}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \omega=\omega_0/\gamma</math> &mdash; круговая частота в системе <math>\textstyle S</math>. Первое трансцендентное уравнение позволяет найти <math>\textstyle \tilde{x}</math>. Второе уравнение даёт <math>\textstyle y</math>.

Ниже на рисунке изображены положения шариков и стержня в различные моменты времени. При вращении стержень изгибается, что связано с относительностью одновременности.



<center>[[File:momentum.png]]</center>

Когда в системе <math>\textstyle S'</math> стержень расположен вертикально, то оба шарика находятся на оси <math>\textstyle y'</math>. Эти два события имеют одинаковые координаты <math>\textstyle x'</math>, поэтому будут одновременны и для наблюдателей в <math>\textstyle S</math>. Поэтому в этот момент вид стержня в обоих системах отсчёта совпадает. Иначе выглядит ситуация, когда в системе <math>\textstyle S'</math> стержень занимает горизонтальное положение и шарики пересекают ось <math>\textstyle x'</math>. Эти события будут неодновременны в системе <math>\textstyle S</math>, где правый шарик ось <math>\textstyle x</math> ещё не пересёк, а левый это уже сделал.

Дифференцируя (), получаем скорость <math>\textstyle \mathbf{u}=\{u_x,\;u_y\}</math> шарика:

:<center><math>u_x = \frac{v-\omega_0 y}{1-v\omega_0 y},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y = \frac{\omega_0\, \tilde{x}}{1-v\omega_0 y},</math></center>

для которой фактор Лоренца равен:

:<center><math>\gamma_u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2_x-u^2_y}}= \frac{\gamma \,(1-v\omega_0 y)}{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}},</math></center>

где <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}</math>. При помощи вектора <math>\textstyle \tilde{\mathbf{r}}=\mathbf{r}-\mathbf{v}t=\{\tilde{x}, y\}</math> можно в суммарном моменте импульса относительно начала координат системы <math>\textstyle S</math> выделить момент относительно мгновенного положения начала системы <math>\textstyle S'</math>, который мы будем помечать тильдой:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}= \sum m\gamma_u \,[\mathbf{r}\times\mathbf{u}] = \tilde{\mathbf{L}}+[\mathbf{v}\times\mathbf{P}]\,t, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где "мгновенный" момент и суммарный импульс равны:

:<center><math>\tilde{\mathbf{L}}=\sum m\gamma_u \,[\tilde{\mathbf{r}}\times\mathbf{u}],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{P}=\sum\mathbf{p}.</math></center>

Вектор <math>\textstyle \tilde{\mathbf{L}}</math> направлен вдоль оси <math>\textstyle z</math> и имеет длину:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \tilde{L}= \gamma L_0 - \sum \,\frac{m\gamma\,( \omega_0 v^2\,\gamma^2 \tilde{x}^2 + v\,y ) }{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle L_0</math> &mdash; момент вращения () в системе <math>\textstyle S'</math>. Слагаемое <math>\textstyle \gamma L_0</math> соответствует преобразованию момента в соответствии с соотношением (), не учитывающим относительность одновременности для распределённой системы. Аналогично при помощи <math>\textstyle \tilde{\mathbf{r}}</math> можно разделить на две части вектор <math>\textstyle \mathbf{R}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{R}=\sum (E \mathbf{r}-\mathbf{p}t) = (\mathbf{v}\mathcal{E}-\mathbf{P}) t + \sum E \tilde{\mathbf{r}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mathcal{E}=\sum E</math> &mdash; суммарная энергия движения. Последний член будем помечать тильдой. Его отношение к <math>\textstyle \mathcal{E}</math> даёт радиус-вектор центра энергии относительно мгновенного положения системы <math>\textstyle S'</math>. Компоненты суммарного вектора <math>\textstyle \tilde{\mathbf{R}}</math> имеют вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{R}} = \sum E \tilde{\mathbf{r}}= \sum\frac{m\gamma\{\tilde{x}-v\omega_0 \, y\tilde{x},\;\;y - v\omega_0 \,y^2\}}{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Запишем также выражения для суммарной энергии и импульса:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathcal{E}=\sum\frac{m\gamma (1-v\omega_0 \, y)}{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}}, \;\;\;\;\;\;\; \mathbf{P} = \sum\frac{m\gamma\{v-\omega_0 y,\; \omega_0 \tilde{x}\}}{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Для гантельки в этих соотношениях суммы содержат по два слагаемых для каждого из шариков.

Ниже на рисунке представлена зависимость от времени мгновенного момента импульса <math>\textstyle \tilde{L}</math> и траектория на плоскости <math>\textstyle x,y</math> мгновенного центра энергии <math>\textstyle \tilde{\mathbf R}/\mathcal{E}</math> относительно начала системы <math>\textstyle S'</math> и суммарного импульса. При этом <math>\textstyle v=0.8</math>, <math>\textstyle w_0=0.6</math>, <math>\textstyle m=r_0=1</math>. Время изменяется от 0 до <math>\textstyle \pi/\omega</math>.



<center>[[File:L_osc.png]]</center>

Колебания момента импульса в неподвижной системе отсчёта связаны с быстрым вращением шариков в системе <math>\textstyle S'</math>. Раскладывая косинус в уравнении () в ряд по <math>\textstyle \omega_0 v\gamma \tilde{x}</math>, а затем <math>\textstyle \tilde{x}</math> в ряд по <math>\textstyle \omega_0</math>, имеем:

:<center><math>\gamma \tilde{x}\approx r_0\,c + r^2_0 \omega_0 v\,s\,c + O(\omega^2r^3_0),\;\;\;\;\;\;\; y\approx r_0\,s -r^2_0\,\omega_0 v\,c^2+ O(\omega^2r^3_0).</math></center>

где <math>\textstyle c=\cos(\phi+\omega t)</math>, <math>\textstyle s=\sin(\phi+\omega t)</math>. При суммировании в () нечётные степени <math>\textstyle r_0</math> сокращаются, так как для одного шарика будет "<math>\textstyle r_0</math>", а для второго &mdash; "<math>\textstyle -r_0</math>". Поэтому момент в этом приближении постоянен:

:<center><math>\tilde{L} \approx \gamma L_0 + O(\omega^2_0 r^3_0).</math></center>

Поправка к результату преобразования () совершает осцилляторные колебания с частотой <math>\textstyle 2\omega</math>. Центр энергии относительно начала системы <math>\textstyle S'</math> в ведущем приближении совпадает с результатом преобразования ():

:<center><math>\frac{\tilde{\mathbf{R}}}{\mathcal E} \approx r^2_0\gamma \omega_0\,\bigl\{0,\;- v \bigr\}.</math></center>

Суммарная энергия движения в системе <math>\textstyle S</math> зависит от времени следующим образом:

:<center><math>\frac{\mathcal{E}}{\mu \gamma} \approx 1 + \frac{r^2_0 \omega^2_0}{2} + r^2_0 \omega^2_0v^2 \cos^2(\omega t)+...,</math></center>

а суммарный импульс не равен <math>\textstyle \mathbf{v}\mathcal{E}</math>:

:<center><math>\frac{\mathbf{P}}{\mathcal E} \approx \mathbf{v} + \frac{\omega_0^2 r^2_0 v}{2\gamma^2}\,\, \Bigl\{1+\cos(2\omega t),\;\; \gamma^2\sin(2\omega t)\Bigr\}+...,</math></center>

что приводит не только к колебаниям вектора <math>\textstyle \mathbf{R}</math> вслед за центром энергии, но и к увеличению его длины со временем (). Все эти эффекты проявляются только при быстром вращении, когда параметр <math>\textstyle \omega_0</math> велик. При малых <math>\textstyle \omega_0</math> справедливы преобразования (),().

Полученные соотношения для гантельки позволяют найти суммарные величины, характеризующие вращающееся кольцо или диск. Пусть кольцо состоит из множества "гантелек", равномерно заполняющих плоскость кольца в системе <math>\textstyle S'</math>. В системе <math>\textstyle S</math> внешний вид этого диска в любой момент времени изображён на рисунке 20.



<center>[[File:rot_disk.png]]</center>

Внешний вид кольца не меняется со временем, и всегда наблюдается сгущение масс в нижней части кольца в направлении векторного произведения <math>\textstyle \mathbf{v}\times\mathbf{L}</math>, где момент импульса <math>\textstyle \mathbf{L}</math> перпендикулярен рисунку.

Уравнения () для определения <math>\textstyle \tilde{x}</math> и <math>\textstyle y</math> трансцендентны:

:<center><math>\frac{\gamma\tilde{x}}{r_0}=\cos\bigl(\phi+\omega t-\alpha\, \frac{\gamma \tilde{x}}{r_0}\bigr),\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{y}{r_0} = \sin\bigl(\phi+\omega t-\alpha\, \frac{\gamma \tilde{x}}{r_0}\bigr),</math></center>

где <math>\textstyle \alpha=\omega_0 v r_0</math>. При суммировании вклада каждого шарика необходимо перейти к интегрированию по углу <math>\textstyle \phi</math> ("усреднению"):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \left\langle f\right\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{2\pi}_0 f(\phi)\,d\phi. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Можно показать[Thomas], что для нечётных степеней <math>\textstyle \tilde{x}</math> средние равны нулю:

:<center><math>\left\langle \tilde{x}\right\rangle =\left\langle \tilde{x}y\right\rangle =0,</math></center>

а ненулевые значения имеют вид:

:<center><math>\left\langle y\right\rangle =-\frac{\omega_0 v r^2_0}{2}, \;\;\;\;\;\;\left\langle \tilde{x}^2\right\rangle =\frac{r^2_0}{2\gamma^2}, \;\;\;\;\;\;\left\langle y^2\right\rangle =\frac{r^2_0}{2}.</math></center>

При помощи этих соотношений несложно найти момент импульса и центр энергии летящего в системе <math>\textstyle S</math> вращающегося кольца. Все суммы в соотношениях (), (), () заменяются на интеграл по углу <math>\textstyle \phi</math>.

Суммарная масса кольца должна равняться <math>\textstyle \mu</math>, так что:

:<center><math>\sum m \mapsto \frac{1}{2\pi} \int\limits^{2\pi}_0 \mu d\phi = \mu.</math></center>

Суммарная энергия и импульс кольца равны:

:<center><math>\mathcal{E}= \frac{\mu\gamma}{\sqrt{1-(\omega_0 r_0)^2}} + \frac{\gamma L_0 v^2\omega_0}{2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{P}=\mathbf{v}\mathcal{E}+\mathbf{v}\,\frac{L_0\omega_0}{2\gamma}.</math></center>

В отличие от гантельки, они не зависят от времени. Однако релятивистская связь <math>\textstyle \mathbf{P}=\mathbf{v}\mathcal{E}</math> для суммарных величин не выполняется.

Усредняя (), приходим к выводу, что суммарный момент импульса совпадает с результатом преобразований ():

:<center><math>L = \tilde{L} = \gamma L_0.</math></center>

Момент вращения симметричного кольца будет постоянным в обеих системах отсчёта. Это же будет справедливо и для диска, ось вращения которого перпендикулярна относительной скорости. Заметим, что этот результат справедлив, только когда угловая скорость вращения перпендикулярна скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math>. В общем же случае момент импульса линейно увеличивается со временем \cite{Stepsnov_Thomas}. При этом член, зависящий от времени, имеет второй порядок малости по угловой скорости вращения кольца.

Вектор <math>\textstyle \tilde{\mathbf{R}}</math> соответствует преобразованию (), а исходный вектор <math>\textstyle \mathbf{R}</math> без тильды линейно растёт со временем:

:<center><math>\tilde{\mathbf{R}} = L_0\gamma\,v\,\bigl\{0, -1\bigr\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{R} = L_0\gamma v\,\bigl\{-\frac{\omega_0 t}{2\gamma^2}, -1\bigr\},</math></center>

Изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{R}</math> со временем связано с тем, что суммарный импульс не равен суммарной энергии, умноженной на скорость: <math>\textstyle \mathbf{P}\neq \mathbf{v}\mathcal{E}</math>. В результате, хотя центр энергии относительно начала системы <math>\textstyle S'</math> постоянен, вектор <math>\textstyle \mathbf{R}</math>, в силу (), будет линейно увеличиваться со временем.

Тем не менее при малых угловых скоростях с точностью до первого порядка малости по <math>\textstyle \omega_0</math> можно считать, что векторы <math>\textstyle \mathbf{R}</math> и <math>\textstyle \mathbf{L}</math> имеют постоянные компоненты. В этом приближении эффект относительности одновременности можно не учитывать и пользоваться преобразованиями (), () и для суммарных величин. В рамках этого приближения найдём уравнение, описывающее изменение момента импульса вращающегося гироскопа, если он изменяет свою скорость поступательного движения.

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Ускоренное движение гироскопа]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3])
 | width="40%" align="right"| >> [[Равноускоренная система отсчёта]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии