Неизотропные преобразования Лоренца

За границей известного <<	Оглавление	>> За границей известного

---

Введём новую функцию скорости:

$\gamma (-v)\gamma (v)={\frac {1}{1-\alpha \,v^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma (v)={\frac {f(v)}{\sqrt {1-\alpha \,v^{2}}}}.$

В силу (1.8) раздела Преобразования Лоренца, справедливо соотношение $\textstyle f(-v)\,f(v)=1.$ Возьмём первое уравнение в системе последовательных преобразований записанных перед (1.6) на странице Преобразования Лоренца, подставим в него $\textstyle \sigma (v)=\alpha \,v$

$x_{3}=\gamma _{2}\gamma _{1}\cdot [(1+\alpha \,v_{1}v_{2})\,x_{1}-(v_{1}+v_{2})\,t_{1}\;]\;=\;\gamma _{3}\cdot [x_{1}-v_{3}\,t_{1}],$

и приравняем коэффициенты при $\textstyle t_{1}$ и при $\textstyle x_{1}$:

$\left\{{\begin{array}{l}v_{3}\gamma _{3}=(v_{1}+v_{2})\gamma _{1}\gamma _{2}\\\gamma _{3}=(1+\alpha v_{1}v_{2})\gamma _{1}\gamma _{2}.\end{array}}\right.$

Разделив одно уравнение на другое получаем групповое сложение скоростей:

$v_{3}={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+\alpha \,v_{1}v_{2}}}.$

Запишем второе уравнение системы при помощи функции $\textstyle f(v)$:

${\frac {f_{3}}{\sqrt {1-\alpha \,v_{3}^{2}}}}=(1+\alpha \,v_{1}v_{2})\,{\frac {f_{1}\,f_{2}}{{\sqrt {1-\alpha \,v_{1}^{2}}}{\sqrt {1-\alpha \,v_{2}^{2}}}}}.$

Подставляя $\textstyle v_{3}$ в левую часть, имеем $\textstyle f_{3}=f_{1}\,f_{2}$, или следующее функциональное уравнение:

$f\left({\frac {v_{1}+v_{2}}{1+\alpha \,v_{1}v_{2}}}\right)=f(v_{1})f(v_{2}).$

Так как скорости $\textstyle v_{1}$ и $\textstyle v_{2}$ независимые, возьмём производную по $\textstyle v_{2}$

$f'\left({\frac {v_{1}+v_{2}}{1+\alpha \,v_{1}v_{2}}}\right)\,{\frac {1-\alpha v_{1}^{2}}{(1+\alpha \,v_{1}v_{2})^{2}}}=f(v_{1})f'(v_{2}),$

и положим $v_{2}=0$:

$f'(x)\,(1-\alpha x^{2})=a\,f(x),$

где $\textstyle x=v_{1}$, а константа $\textstyle a=f'(0)$. Решение этого уравнения не представляет труда. Пусть $\textstyle \alpha =1/c^{2}>0$, тогда:

$\int {\frac {df}{f}}=\int {\frac {c^{2}\,a\,dx}{c^{2}-x^{2}}}={\frac {a\,c}{2}}\,\int \left[{\frac {1}{c-x}}+{\frac {1}{c+x}}\right]dx={\frac {a\,c}{2}}\,\cdot \ln {\frac {c+x}{c-x}}=\ln {\frac {f}{f_{0}}}$

Вводя константу $\textstyle \mu =a\,c/2$, и учитывая, что $\textstyle \gamma (0)=1$ (системы $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ совпадают), получаем требуемые преобразования.

---

За границей известного <<	Оглавление	>> За границей известного

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии