Взаимодействие зарядов без поля

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Электромагнитная масса << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Самодействие электрона

В классической механике информация о том, что некоторый объект (заряд) изменяет своё положение может попасть к другим объектам мгновенно. Поэтому в концепции поля необходимости нет и уравнения движения зарядов зависят только от их положений и, возможно, скоростей. В теории относительности это не так. Тем не менее, если скорости зарядов и расстояния между ними невелики, поле можно исключить и получить поправки к уравнениям классической механики.

Запишем потенциалы, создаваемые системой зарядов (стр.\,\pageref{retarded_potential_phi}):

(EQN)

где — координаты точки измерения поля и — расстояние от неё до заряда в объеме , находящегося в . Сдвиг в прошлое на величину равен времени запаздывания информации обо всех изменениях. Если система зарядов достаточно компактна и их скорости невелики, запаздыванием можно пренебречь. Будем считать малым (\,C) и разложим по нему в ряд Тейлора плотности, входящие в интегралы (). Так, для плотности заряда имеем:

Подставляя его в выражение для скалярного потенциала, имеем:

где второе слагаемое в разложении равно нулю, так как оно является производной по времени полного заряда системы, который сохраняется. Аналогичное разложение справедливо и для векторного потенциала. Однако, так как он содержит скорость зарядов (в плотности тока), которые малы, в первом приближении можно ограничится ведущим приближением (не учитывающем запаздывания):

Найдем интегралы для точечного заряда :

(EQN)

где — расстояние от точки в которой вычисляются потенциалы к изменяющемуся положению заряда .

Проведем калибровочное преобразование, чтобы убрать вторую производную (ускорение) в скалярном потенциале. Напомним (стр.\,\pageref{kul_cal_transf_pot}), что напряженности поля не изменятся, если перейти к новым потенциалам:

где — произвольная функция. Выберем:

Тогда скалярный потенциал станет кулоновским . Вычислим (\,H) градиент , который добавляется к векторному потенциалу:

где и скорость заряда равна (градиент берется по или эквивалентно по , а — функция времени, которая от координат не зависит). Отметим, что и ).

Таким образом, приближенные выражения для скалярного и векторного потенциалов принимают вид:

(EQN)

Зная потенциалы, можно найти напряженности поля. Магнитное поле выглядит (\,H) очень просто:

(EQN)

и совпадает с ведущим по скорости выражением для равномерно движущегося заряда (), стр.\,\pageref{E_B_main}. Выражение для напряженности электрического поля более сложное:

(EQN)

и зависит уже от ускорения заряда . При этом первые два члена совпадают с разложением по выражения (), стр.\,\pageref{E_B_main}, а третий является специфическим для ускоренно движущегося заряда. Естественно, такие же выражения для напряженностей получаются при использовании потенциалов (). Однако, для построения функции Лагранжа, зависящей от скоростей частиц (но не от их ускорений), более подходящими являются потенциалы ().

Лагранжиан заряда , находящегося во внешнем поле другого заряда , был записан на странице \pageref{lagr_part_in_field}:

где индекс "" у потенциалов означает, что они создаются зарядом . Первое слагаемое — это лагранжиан свободной частицы, а вторые два связаны со взаимодействием заряда с внешним полем. Для потенциалов (), вычисленных в точке , где находится заряд , имеем:

где — радиус вектор в направлении от -того заряда к -тому, а — единичный вектор в направлении . Это выражение симметрично относительно обоих зарядов. Считая, что в системе все заряды равноправны, можно записать общую функцию Лагранжа в следующем виде:

(EQN)

Сумма с пометкой предполагает двойное суммирование по и при котором первый индекс все время остается меньше второго. Эта сумма равна половине двойной суммы по всем неравным значениям и . Например, если выражение под суммой обозначить как , то для трех зарядов, при , имеем:

Таким образом, сумма в () содержит все парные взаимодействия.

Кинетический член в лагранжиане необходимо, вообще говоря, разложить в ряд по скорости , чтобы оставаться в том-же приближении, в котором были получены потенциалы (для восстановления фундаментальной скорости делаем замены , и получаем, что член взаимодействия пропорционален ). Тем не менее, для компактности мы оставим его в свернутом виде, помня о необходимости такого разложения.

Обратим внимание, что полученный лагранжиан зависит от положения зарядов и их скоростей, но не зависит от ускорений (уравнения движения являются дифференциальными уравнениями второго порядка). Калибровочное преобразование, проделанное выше, и было необходимо, чтобы добиться исключения из потенциалов ускорения частиц.

Запишем явный вид уравнений Лагранжа

(EQN)

Для лагранжиана () производная по скорости -той частицы равна:

(EQN)

Подставляя это выражение в уравнения Лагранжа (), после несколько утомительных вычислений (\,H), получаем:

Fld 01.png

где — импульс -той частицы, который надо записать в четвертом порядке малости по скорости. На самом деле, для нахождения этих уравнений можно было сразу воспользоваться выражениями для электрического () и магнитного поля (), записав силу Лоренца:

(EQN)

Несмотря на сложный вид уравнений движения, они допускают ряд простых точных решений. Рассмотрим, например, две частицы массой с зарядами . Пусть они двигаются по окружности радиуса с одинаковыми по модулю скоростями , находясь на диаметрально противоположных точках окружности. Проверим, что такая система удовлетворяет уравнениям движения. В этом случае ускорение равно , где , поэтому, используя для импульса приближенное выражение , получаем (\,H):

или, деля обе части на в квадратичном по скорости приближении, имеем следующую связь скорости и диаметра окружности:

(EQN)

Это выражение отличается выражением в круглых скобках от аналогичного значения, следующего из классической механики.

Так как лагранжиан не зависит от времени, то должна сохраняться полная энергия системы (), стр.\,\pageref{ful_energy_lagr}:

(EQN)

Учитывая (), можно записать явный вид энергии:

(EQN)

Первые два члена в этом выражении — это энергия движения частиц и кулоновская электростатическая энергия их взаимодействия (см.стр.\,\pageref{em_electrostatk_energy}). Последний член — специфическая энергия взаимодействия, зависящая от скоростей частиц. Её происхождение связано с релятивистскими поправками, учитывающими конечность скорости распространения взаимодействия. Стоит найти энергию системы, состоящей из двух одинаковых частиц, движущихся по окружности и сравнить её с классическим значением и релятивистским, без учета запаздывания.

Еще один интеграл движения — это полный импульс системы. Он связан с трансляционной инвариантностью лагранжиана. Действительно, сдвинем в лагранжиане все координаты частиц на постоянный вектор : . Так как координаты входят в виде комбинаций , лагранжиан не изменится и производная (\,H) от него по при должна быть равна нулю:

где в последнем равенстве использованы уравнения Лагранжа (). Таким образом, должен сохранятся полный импульс:

(EQN)

Учитывая (), получаем:

(EQN)

Как и в случае с энергией системы, полный импульс состоит из двух частей: суммарного импульса движения частиц и "остатка" от импульса поля, проявляющегося как мгновенное взаимодействие, зависящее от скоростей частиц.

В лагранжиан () все векторы входят в виде скалярных произведений. Поэтому он не зависит от ориентации системы координат. Эта симметрия приводит к закону сохранения момента импульса. Компоненты любого вектора при бесконечно малом повороте вокруг оси изменяются следующим образом: , где , см.стр.\,\pageref{sym_rotate_3D}. Так меняются как координаты частиц, так и компоненты их скорости. При этом лагранжиан не изменяется, поэтому (\,H):

Меняя местами сомножители в векторных произведениях и подставляя во втором члене уравнения Лагранжа, а в первом определение скорости, получаем закон сохранения в виде:

Таким образом сохраняется полный момент импульса системы:

(EQN)

Подставляя (), получаем для него явное выражение:

где учтено, что , поэтому .

Для двух частиц равной массы и противоположными зарядами, при движении по окружности радиуса со скоростями , момент импульса будет перпендикулярен плоскости движения и по модулю равен:

Полный момент импульса отклоняется от обычного механического момента тем сильнее, чем больше заряд частиц и их скорость. Относительное отклонение в ведущем приближении по скорости равно:

(EQN)

где восстановлена фундаментальная скорость . Отношение кулоновской потенциальной энергии к энергии покоя масс частиц (дефект массы) для большинства систем невелико.


Электромагнитная масса << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Самодействие электрона

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии