Немного комплексных чисел

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Дипольное излучение << Оглавление (Глава 5) >> Произвольно движущийся заряд


Работая с напряжённостями электромагнитных волн, удобно использовать комплексные обозначения (). Так как на самом деле напряжённости действительны, в конечном выражении берётся действительная часть. Промежуточные же вычисления проводятся с комплексными величинами. Это часто упрощает выкладки.

Рассмотрим, например, эллиптически поляризованную волну (стр.\pageref{polarization_def}), распространяющуюся вдоль оси . Её можно записать в следующем компактном виде:

(EQN)

где , — единичные ортогональные векторы вдоль декартовых осей, и , — константы, определяющие амплитуду волны. Учитывая формулу Эйлера , действительную часть этого выражения можно переписать следующим образом:

Это и есть действительная напряжённость электрического поля волны с эллиптической поляризацией.

Мнимая единица в эйлеровском представлении равна . Поэтому умножение напряжённости поля в комплексной записи () на приводит к сдвигу фазы волны на . В частности, эллиптически поляризованную волну можно рассматривать, как суперпозицию (сумму) двух линейно поляризованных волн в перпендикулярных направлениях. При этом одна из этих волн должна быть сдвинута по фазе на .

Рассмотрим в комплексных обозначениях эффект модуляции, когда происходит сложение двух волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и . Определим среднюю частоту и т.н. частоту модуляции . Опуская для компактности зависимость от , запишем суперпозицию (сложение) волн:

Выражение в круглых скобках, в силу теоремы Эйлера, равно удвоенному косинусу. Поэтому результат суперпозиции имеет вид:

Если исходные частоты близки , то средняя частота будет существенно больше частоты модулирования . Поэтому результирующее колебание выглядит, как волна с частотой и медленно изменяющейся амплитудой . Именно эти колебания амплитуды называются модуляцией.

Часто интерес представляет усреднение во времени некоторых выражений за период колебания волны. Среднее значение от произвольной функции вычисляется по следующей формуле:

Среднее значение от напряжённости плоской волны с любой поляризацией равно нулю. Действительно, т.к. , имеем:

Однако среднее значение от произведения (скалярного или векторного) напряжённостей может быть отлично от нуля. Пусть и , где и — комплексные величины, не зависящие от времени. Тогда для средних справедливо следующее соотношение:

Действительно:

Перемножая скобки и проводя усреднение (отбросив равные нулю средние от ), получаем:

где в последнем равенстве учтено, что при разложении комплексного числа на действительную и мнимую части (ниже индексы 1 и 2) имеем:

Аналогично расписывается для и для .

Найдём, например, среднее от квадрата напряжённости электрического поля эллиптически поляризованной волны:

Естественно, это же значение можно получить и прямым усреднением выражения , записанного в действительных обозначениях.

Для построения общего решения волнового уравнения удобно использовать фурье-преобразование. Любую функцию координат можно представить в виде интеграла:

где записаны прямое и обратное фурье-преобразования. Хотя мы обозначаем и одинаковыми буквами, это, естественно, различные функции, которые мы будем отличать переменной в аргументе. Подынтегральная функция является комплексной. Чтобы напряжённость электрического поля была действительной, необходимо, чтобы при её комплексном сопряжении менялся знак при векторе в аргументе ( H):

(EQN)

Подставим фурье-разложение в волновое уравнение (), стр.\pageref{wave_equation}:

Под интегралом лапласиан действует только на и даёт множитель . В результате волновое уравнение выполняется тождественно, если справедливо ( H) следующее уравнение для фурье-образа напряжённости поля:

где . Это уравнение для гармонического осциллятора со следующим решением: Поэтому:

Разобьём интеграл на два и во втором сделаем замену ( H). В результате получим общее решение волнового уравнения:

(EQN)

которое явным образом действительно, хотя и зависит от комплексной функции . Она связана с "константами" решения уравнения осциллятора следующим образом: , , т.е. условие действительности электрического поля приводит к тому, что решение определяется одной комплексной функцией . Различный её выбор будет приводить к различным вариантам решения волнового уравнения.

Чтобы полностью определить решение, необходимо задать начальное значение поля и значение его производной по времени, например, в момент времени :

Если поле и его производная заданы, то можно при помощи обратного фурье-интегрирования найти действительную и мнимую части функции . Подставив их в общее решение (), мы получим зависимость электрического поля от времени.

Абсолютно аналогично проводятся вычисления для магнитного поля:

(EQN)

Необходимо помнить, что, решая волновое уравнение, мы "теряем связь" между электрическим и магнитным полем. Чтобы её найти, подставим общие решения (),() в исходные уравнения Максвелла в вакууме для роторов (стр.\pageref{wave_equation}). В результате появляется следующая связь между фурье-образами напряжённостей поля:

(EQN)

Поэтому функции и должны быть перпендикулярны друг другу и вектору . Напомним также, что .

Решения (), () имеют смысл суммы плоских монохроматических волн с различной частотой и волновым вектором . Коэффициенты при этих волнах и являются их амплитудами. Для каждого волнового вектора должны выполняться условия ортогональности ().

При помощи формулы Эйлера и разложения амплитуд на действительную и мнимую части решение можно переписать через косинусы и синусы:

Выражение для плоской волны получается, если функция пропорциональна дельта-функции Дирака. Например, при распространении вдоль оси можно выбрать .

В качестве примера работы с комплексными обозначениями рассмотрим напряжённость ограниченной электромагнитной волны (световой пучок), распространяющейся вдоль оси . Пусть в плоскости амплитуда напряженностей поля примерно постоянна в окрестности оси , а при удалении от неё постепенно уменьшается, падая на больших радиальных расстояниях до нуля. Приближенное выражение для напряжённостей подобной волны может быть записано следующим образом \cite{Jackson_1965}:

(EQN)

где функция задаёт профиль амплитуды волны в плоскости , и ,, — единичные ортогональные базисные векторы. Два знака () в () соответствуют правой и левой круговой поляризации. Если , получается ().

Несложно проверить, что и . Уравнения для роторов выполняются, если считать, что вторые производные от функции много меньше первых производных и самой функции (плавное изменение амплитуды). Для простоты положим, что , где — расстояние от оси . Гладкость функции означает:

(EQN)

Запишем среднее значение плотности энергии:

где в приближенном равенстве учтено условие малости (). Это означает, что в выражении мы пренебрегаем вторым порядком малости по (аналогично пренебрежению вторыми производными). Плотность импульса ограниченной плоской волны равна:

где также проведено усреднение по времени. При интегрировании по объёму цилиндра плотности импульса последнее слагаемое равно нулю, а первое даёт суммарный импульс:

где — длина цилиндра по оси , а — радиус основания цилиндра.

Найдём теперь плотность момента импульса (стр. \pageref{conserv_mom_mom_em}):

где — единичный вектор в радиальном к оси направлении. При интегрировании этого выражения по объёму цилиндра равны нулю все слагаемые, за исключением последнего:

где выполнено интегрирование по частям. Так как мы рассматриваем ограниченную плоскую волну с конечной энергией на единицу длины , то функция при больших должна убывать по крайней мере, как , . Поэтому поверхностный член при интегрировании по частям при больших радиусах цилиндра стремится к нулю. В результате суммарный момент прямо пропорционален энергии волны и обратно пропорционален её частоте:

(EQN)

Подобное соотношение выполняется и в квантовой теории для фотона со спином и энергией .

Таким образом, если пластинка поглощает падающую волну и имеет размер больший, чем характерная ширина светового пучка, то она постоянно получает момент импульса волны (ниже левый рисунок).

Ciw mom.png

Чуть иначе расчёт выглядит, если пластина находится в зоне плоской волны. Чтобы найти момент импульса пластины, необходимо найти момент импульса финального распределения напряжённости в поле волны (правый рисунок выше). Для этого надо окружить пластинку и поле цилиндром достаточно большого радиуса так, чтобы его боковая поверхность находилась в зоне плоской волны с постоянной амплитудой (). Слева от пластинки интегральный момент импульса равен нулю. Справа он вычисляется аналогично моменту светового пучка, однако при этом падение амплитуды волны происходит не при удалении от оси , а при приближении к ней (тень от пластинки). В итоге снова получается ().


Дипольное излучение << Оглавление (Глава 5) >> Произвольно движущийся заряд

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии