Просмотр исходного текста страницы Нелинейные преобразования

{| width="100%"  
 | width="30%"|[[Группа Пуанкаре]] << 
 ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf Глава 6]) 
 | width="30%" align="right"| >> [[Эрлангенская программа]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим вектор <math>\textstyle n</math> переменных <math>\textstyle \mathbf{x}=(x^1,...,x^n)</math>, которые мы будем называть далее координатами, и набор <math>\textstyle s</math> параметров <math>\textstyle \mathbf{a}=(a^1,...,a^s)</math> определяющих в общем случае ''нелинейное преобразование'':

:<center><math>x^i\mapsto x'^i = f_i(a^1,....,a^s,\;x^1,...,x^n),\;\;\;\;или\;\;\;\;\mathbf{x}\mapsto \mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x}) = \hat{T}_{\mathbf{a}}\mathrm{x}.</math></center>

Например, в одномерном случае преобразования ''трансляции'' и ''масштабирования'' (они линейны!) имеют вид:

:<center><math>{трансляция}:\;\;x\mapsto x'=x+a,\;\;\;\;\;\;\;\;{масштабирование}:\;\;x\mapsto x'=e^a\cdot x.</math></center>

Нас будут интересовать преобразования образующие ''непрерывную группу''. Пусть при помощи параметров <math>\textstyle \mathbf{a}</math> мы перешли в координатном пространстве от точки <math>\textstyle \mathbf{x}</math> к <math>\textstyle \mathbf{x}_1=\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{x})</math>, а затем, при помощи <math>\textstyle \mathbf{b}</math>, от <math>\textstyle \mathbf{x}_1</math> к <math>\textstyle \mathbf{x}_2=\mathbf{f}(\mathbf{b},\mathbf{x}_1)</math>. Пусть существует некоторое <math>\textstyle \mathbf{c}=\phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>, которое позволяет сразу перейти от <math>\textstyle \mathbf{x}</math> к <math>\textstyle \mathbf{x}_2</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{f} \bigl(\mathbf{b},\;\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr) = \mathbf{f} \bigl(\phi(\mathbf{b},\mathbf{a}),\;\mathbf{x}\bigr). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Кроме этого, предположим, что существует единичное преобразование с параметром '''e''', не изменяющее координат, и обратное, с параметром <math>\textstyle \mathbf{a}^{-1}</math>, которое возвращает преобразованное <math>\textstyle \mathbf{x}</math> к исходному:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{f}(\mathbf{e}, \mathbf{x}) = \mathbf{x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{f}\bigl(\mathbf{a}^{-1},\;\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr) = \mathbf{x}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Для преобразований трансляции и масштабирования единичный параметр <math>\textstyle \mathbf{e}=0</math>, а обратный <math>\textstyle \mathbf{a}^{-1}=-a</math>.

Если число параметров <math>\textstyle s</math> меньше чем размерность пространства <math>\textstyle n</math>, то групповое преобразование имеет простую геометрическую интерпретацию. Так, при <math>\textstyle s=1</math> функция <math>\textstyle \mathbf{f}(a, \mathbf{x})</math> задаёт кривую в пространстве <math>\textstyle \mathbf{x}=(x^1,...,x^n)</math>. Если зафиксировать "начальную" точку <math>\textstyle \mathbf{x}</math> и начать изменять параметр <math>\textstyle a</math>, мы получим непрерывное множество точек образующих некоторую линию. Если взять другую точку в пространстве не лежащую на линии, мы получим другую кривую. Таким образом всё пространство "расслаивается" на множество подобных кривых.

Однако, нас интересуют не любые кривые заданные параметрическим образом, а лишь те, которые обладают свойством ''эквивалентности'' всех своих точек. В этом случае ''любая'' точка кривой может выступить в качестве "начальной", и при помощи ''одной и той же'' функции <math>\textstyle \mathbf{f}(a,\mathbf{x})</math> можно из неё "продолжить" кривую дальше. Подобным образом двухпараметрические группы при <math>\textstyle n>2</math> определяют некоторую поверхность, обладающую свойством симметрии (равноправия всех своих точек), и т.д.

<math>\textstyle \bullet</math> Функция ''композиции параметров'' двух последовательных непрерывных преобразований <math>\textstyle \mathbf{c}= \phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math> является векторной, <math>\textstyle s</math>-компонентной функцией: <math>\textstyle c^\gamma=\phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>. Она удовлетворяет таким же функциональным уравнениям как и в случае линейных преобразований (стр.\,\pageref{mat_group_def5}):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \phi(\phi({\mathbf c},{\mathbf b}), \;{\mathbf a}) = \phi({\mathbf c}, \phi({\mathbf b},{\mathbf a})). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Без потери общности будем считать, что единичное преобразование соответствует нулевому значению параметров: <math>\textstyle \phi(\mathbf{0},\mathbf{a})=\phi(\mathbf{a},\mathbf{0})=\mathbf{a}</math>. Как мы видели, в окрестности нуля эта функция имеет вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \phi^{\gamma}(\mathbf{b},\mathbf{a}) \approx a^\gamma + b^\gamma + \phi^{\,\gamma}_{\alpha\beta} \,b^\alpha \,a^\beta, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

a антисимметричные по нижним индексам величины <math>\textstyle c^{\,\gamma}_{\alpha\beta} = \phi^{\,\gamma}_{\alpha\beta}-\phi^{\,\gamma}_{\beta\alpha}</math> называются ''структурными константами''.

<math>\textstyle \bullet</math> Групповые свойства являются сильными ограничениями на возможный вид преобразований. Например, в одномерном случае ''наиболее общее'' преобразование, образующее группу, имеет дробно-линейный вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> x\mapsto x' = \frac{e^{a_1}\, x + a_2}{1+a_3\, x}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Трансляция и масштабирование являются его частными случаями. В качестве упражнения стоит проверить, что оно удовлетворяет условиям (), (), и найти функцию <math>\textstyle \mathbf{c}=\phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>. Вторым упражнением является проверка того, что преобразование <math>\textstyle x\mapsto x'=a_1\, x^2+ a_2\, x + a_3</math> не удовлетворяет (), и, следовательно, не является группой.

<math>\textstyle \bullet</math> Заметим, что всегда можно провести замену координат <math>\textstyle \tilde{\mathbf{x}}=h(\mathbf{x})</math> и переопределить параметры группы <math>\tilde{\mathbf{a}}=\psi(\mathbf{a})</math>. Так, переход от декартовых координат <math>\textstyle \mathbf{x}=(x,y)</math> к полярным <math>\textstyle \tilde\mathbf{x}=(r, \chi)</math>, группу 2-мерных поворотов делает трансляционной:

:<center><math>\begin{array}{l} x \mapsto x' = x \cos a + y \sin a\\ y \mapsto y' = -x \sin a + y \cos a,\\ \end{array} \;\;\;\; \left\{ \begin{array}{l} x = r \cos \chi\\ y = r \sin \chi\\ \end{array} \right\} \;\;\;\;=>\;\;\;\; \begin{array}{l} r\mapsto r' = r \\ \chi \mapsto \chi' = \chi + a.\\ \end{array}</math></center>

Аналогично, заменой <math>\textstyle x=e^{\tilde{x}}</math> масштабирование <math>\textstyle x'=e^a x</math> превращается в трансляционное преобразование <math>\textstyle \tilde{x}'=\tilde{x}+a</math>.

Поэтому, говоря о единственности дробно-линейных преобразований для <math>\textstyle n=1</math>, на самом деле, подразумевается более общее преобразование:

:<center><math>h(x') = \frac{e^{a_1}\,h(x)+a_2}{1+a_3\,h(x)},</math></center>

и аналогично, для переопределения параметров группы <math>\textstyle \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим произвольное, бесконечно - малое преобразование, разложив его в ряд Тейлора по параметрам <math>\textstyle a^\alpha=(a^1,...,a^s)</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> f^k(\mathbf{a},\mathbf{x}) = x^k + u^k_{\alpha}(\mathbf{x})\,a^\alpha + ...., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\; u^k_{\alpha}(\mathbf{x}) = \frac{\partial f^k(\mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=0}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Величины <math>\textstyle u^k_{\alpha}</math> называются ''касательными векторами'', так как они касаются кривой (поверхности и т.д.) при бесконечно малом изменении параметров <math>\textstyle \mathbf{a}</math>. Действительно, разница между двумя соседними точками (сдвиг) на кривой или поверхности равна: <math>\textstyle dx^k=x'^k-x^k\approx u^k_{\alpha}(\mathbf{x})\, a^\alpha</math>.

Аналогично, закон композиции можно разложить в ряд по первому аргументу (параметры второго преобразования):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a}) = a^\gamma + \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})\,b^{\alpha}+..., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;где\;\; \mu^\gamma_{\alpha}(\mathbf{a}) = \frac{\partial \phi^\gamma(\mathbf{b}, \mathbf{a})}{\partial b^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{b}=0}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Так как при малых параметрах преобразования <math>\textstyle \mathbf{a}</math> и <math>\textstyle \mathbf{b}</math> для <math>\textstyle \phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a})</math> справедливо разложение (), то функция <math>\textstyle \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})\approx \delta^\gamma_\alpha+\phi^\gamma_{\alpha\beta}a^\beta</math> (<math>\textstyle \delta^\gamma_\alpha</math> &mdash; символ Кронекера) имеет следующие значения:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{0}) = \delta^\gamma_\alpha,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \partial_\beta \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{0}) \equiv \frac{\partial \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})}{\partial a^\beta}\Bigr|_{\mathbf{a}=0} = \phi^\gamma_{\alpha\beta}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Функции <math>\textstyle u^k_\alpha(\mathbf{x})</math> и <math>\textstyle \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})</math>, как и структурные константы <math>\textstyle c^\gamma_{\alpha\beta}</math>, играют важную роль в теории нелинейных непрерывных групп.

<math>\textstyle \bullet</math> Возьмём производную по <math>\textstyle b^{\beta}</math> от закона композиции преобразований:

:<center><math>\mathbf{f}(\mathbf{b}, \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})) = \mathbf{f}(\phi(\mathbf{b},\mathbf{a}),\mathbf{x})</math></center>

и приравняем <math>\textstyle \mathbf{b}=\mathbf{0}</math>. Левая часть по определению () равна <math>\textstyle u^k_\beta\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr)</math>, а производная правой берётся как от сложной функции:

:<center><math>u^k_\beta\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr) = \frac{\partial f^k}{\partial \phi^\gamma_{(\mathbf{b},\mathbf{a})}}\,\frac{\partial \phi^\gamma_{(\mathbf{b},\mathbf{a})}}{\partial b^\beta}\Bigr|_{\mathbf{b}=0} = \frac{\partial f^k}{\partial a^\gamma} \,\mu^\gamma_\beta(\mathbf{a}).</math></center>

Таким образом, функция <math>\textstyle \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})</math> удовлетворяет дифференциальному уравнению:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a}) \,\frac{\partial f^k( \mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\gamma} = u^k_\beta\bigl(f(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Если функции ''одной'' (векторной) переменной <math>\textstyle u^k_\beta(\mathbf{x})</math> и <math>\textstyle \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a})</math> известны, то решение этого уравнения с начальным условием <math>\textstyle \mathbf{f}( \mathbf{0},\mathbf{x})=\mathbf{x}</math> позволяет восстановить зависимость функции ''двух'' переменных <math>\textstyle \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Найдём уравнение которому удовлетворяют касательные векторы <math>\textstyle u^k_\beta(\mathbf{x})</math>. Возьмём производную () по <math>\textstyle a^\alpha</math> и положим <math>\textstyle \mathbf{a}=\mathbf{0}</math>:

:<center><math>\phi^\gamma_{\beta\alpha}\, u^k_\gamma(\mathbf{x}) + \frac{\partial f^k(\mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\alpha \partial a^\beta}\Bigr|_{\mathbf{a}=\mathbf{0}} = \frac{\partial u^k_\beta(\mathbf{f})}{\partial f^i}\, \frac{\partial f^i(\mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=0} = \frac{\partial u^k_\beta(\mathbf{x})}{\partial x^i}\, u^i_\alpha(\mathbf{x}),</math></center>

где мы воспользовались определением () и значениями (). Переставим местами индексы <math>\textstyle \alpha</math>, <math>\textstyle \beta</math> и вычтем из исходного уравнения. Учитывая, что вторая производная по <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math> симметрична, получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> u^i_\alpha(\mathbf{x}) \,\partial_i u^{k}_\beta(\mathbf{x}) \,-\,u^i_\beta(\mathbf{x}) \,\partial_i u^{k}_\alpha(\mathbf{x}) = -c^\gamma_{\alpha\beta} \,u^k_\gamma(\mathbf{x}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \partial_i=\partial/\partial x^i</math> и <math>\textstyle c^\gamma_{\alpha\beta}=\phi^\gamma_{\alpha\beta}-\phi^\gamma_{\beta\alpha}</math> - структурные константы группы.

Перепишем () в ''операторной форме'' при помощи величин:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \hat{X}_\alpha = -u^i_\alpha(\mathbf{x})\partial_i, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

которые удовлетворяют ''алгебре Ли'':

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> [\hat{X}_\alpha, \hat{X}_\beta] = c^\gamma_{\alpha\beta}\,\hat{X}_\gamma, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где как и раньше <math>\textstyle [\hat{A}, \hat{B}]=\hat{A}\,\hat{B}-\hat{B}\,\hat{A}</math> &mdash; ''коммутатор'' операторов. Действительно, так как <math>\textstyle \hat{X}_\alpha</math> операторы, соотношение () понимается в смысле его действия на произвольную функцию <math>\textstyle F=F(\mathbf{x})</math>:

:<center><math>(\hat{X}_\alpha\hat{X}_\beta-\hat{X}_\beta\hat{X}_\alpha)F = u^i_\alpha\,\partial_i ( u^j_\beta\,\partial_j F) - u^j_\beta\,\partial_j ( u^i_\alpha\,\partial_i F) =-c^\gamma_{\alpha\beta} \,u^i_\gamma\,\partial_i F = c^\gamma_{\alpha\beta}\hat{X}_\gamma F,</math></center>

где раскрыта производная произведения и учтены уравнения ().

Рассмотрим в качестве примера группу масштабирования и сдвига одномерного пространства <math>\textstyle x'=e^{a_1}\,x+a_2</math>. В этом случае, в соответствии с (), касательные векторы равны <math>\textstyle u_1(x) = x</math> и <math>\textstyle u_2(x)=1</math> (индекса <math>\textstyle k</math> нет, так это одномерный случай). Поэтому генераторы группы имеют вид:

:<center><math>\hat{X_1} = -x\,\frac{d}{dx},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\hat{X}_2 = -\frac{d}{dx}.</math></center>

Вычислим их коммутатор:

:<center><math>[\hat{X}_1, \hat{X}_2]\,F(x) = x\, \frac{d^2 F }{dx^2} - \frac{d}{dx} \left(x \,\frac{dF}{dx} \right) = -\frac{dF}{dx} = \hat{X}_2 \,F(x).</math></center>

Таким образом

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> [\hat{X}_1, \hat{X}_2] = \hat{X}_2, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

и не нулевые структурные константы равны <math>\textstyle c^2_{12}=-c^2_{21}=1</math>.

В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H), предлагается найти генераторы и структурные константы для дробно-линейной группы (), стр.\,\pageref{group_1D_drlin}.

<math>\textstyle \bullet</math> Функция композиции <math>\textstyle \phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math> также как и <math>\textstyle \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})</math> удовлетворяет определённым дифференциальным уравнениям. Их вывод полностью аналогичен выводу уравнений для <math>\textstyle \mathbf{f}( \mathbf{a},\mathbf{x})</math> и <math>\textstyle u^k_\beta(\mathbf{x})</math>. Вообще, параметрическую композицию можно рассматривать как преобразование задающее некоторую кривую в параметрическом пространстве начинающуюся в точке <math>\textstyle \mathbf{a}</math> при изменении парамера <math>\textstyle \mathbf{b}</math>.

Запишем для закона композиции свойство ассоциативности:

:<center><math>\phi({\mathbf c}, \phi({\mathbf b},{\mathbf a}))=\phi(\phi({\mathbf c},{\mathbf b}), \;{\mathbf a}),</math></center>

возьмём его производную по <math>\textstyle c^\beta</math> и приравняем <math>\textstyle \mathbf{c}=\mathbf{0}</math>. Учитывая определение (), имеем

:<center><math>\mu^\gamma_\beta\bigl(\phi(\mathbf{b},\mathbf{a})\bigr) = \frac{\partial\phi^\gamma(\phi_{(\mathbf{c},\mathbf{b}), \mathbf{a}})}{\partial \phi^\sigma_{(\mathbf{c},\mathbf{b})}} \,\frac{\partial\phi^\sigma_{(\mathbf{c},\mathbf{b})}}{\partial c^\beta}\Bigr|_{\mathbf{c}=\mathbf{0}} = \frac{\partial\phi^\gamma(\mathbf{b}, \mathbf{a})}{\partial b^\sigma} \,\mu^\sigma_\beta(\mathbf{b}).</math></center>

Поэтому уравнение для функции <math>\textstyle \phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math> имеет вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mu^\sigma_\beta(\mathbf{b})\,\frac{\partial\phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a})}{\partial b^\sigma} =\mu^\gamma_\beta\bigl(\phi(\mathbf{b},\mathbf{a})\bigr). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Для получения дифференциальных ограничений на функции <math>\textstyle \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a})</math> возьмём производную этого уравнения по <math>\textstyle b^\alpha</math> и положим <math>\textstyle \mathbf{b}=\mathbf{0}</math>. Учитывая () имеем:

<center>[[File:sym_tbl11.png]]</center>

Переставив индексы <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math>, и вычтя из исходного уравнения, получим:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mu^\sigma_\alpha(\mathbf{a})\,\partial_\sigma \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a}) - \mu^\sigma_\beta(\mathbf{a}) \,\partial_\sigma \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a}) = -c^\sigma_{\alpha\beta} \,\mu^{\gamma}_\sigma(\mathbf{a}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \partial_\sigma=\partial/\partial a^\sigma</math>. Взяв производную по <math>\textstyle a^k</math> и положив <math>\textstyle \mathbf{a}=0</math>, можно снова прийти к тождеством Якоби для структурных констант () стр.\,\pageref{group_jacobi}.

При известных структурных константах <math>\textstyle c^\sigma_{\alpha\beta}</math>, решение уравнения () даёт функцию <math>\textstyle \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a})</math>. С её помощью далее решается уравнение () и находится функция композиции <math>\textstyle \phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>.

В случае трансляций и масштабирования <math>\textstyle x'=e^{a_1}\,x+a_2</math> одномерного пространства закон композиции имеет вид (функция <math>\textstyle \phi_k</math> и параметры имеют 2 компоненты и индексы опущены вниз):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \phi_1(\mathbf{b},\mathbf{a}) = a_1+b_1\\ \phi_2(\mathbf{b},\mathbf{a}) = e^{b_1}a_2+b_2\approx a_2+b_2 + b_1a_2 .\\ \end{array} </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Следовательно, <math>\textstyle \phi^2_{12}=1</math>, а остальные коэффициенты <math>\textstyle \phi^\gamma_{\alpha\beta}</math> равны нулю. Поэтому, ненулевая структурная константа равна <math>\textstyle c^2_{12}=\phi^2_{12}-\phi^2_{21}=1</math>, что и было получено выше ().

<math>\textstyle \bullet</math> Иногда удачный выбор способа параметризации группы существенно упрощает групповое преобразование. Рассмотрим случай однопараметрической группы <math>\textstyle \mathbf{a}=\{a\}</math>. В этом случае структурные константы равны нулю. Уравнение () для функции <math>\textstyle \mu(\mathbf{a})</math> тождественно выполняется, а уравнение () для <math>\textstyle \phi</math> имеет вид:

:<center><math>\mu(b)\,\frac{d\phi(b,a)}{db} = \mu\bigl(\phi(b,a)\bigr).</math></center>

Интегрируя его с "начальным" условием <math>\textstyle \phi(0,a)=a</math>, получаем:

:<center><math>\psi(\phi(b,a)) = \psi(a) + \psi(b),</math></center>

где <math>\textstyle \psi'(b)=1/\mu(b)</math>. Таким образом, с точностью до переопределения параметров однопараметрическое преобразование должно иметь аддитивный закон композиции <math>\textstyle \phi(b,a)=a+b</math>. Для трансляции и поворотов в плоскости это очевидно, а для преобразования масштабирования в виде <math>\textstyle x\mapsto x'=\tilde{a} \, x</math> имеем <math>\textstyle \tilde{a}=\psi(a)=e^a</math>. Параметризация при которой <math>\textstyle \phi(b,a)=a+b</math> называется ''канонической''.

<math>\textstyle \bullet</math> Функция координат называется ''инвариантом группы'', если её ''функциональная зависимость'' не изменяется при групповом преобразовании <math>\textstyle F\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{x})\bigr)=F\bigl(\mathbf{x}\bigr)</math> и, следовательно, <math>\textstyle F\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr)</math> не зависит от <math>\textstyle \mathbf{a}</math>. Поэтому производная по <math>\textstyle \mathbf{a}</math> в нуле должна равняться нулю:

:<center><math>\frac{\partial F\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{x})\bigr)}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=\mathbf{0}} = \frac{\partial F}{\partial f^k}\,\frac{\partial f^k}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=\mathbf{0}} = u^k_\alpha(\mathbf{x})\, \frac{\partial F}{\partial x^k} \equiv -\hat{X}_\alpha F(\mathbf{x}) =0.</math></center>

Справедливо и обратное утверждение: если некоторая функция удовлетворяет уравнениям <math>\textstyle \hat{X}_\alpha F(\mathbf{x})=0</math>, то она будет инвариантной относительно группы определяемой генераторами <math>\textstyle \hat{X}_\alpha</math>.

Для ''однопараметрической группы'' генератор один. В <math>\textstyle n</math>-мерном пространстве уравнение <math>\textstyle \hat{X} F = -u^k(\mathbf{x})\partial_k F = 0</math> является уравнением первого порядка в частных производных. В соответствии с методом характеристик оно решается при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

:<center><math>\frac{dx^1}{u^1(\mathbf{x})} = \frac{dx^2}{u^2(\mathbf{x})} = ... = \frac{dx^n}{u^n(\mathbf{x})}.</math></center>

Эта система имеет <math>\textstyle n-1</math> интегралов <math>\textstyle C_1=I_1(\mathbf{x})</math>, ..., <math>\textstyle C_{n-1}=I_{n-1}(\mathbf{x})</math>. Общее решение уравнения <math>\textstyle \hat{X} F= 0</math> будет иметь вид <math>\textstyle F(I_1(\mathbf{x}),...,I_{n-1}(\mathbf{x}))</math>, где <math>\textstyle F</math> - произвольная функция <math>\textstyle n-1</math> аргументов. Функции <math>\textstyle I_k(\mathbf{x})</math>, <math>\textstyle k=1,...,n-1</math> называются ''базовыми инвариантами''. Произвольный инвариант <math>\textstyle F</math> является их функцией. В качестве упражнения, предлагается найти инварианты 1-параметрической группы масштабирования 2-мерного пространства <math>\textstyle x'=e^a\, x</math>, <math>\textstyle y'=e^a\, y</math> (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) и группы <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H).

----
{| width="100%"  
 | width="30%"|[[Группа Пуанкаре]] << 
 ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf Глава 6])
 | width="30%" align="right"| >> [[Эрлангенская программа]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии