Франк Роте 1911
Эта статья Филиппа Франка и Германа Роте последовала за докладом и статьёй Игнатовского В.С. Она посвящена построению наиболее общих линейных преобразований между двумя инерциальными системами отсчёта, частным случаем которых являются преобразования Лоренца.
Материалы могут быть использованы в некоммерческих и public information целях на условиях лицензии GNU Free Documentation License (версии 1.2 или более поздней). При использовании необходима ссылка на источник: http://synset.com/ru/Релятивистский_мир
О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся
Филипп Франк и Герман Роте
Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme
von Philipp Frank und Hermann Rothe
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855
Уравнения преобразования, которые связывают пространственно-временные координаты неподвижной системы с координатами движущейся системы, скорость которой неизменна по направлению и величине, получили в современной физике настолько большое значение, что представляется уместным провести подробное изучение вопроса о том, какие предпосылки физической или иной природы собственно необходимы, чтобы вывести вид этих уравнений. В теории относительности эти преобразования являются shape преобразованиями Лоренца. Если мы обозначим скорость света в вакууме через и выберем систему координат таким образом, что в момент времени 0 движущаяся система совпадает с неподвижной и потом движется в направлении , преобразования Лоренца имеют хорошо известный вид:
(1)
|
Эти уравнения содержат shape преобразования Галилея в пределе :
(2)
|
Современный вывод уравнений (1) берет свое начало от А. Эйнштейна [1] и по существу основывается на следующих предпосылках:
) Если — значение скорости света по отношению к неподвижной системе, то значение скорости света в любой системе, движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой, должно равняться для любого направления распространения света. Математически это соответствует требованию, что соотношения: и вследствие уравнений преобразования должны следовать друг из друга.
) Уравнения преобразования должны быть линейно однородными по отношению к координатам; их коэффициенты могут в таком случае зависеть только от .
) При замене на преобразование должно превращаться в обратное (т.е. разрешенное относительно ).
) Сокращение, которое происходит с длинами вследствие движения, должно зависеть только от абсолютной величины, но не от знака .
Мы хотим показать, что можно существенно ограничить количество этих предпосылок и в особенности, что может быть опущен кажущийся наиболее важным пункт ), который требует постоянства скорости света в неподвижной и движущейся системах. Наш вывод преобразований (1) основывается только на следующих двух предпосылках:
А. Если мы рассматриваем как параметр, уравнения преобразования должны образовывать линейную однородную группу.
В. Сокращение длин должно зависеть не от знака, а только от абсолютной величины .
Указанное в п.А групповое свойство уравнений преобразования необходимо для того, чтобы существовал единый для всех скоростей тип уравнений преобразования. Иначе, если бы уравнения не образовывали группу, то два последовательных преобразования — например, переход из одной системы в другую с помощью промежуточной системы — приводили бы к итоговым уравнениям совсем другого вида, нежели исходные.
Далее, мы в первую очередь сформулируем общие уравнения преобразования, которые удовлетворяют требованию А. После этого мы выделим те из них, которые также удовлетворяют требованию В. В результате, останутся только те уравнения, которые либо вообще не приводят к сокращению, либо совпадают с преобразованиями Лоренца (1). Первые образуют новый тип уравнений преобразования (преобразования Доплера) и содержат в себе преобразования Галилея (2) как частный случай.
Часть использованных здесь утверждений и формул мы уже опубликовали в статье [3] [2], в том числе теорему сложения скоростей для наиболее общих уравнений преобразования, удовлетворяющих требованию А [3].
Игнатовский [4] уже сделал попытку ограничить предпосылки Эйнштейна меньшим числом. Если рассмотреть сделанные им неявно предположения, можно проинтерпретировать содержание его работы следующим образом: он не использует положение ) (постоянство скорости света), но сохраняет, в дополнение к нашим, ещё и требование Эйнштейна ).
Кроме того, он применяет сразу все предпосылки и не формулирует наиболее общие уравнения удовлетворяющие требованию А, из которых было бы явным образом очевидно место преобразований Лоренца среди всех остальных. Данная работа организована следующим образом. Мы делаем априорное предположение, что , , поскольку доказательство этих уравнений, хотя и достаточно простое, привело бы к ненужному отвлечению в ходе наших рассуждений. Таким образом, мы рассматриваем только преобразования и .
В разделе I мы кратко обсудим использованные понятия и положения из теории групп преобразований [5]. В разделах II и III применим эти положения к определенным предпосылкой А уравнениям преобразования; введем в них в разделе IV параметр [6] , имеющий смысл скорости, что приведет к теореме сложения скоростей. В разделе V приведем примеры применения полученных выражений. Наконец, в разделе VI мы определим вид наиболее общих уравнений преобразования, удовлетворяющих требованию А и, в частности, формулу для сокращения как функции введенной в разделе IV скорости . Затем применим в разделе VII к ним наше требование В и получим уравнения, удовлетворяющие нашей системе предпосылок.
Примечания
- Перейти ↑ А. Эйнштейн, [1] Ежегодник радиоактивности и электроники, 4. Стр. 411, 1907. Более подробное выведение уравнений Эйнштейном описано в работе: Ф. Франк, [2] Отчет о заседании Королевской Академии Знаний в Вене. Класс мат.-физ. 118. Раздел IIа, стр. 421, 1909.
- Перейти ↑ Об обобщении принципов относительности и применимой к ним механики>Ф. Франк и Г. Роте, [3] Отчет о заседании Корол. Акад. Знаний в Вене. Класс матем.-естествозн. 119. Раздел IIа, стр. 615, 1910
- Перейти ↑ Там же, [3], уравнение (12) и следующее за ним
- Перейти ↑ В. фон Игнатовский, [4] Доклады Немецкого Физического Общества, стр. 788, 1910; и Архив математики и физики, 17, стр. 1
- Перейти ↑ Мы ссылаемся всегда при этом на изложение основ теории групп в работе С. Ли и Г. Шеффера, [5] "Лекции о непрерывных группах", Лейпциг, 1893
- Перейти ↑ См. также работу: Ф. Франк и Г. Роте [3], стр. 618
Материалы могут быть использованы в некоммерческих и public information целях на условиях лицензии GNU Free Documentation License (версии 1.2 или более поздней). При использовании необходима ссылка на источник: http://synset.com/ru/Релятивистский_мир
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии