Дискретная задача двух конвертов

Этот раздел для краткости был исключён из статьи Парадокс двух конвертов

Дискретная задача двух конвертов

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь дискретный вариант задачи двух конвертов. Пусть в конвертах может появится одно из следующих $\textstyle n+1$ чисел:

$1,\;2,\;2^{2},\;2^{3},\;...,\;2^{n}.$

Соответственно возможны следующие пары:

$(1,2);\;(2,2^{2});\;(2^{2},2^{3});\;....;\;(2^{n-1},2^{n}),$

Они выбираются равновероятно, затем конверты перемешиваются.

Чтобы по-возможности лишить игрока знания о краевых эффектах, снова ограничим его. Если в открытом конверте обнаруживается 1 или $\textstyle 2^{n}$ (крайние значения сумм), игрок ничего не выбирает и не получает (раунд игры пропускается). Во всех остальных случаях, как и прежде, он может забрать деньги из открытого конверта или выбрать вместо него закрытый.

Пусть, например, $\textstyle n=6$, т.е. разрешены суммы от 1 до 64. В открытом конверте (если раунд игры не прекращён) равновероятно могут находится суммы от 2 до 32. Соответственно, во втором конверте, снова равновероятно, будут суммы в два раза больше или меньше. Изобразим это в виде следующего дерева:

Пары крайних значений 1,2 и 32,64 во втором конверте встречаются по разу, а остальные числа — по два раза. Поэтому гистограммы появления сумм в первом и втором конверте (число возможностей) имеют вид:

Для $\textstyle n+1$ чисел вероятность появления (в игре) в первом конверте сумм от 2 до $\textstyle 2^{n-1}$ одинаковые и равны $\textstyle 1/(n-1)$. Чтобы найти вероятности во втором конверте необходимо посчитать число квадратиков в гистограмме. В нижнем ряду их $\textstyle n+1$, а в верхнем $\textstyle n+1-4$. Поэтому всего их $\textstyle 2(n-1)$. В результате вероятности сумм в середине диапазона равны $\textstyle 1/(n-1)$, а по краям — $\textstyle (1/2)/(n-1)$.

Нарисуем эти два распределения:

При большом $\textstyle n$ заштрихованные области одинаковых вероятностей могут быть сколь угодно широкими. Кажется, что "краевыми эффектами" в этом случае можно пренебречь, оба конверта имеют одинаковые распределения и, следовательно, приносят одинаковый доход.

Однако это не так, даже при $\textstyle n\to \infty$! Действительно, найдём доход при выборе первого (открытого) конверта:

$v_{1}={\frac {2+...+2^{n-1}}{n-1}}={\frac {2(2^{n-1}-1)}{n-1}}\to {\frac {2^{n}}{n}},$

где использована известная формула для суммы геометрической прогрессии $\textstyle 1+q+q^{2}+...+q^{n}=(q^{n+1}-1)/(q-1)$ и записано выражение, к которому стремиться $\textstyle v_{1}$ при $\textstyle n\to \infty$. Аналогично вычисляется средний доход при выборе второго конверта:

$v_{2}={\frac {2+...+2^{n-2}}{n-1}}+{\frac {1+2+2^{n-1}+2^{n}}{2(n-1)}}={\frac {5}{4}}\,v_{1}.$

Таким образом, относительная доходность второй стратегии при любом $\textstyle n$ больше на 25\%, чем для первой стратегии.

Разберёмся с тем, что получилось. Для больших $\textstyle n$ вклад в $\textstyle v_{1}$ или $\textstyle v_{2}$ левой границы (суммы 1 и 2) исчезающе мал и роли она не играет. Основной вклад в разницу средних даёт правая граница. И этот вклад остаётся, даже когда она формально отодвигается на бесконечность. Причина связана с быстрым (экспоненциальным) ростом величины суммы $\textstyle 2^{n}$, потенциально получаемой во втором конверте. В тоже время эта сумма ни когда не встречается в первом конверте. При больших $\textstyle n$ она равна сумме всех денег до этой границы:

$1+2+...+2^{n-1}=2^{n}-1.$

Именно это приводит к тому, что относительная доходность выбора второго конверта оказывается больше, чем первого. Кажущийся парадокс возникает потому, что при $\textstyle n\to \infty$ существует сколь угодно много вариантов появления сумм в обоих конвертах, которые имеют одинаковую вероятность. Это и создаёт иллюзию равноправия конвертов.