Линейные многомерные модели

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Уравнение стохастического осциллятора << Оглавление >> Многомерие помогает одномерию


Найдём решение линейных стохастических уравнений (по — сумма):

Постоянный вектор можно убрать сдвигом . В решении делается обратный сдвиг. Поэтому будем изучать однородное уравнение, которое запишем в матричной форме:

где и — не зависящие от и времени матрицы.

Для определения среднего проще всего сразу воспользоваться соотношением (6.16):

(6.20)

где — вектор начального значения. Если мы хотим "вернуть" , то потребуются две замены: и .

Монотонная зависимость от в матричной записи решения (6.20) обманчива. Рассмотрим стохастический осциллятор из предыдущего раздела:

(6.21)

В этом случае матрицу можно разбить на сумму двух матриц:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathbf{A } = \begin{pmatrix} -\lambda & -\omega \\ \omega & -\lambda \\ \end{pmatrix} = \omega \cdot \mathbf{q} -\lambda \cdot \mathbf{1},\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\; \mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\; \mathbf{q}= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.}

Несложно проверить, что:

Так как матрицы и коммутируют друг с другом (), экспонента суммы разбивается на произведение . Раскладывая второй множитель по степеням и учитывая аналогичное разложение для синуса и косинуса, решение можно представить в следующем виде:

(6.22)

Оно же выше было получено другим методом. Таким образом, "монотонная" зависимость от времени в матричных соотношениях вполне может превратиться в периодическую функцию.

Найдём более практичное, чем (6.20), представление для решения линейного уравнения. Будем его искать в виде:

(6.23)

Постоянный вектор является собственным вектором матрицы , а параметр ""— её собственным значением. Перенося в левую часть, получаем систему однородных уравнений относительно , которая имеет ненулевое решение, только если её детерминант равен нулю:

Это уравнение называется характеристическим и является полиномом -той степени по . Обычно оно имеет различных решений . Часть из них может оказаться комплексными. Для каждого из них мы решаем уравнение (6.23) и находим собственные вектора . Внимание! Верхний индекс — это номер собственного вектора, а не его компонента.

Теперь общее решение для среднего значения вектора переменных состояния можно записать в следующем виде:

(6.24)

где — произвольные константы, выражающиеся через начальные условия . Прямой подстановкой в исходное уравнение можно проверить справедливость этого решения. Действительная часть собственных значений будет приводить к экспоненциально уменьшающимся () или увеличивающимся () решениям. Мнимая часть соответствует колебательным режимам.

Если матрица симметрична, то собственные вектора можно выбрать ортогональными: (звёздочка — комплексное сопряжение). В этом случае .

Когда выражены через , можно найти явное представление экспоненты от матрицы. Действительно, из (6.20), взяв производную по компонентам начального условия, имеем . В частности, если собственные вектора ортогональны (), то:

(6.25)

В качестве упражнения ( H) предлагается найти для матрицы 2x2, у которой . Необходимо это сделать прямым разложением экспоненты при помощи собственных значений.

Выразим теперь решение стохастической линейной системы через гауссовы переменные. Введём новый вектор , удовлетворяющий, по лемме Ито (6.13), следующему уравнению:

Матрица зависит только от времени, поэтому решение этого уравнения легко найти при помощи итерационного метода:

Сумма независимых гауссовых чисел снова пропорциональна гауссовому числу, которое удобно представить в виде суммы независимых величин (второе равенство). Найдём значения . Для этого вычислим среднее от :

Учитывая независимость случайных величин и , а также переходя к непрерывному пределу , получаем ():

или:

(6.26)

Напомню, что (см. стр. \pageref{math_mat_tensor}). Решение для запишем в матричном виде, учитывая, что при :

Поэтому, так как , окончательное решение системы линейных стохастических уравнений имеет вид:

(6.27)

где . Вектор представляет собой набор независимых случайных чисел с гауссовым распределением, имеющим нулевое среднее и единичную дисперсию, а — среднее значение (6.20), (6.24). В качестве упражнения ( H) предлагается найти матрицу для двухмерного осциллятора и проверить решение (6.27).

Вычислим матрицу дисперсий:

Учитывая (6.26), имеем:

(6.28)

Это соотношение можно ( H) сразу получить из уравнения для средних (6.17), из которых следует матричное уравнение:

(6.29)

Если существует стационарный режим, то и уравнение (6.29) позволяет легко найти .

Распределение для имеет гауссовый вид, поэтому, зная матрицу дисперсий, можно записать марковскую плотность вероятности:

где — обратная матрица дисперсий и — средние значения динамических переменных. Они полностью определяют свойства процесса. В частности, характеристическая функция ( H):

позволяет легко находить моменты произвольных порядков.

При помощи (6.27), (6.28) несложно ( H) найти ковариационную матрицу:

(6.30)

Если в пределе у системы существует стационарный режим, то в этом случае матрица дисперсий становится постоянной, а ковариация зависит только от разности времён .

Таким образом, алгоритм решения линейной задачи следующий:

  • Находим собственные значения и вектора матрицы .
  • Записываем решение для средних (6.24) и выражаем через .
  • При помощи соотношения находим .
  • Вычисляем матрицу дисперсий .

Уравнение стохастического осциллятора << Оглавление >> Многомерие помогает одномерию

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения