Поворот и относительность одновременности

Рассмотрим стержень, расположенный "горизонтально" в направлении своего движения со скоростью v. Свяжем со стержнем инерциальную систему отсчёта $\textstyle S'$. Пусть наблюдатели в $\textstyle S'$ начинают сдвигать стержень вверх со скоростью $\textstyle \mathbf {u} '$. Так как $\textstyle \mathbf {u} '\mathbf {v} =0$, то, в силу закона сложения скоростей, эта скорость в "неподвижной" системе отсчёта $\textstyle S$ равна:

$\mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u} '/\gamma .$

Обозначим вертикальную составляющую скорости как $\textstyle d\mathbf {v} =\mathbf {u} '/\gamma$.

В системе $\textstyle S'$ левый и правый концы горизонтального стержня начинают поднимать вверх одновременно ($\textstyle \Delta t'=0$). В системе $\textstyle S$ эти события будут неодновременными. Так как $\textstyle \Delta t'=0$ для наблюдателей в $\textstyle S$ событие начала движения правого конца произойдёт позже на время

$\Delta t=v\Delta x$

и левый конец начнёт двигаться раньше правого ($\textstyle \Delta x=x_{2}-x_{1}>0$, следовательно $\textstyle \Delta t=t_{2}-t_{1}>0$).

Пусть левый конец стержня в момент $\textstyle t'=t=0$ совпадает с началами систем отсчёта $\textstyle x=x'=0$. В этот же момент времени по синхронизированным часам системы $\textstyle S'$ правый конец также находится на оси $\textstyle x'$ (стержень горизонтален). В силу преобразования Лоренца $\textstyle x=\gamma \,(x'+vt')$, для одновременных в $\textstyle S'$ событий ($\textstyle \Delta t'=0$) имеем $\textstyle \Delta x=\gamma \Delta x'$. В данном случае $\textstyle \Delta x'=L_{0}$ — собственная длина стержня в системе $\textstyle S'$. Поэтому координата правого события в $\textstyle S$ равна $\textstyle \gamma L_{0}$. За время $\textstyle \Delta t=v\Delta x=v\gamma L_{0}$ левый конец стержня сместится вверх на $\textstyle (v\gamma L_{0})\cdot dv$ и вправо на $\textstyle (v\gamma L_{0})\cdot v$. Поэтому проекция стержня на ось $\textstyle x$ равна:

$\gamma L_{0}-v^{2}\gamma L_{0}=L_{0}/\gamma .$

Тангенс угла поворота равен отношению катетов и для малой скорости $\textstyle dv$ примерно равен углу:

$\tan(d\phi )\approx d\phi ={\frac {v\gamma L_{0}\,dv}{L_{0}/\gamma }}=\gamma ^{2}vdv.$

Таким образом, для наблюдателей в $\textstyle S$ относительность одновременности приводит к повороту стержня на угол $\textstyle \gamma ^{2}vdv$. К этому же результату приводит и уравнение (25).