Просмотр исходного текста страницы Динамическое уравнение для средних

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Порождающий процесс Винера]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Процесс Феллера]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> Для получения информации о случайном процессе <math>\textstyle x(t)</math> можно сначала решить уравнение Ито, а затем вычислить ''наблюдаемые'' характеристики процесса, которые, в конечном счёте, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.

Рассмотрим итерационную схему в моменты времени <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle t+dt</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> x(t+dt) = x + a(x,t)\,dt + b(x,t)\,\varepsilon\, \sqrt{dt}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.1)'''</div>
 |}

Значение процесса <math>\textstyle x=x(t)</math> и гауссова величина <math>\textstyle \varepsilon</math> являются двумя ''независимыми'' случайными величинами. В результате вычисления (3.1) возникает новое случайное число <math>\textstyle x(t+dt)</math>. Чтобы найти его среднее значение необходимо проинтегрировать левую часть (3.1) с марковской плотностью <math>\textstyle P(x_0,t_0\Rightarrow x+dt, t+dt)</math>. Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с <math>\textstyle P(x_0,t_0\Rightarrow x, t)\cdot P(\varepsilon)</math>, где <math>\textstyle P(\varepsilon)</math> &mdash; гауссова плотность вероятности. Так как <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle \varepsilon</math> независимы и <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math>, то усреднение последнего слагаемого в (3.1) даёт ноль, поэтому:

:<center><math>\left\langle x(t+dt)\right\rangle = \left\langle x(t)\right\rangle + \left\langle a(x(t), t)\right\rangle \,dt.</math></center>

Перенося <math>\textstyle \left\langle x(t)\right\rangle </math> влево и разделив обе части на <math>\textstyle dt</math>, мы приходим к динамическому уравнению для среднего:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\left\langle x\right\rangle }{dt}= \dot{\left\langle x\right\rangle } = \left\langle a(x, t)\right\rangle . </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.2)'''</div>
 |}

Если <math>\textstyle a(x,t)=\alpha(t)+\beta(t)\, x</math>, то (3.2) имеет ту же форму, что и детерминированное уравнение:

:<center><math>\dot{\left\langle x\right\rangle } = \alpha(t)+\beta(t)\, \left\langle x\right\rangle .</math></center>

Поэтому при любой волатильности <math>\textstyle b(x,t)</math> среднее значение процесса с линейным по <math>\textstyle x</math> сносом совпадает с детерминированным решением. Однако в нелинейном случае это не так!

Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию <math>\textstyle F=F(x,t)</math>, изменение которой подчиняется [[Лемма Ито|лемме Ито (2.15)]], получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> { \;\frac{d\left\langle F(x,t)\right\rangle }{dt} = \left\langle \frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\cdot \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2}\cdot \frac{\partial^2 F }{\partial x^2} \right\rangle \; }. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.3)'''</div>
 |}

Выбирая те или иные функции <math>\textstyle F(x,t)</math>, можно получить множество полезных соотношений для средних величин.

<math>\textstyle \bullet</math> В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

:<center><math>dx = -\beta\cdot (x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W,</math></center>

решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову переменную. В данном случае снос является линейным по <math>\textstyle x</math>, и сразу получается зависимость среднего от времени:

:<center><math>\dot{\left\langle x\right\rangle } = -\beta\cdot\bigl(\left\langle x\right\rangle -\alpha\bigr)\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x\right\rangle = \alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t}.</math></center>

В качестве начального условия при <math>\textstyle t_0=0</math> выбрано значение среднего, равное <math>\textstyle x_0</math>. Вообще, если в начальный момент времени <math>\textstyle x=x_0</math>, то средние произвольной степени при <math>\textstyle t_0=0</math> равны <math>\textstyle \left\langle x^n\right\rangle =x^n_0</math>. Действительно, средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плотность вероятности равна дельта - функции: <math>\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x, t_0)=\delta(x-x_0)</math>. В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное распределение вероятностей, ''задавая'' <math>\textstyle \left\langle x^n\right\rangle </math> в момент <math>\textstyle t_0=0</math>.

Выбирая теперь <math>\textstyle F=x^2</math>, получим уравнение для квадрата:

:<center><math>\dot{\left\langle x^2\right\rangle } = -2 \beta\,\left\langle x^2\right\rangle + 2\alpha\beta \,\left\langle x\right\rangle + \sigma^2.</math></center>

Функция <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle </math> нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:

:<center><math>\left\langle x^2\right\rangle = \left[\alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t}\right]^2 + \gamma^2\,\left(1-e^{-2\beta t}\right),</math></center>

где <math>\textstyle \gamma=\sigma/\sqrt{2\beta}</math>. Откуда волатильность процесса равна:

:<center><math>\sigma_x(t) = \gamma\,\sqrt{1-e^{-2\beta t}}.</math></center>

Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для средних часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так, для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая <math>\textstyle F=x^n</math>, имеем:

:<center><math>\dot{\left\langle x^n\right\rangle }= 0 \;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\; \left\langle x^{n}\right\rangle = \alpha \left\langle x^{n-1}\right\rangle + (n-1)\gamma^2 \,\left\langle x^{n-2}\right\rangle .</math></center>

Так как среднее единицы равно единице: <math>\textstyle \left\langle x^0\right\rangle =\left\langle 1\right\rangle =1</math>, из этого уравнения последовательно находим:

:<center><math>\left\langle x\right\rangle = \alpha,\;\;\;\;\left\langle x^2\right\rangle =\alpha^2+\gamma^2,\;\;\;\; \left\langle x^3\right\rangle =\alpha^3+3\alpha\gamma^2,\;\;\;\; \left\langle x^4\right\rangle =\alpha^4+6\alpha^2\gamma^2+3\gamma^4.</math></center>

Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического решения, выраженного через гауссову переменную (стр. \pageref{sol_OU}):

:<center><math>x = \alpha + \gamma\,\varepsilon.</math></center>

Для этого необходимо возвести <math>\textstyle x</math> в соответствующую степень и усреднить, с учётом <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^{2n+1}\right\rangle =0</math>, <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^{2n}\right\rangle =1\cdot 3\cdot 5\cdot ..\cdot (2n-1)</math>.

В качестве упражнения предлагается найти среднее для уравнения: <math>\textstyle dx = (\alpha + \beta x)\, dt + (\sigma +\gamma x)\, \delta W</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H).

<math>\textstyle \bullet</math> Из соотношения (3.3) несложно получить уравнение, которому удовлетворяет плотность вероятности <math>\textstyle P(x)</math> в стационарном режиме. Выберем функцию <math>\textstyle F(x)</math>, не зависящую от времени, и положим производную <math>\textstyle \left\langle F(x)\right\rangle </math> равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:

:<center><math>\int\limits^{\infty}_{-\infty}P(x)\, \left[ a(x)\cdot \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x)}{2}\cdot \frac{\partial^2 F }{\partial x^2} \right]\, dx = 0.</math></center>

Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе &mdash; два, и считая, что <math>\textstyle P(x)</math> достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:

:<center><math>\int\limits^{\infty}_{-\infty}\left[ - \frac{\partial (a\cdot P)}{\partial x} + \frac{1}{2}\cdot \frac{\partial^2 (b^2\cdot P) }{\partial x^2} \right]\,F(x)\, dx = 0.</math></center>

Так как функция <math>\textstyle F(x)</math> произвольна, то интеграл будет равен нулю, только если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате получается ''стационарное уравнение Фоккера - Планка'':

:<center><math>\frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ a(x) \cdot P\bigr] = \frac{1}{2}\;\frac{\partial^2}{\partial x^2} \;\bigl[ b^2(x) \cdot P \bigr]</math></center>

которое легко интегрируется:

:<center><math>a(x) P = \frac{1}{2}\;\frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ b^2(x) \cdot P\bigr].</math></center>

Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени <math>\textstyle \left\langle x^m\right\rangle </math>. Поэтому, устремив <math>\textstyle x\to\infty</math>, мы получим слева и справа ноль, что подтверждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{1}{2}\, \frac{P'(x)}{P(x)} =\frac{a(x)}{b^2(x)} - \frac{b'(x)}{b(x)}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.4)'''</div>
 |}

где штрих у функций &mdash; это производная по <math>\textstyle x</math>. Его решение имеет вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|
<math>P(x) = \frac{C}{b^2(x)}\, 
\exp \left\{2\int\frac{a(x)}{b^2(x)} \, dx \right\}{\bigl|} . </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.5)'''</div>
 |}

Константа интегрирования <math>\textstyle C</math> находится из условия нормировки. Выполнимость этого условия является критерием возможности стационарного решения. Так, для логарифмического блуждания (стр. \pageref{log_winer}) со сносом <math>\textstyle a(x)=\mu \, x</math> и волатильностью <math>\textstyle b(x)=\sigma\, x</math> имеем <math>\textstyle P(x)\sim x^{-2+2\mu/\sigma^2}</math>. Ни при каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.

<math>\textstyle \bullet</math> В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фоккера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

:<center><math>dx = -\beta\cdot(x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W.</math></center>

Интегрирование в (3.5) приводит к следующей плотности вероятности:

:<center><math>P(x) = \frac{1}{\sigma}\,\sqrt{\frac{\beta}{\pi}}\,\exp\left\{-\frac{(x-\alpha)^2}{\sigma^2/\beta}\right\},</math></center>

которая является распределением Гаусса. В терминах случайных величин <math>\textstyle P(x)</math> можно записать в виде:

:<center><math>x = \alpha + \frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\, \varepsilon,</math></center>

где <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math> &mdash; гауссова переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Аналогично, предлагается найти (<math>\textstyle \lessdot</math> H) асимптотическую плотность вероятности для процесса <math>\textstyle dx = -\beta\cdot (x-\alpha) \,dt + \sigma\, x^\nu\, \delta W</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим ещё одну задачу:

:<center><math>dx = \sigma \sqrt{\alpha^2+x^2}\,\delta W.</math></center>

Так как снос равен нулю <math>\textstyle a=0</math>, то среднее значение не изменяется со временем <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle =x_0</math>. Для среднего квадрата имеем:

:<center><math>\dot{\left\langle x^2\right\rangle } = \sigma^2\, (\alpha^2+\left\langle x^2\right\rangle )\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x^2\right\rangle = (\alpha^2 + x^2_0)\,e^{\sigma^2 \,t} - \alpha^2.</math></center>

Поэтому дисперсия процесса

:<center><math>\sigma^2_x(t) = (\alpha^2 + x^2_0)\,\left(e^{\sigma^2 \,t} -1\right)</math></center>

в пределе <math>\textstyle t\to\infty</math> стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом случае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению Коши:

:<center><math>P(x) = \frac{\alpha/\pi}{x^2+\alpha^2},</math></center>

к которому действительно приближается плотность вероятности процесса. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности, не существуют <math>\textstyle \left\langle x^n\right\rangle </math> при <math>\textstyle n>1</math>.


----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Порождающий процесс Винера]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Процесс Феллера]]
|}
----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения