Уравнения Максвелла

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Поле равномерно двигающегося заряда << Оглавление (Глава 5) >> Магнитостатика

Выпишем ещё раз полученные в предыдущем разделе уравнения:

(EQN)

Выше скорость зарядов считалась постоянной. Это, конечно, не означает независимость полей от времени. Когда заряд пролетает мимо наблюдателя с постоянной скоростью, поля изменяются со временем, поэтому в уравнениях появляется производная .

В дальнейшем будем предполагать, что эти же уравнения справедливы и для системы зарядов, каждый из которых может двигаться с и ускорением. Справедливость такого обобщения, вообще говоря, ниоткуда не следует и может быть проверена только экспериментально. Уравнения Максвелла позволяют описать множество явлений. Если отвлечься от квантовых эффектов, все предсказания классической теории Максвелла подтверждаются на опыте. Поэтому подобное обобщение имеет достаточно веские основания.

Обратим внимание на линейность уравнений Максвелла, как по полям, так и по плотности заряда и тока (например, нет членов вида ). Благодаря этой линейности мы можем использовать принцип суперпозиции, суммируя независимо поля, создаваемые различными зарядами. (На самом деле, конечно, всё наоборот, и, постулировав принцип суперпозиции, мы получили линейные уравнения).

Стоит также обратить внимание, что уравнение для дивергенции электрического поля оказывается более общим, чем закон Кулона в исходной записи. Оно имеет в качестве решения как сферически симметричный вектор при , так и сплюснутый "ёжик" для движущегося заряда.

Уравнения Максвелла должны быть дополнены силой Лоренца, действующей со стороны электромагнитных полей на движущийся со скоростью точечный заряд :

(EQN)

Обычно задают фиксированные распределения плотности заряда и тока , затем, решая уравнения Максвелла, получают поля и . С их помощью вычисляется величина силы, действующая на небольшой заряд , движущийся в этом электромагнитном поле.

Два из 4-х уравнений Максвелла содержат в себе важное соотношение, связывающее плотности зарядов и токов. Умножим уравнение для ротора магнитного поля слева на оператор :

(EQN)

Учитывая, что , получим уравнение непрерывности:

(EQN)

которое выражает закон сохранения заряда. Это ясно видно, если уравнение непрерывности при помощи теоремы Гаусса переписать в интегральной форме, проинтегрировав по некоторому объёму :

где введены полный заряд , находящийся внутри объёма, и ток :

Таким образом, изменение заряда в объёме (производная по времени) связано с током , проходящим через поверхность, которая окружает объём. Рассмотрим перемещение зарядов через поверхность подробнее.

Пусть — нормальная (перпендикулярная) к поверхности составляющая скорости зарядов. Выделим небольшую площадку на поверхности и прилегающий к ней небольшой объём (правый рисунок):

Charge move V.png

Количество заряда, которое через площадку покидает этот объём за время , равно

Другими словами, за время из объёма уйдут все заряды, имеющие в направлении скорость и находящиеся не далее расстояния от поверхности. Если направлен наружу, то заряд в объёме уменьшается, если вовнутрь — увеличивается. Говоря об уменьшающемся заряде, мы считаем, что он имеет положительный знак, такой как, например, у протона.

Отметим локальный характер закона сохранения в форме уравнения непрерывности (). Изменение заряда в сколь угодно малом объёме сопровождается перемещением зарядов через границу этого объёма. В принципе, можно представить себе и глобальный закон сохранения. Например, заряд, исчезнув в одном месте, одновременно появляется в другом, отдалённом месте. Однако это бы противоречило теории относительности. Действительно, в силу относительности одновременности подобное исчезание и появление одновременное в одной системе отсчёта не будет одновременным в других системах. Если мы хотим, чтобы закон сохранения выполнялся для всех наблюдателей, то он должен иметь локальный характер.

Сохранение заряда выглядит достаточно простым и естественным законом. Особенно, если под зарядом понимать число заряженных частиц. Электрон имеет отрицательный заряд, протон имеет такой же по модулю, но положительный заряд, и т.д. Если частицы не уничтожаются, то, чтобы найти суммарный заряд, необходимо сложить в данной области пространства все частицы с положительным зарядом и вычесть число частиц с отрицательным зарядом. Наблюдения за различными реакциями при взаимодействии элементарных частиц показывают, что, даже если частицы уничтожаются или рождаются, суммарный заряд, тем не менее, всегда остаётся неизменным.

Интересно выяснить, в какой степени уравнения Максвелла являются независимыми, считая, что выполняется уравнение непрерывности (). Подставим в () вместо из уравнения непрерывности производную . Аналогично можно взять дивергенцию от уравнения . В результате получатся два уравнения:

Таким образом, из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности "почти" следуют уравнения для дивергенций:

где и — произвольные функции, которые зависят только от координат, но не зависят от времени. Как мы знаем, они на самом деле равны нулю, однако доказать это строго нельзя. В этом смысле все 4 уравнения Максвелла являются независимыми и все они требуются для последовательного описания электромагнитного взаимодействия. Говоря о 4-х уравнениях, не стоит забывать, что их на самом деле 8 (каждое уравнение для роторов является векторным и эквивалентно трём уравнениям в компонентах).

Дополнительное понимание физического смысла уравнений Максвелла возникает при их записи в интегральном виде. Для этого необходимы теоремы Гаусса и Стокса. Прежде всего запишем знакомый нам из электростатики закон Гаусса для электрического поля:

Как мы видели выше, закон Гаусса — это чуть больше, чем закон Кулона. Ему удовлетворяет как сферически симметричное электрическое поле неподвижного заряда, так и сплюснутое поле движущегося заряда.

Аналогичный закон Гаусса для магнитного поля:

свидетельствует об отсутствии магнитных зарядов. Подчеркнём ещё раз, что магнитное поле — это релятивистский кинематический эффект. Его источником является движение заряженных частиц.

Ниже на рисунке условно изображены интегральные теоремы Гаусса для электрического и магнитного полей:

Electro gauss.png

Если один или несколько зарядов находятся внутри объёма, окруженного поверхностью , то их силовые линии будут "торчать наружу", в результате чего поток через поверхность будет ненулевой. Напомним, что вектор элемента поверхности направлен перпендикулярно к поверхности и наружу из объёма. Поэтому, если все силовые линии выходят из объёма, то скалярное произведение оказывается положительным, а полный поток — ненулевым.

Для магнитного поля поток всегда равен нулю, независимо от того, находится ли движущийся заряд внутри или снаружи объёма. На рисунке выше он движется от читателя. Иногда на основании симметрии ковариантных уравнений электродинамики, которые мы рассмотрим чуть позже, высказывается гипотеза о возможности существования магнитных монополей (магнитных зарядов). Если воспринимать магнитное поле, как релятивистский эффект, возникающий при движении зарядов, то эта гипотеза на самом деле выглядит не столь уж и правдоподобной.

Для ротора магнитного поля интегральная форма имеет вид:

где — это полный ток зарядов, проходящих через площадь . Из этого уравнения следует, что циркулирующее магнитное поле возникает как вокруг движущихся зарядов (ток), так и вокруг переменного электрического поля. Это уравнение часто называется законом Ампера-Максвелла.

Electro farad.png

Если в цепи переменного электрического тока (меняющего своё направление) находится конденсатор (две металлические пластины), то между ними возникает переменное электрическое поле. Оно, в свою очередь, порождает циркуляцию магнитного поля, такую же, как и вокруг проводов, по которым течёт ток (см. выше правый рисунок).

Ротор электрического поля, в силу уравнений Максвелла, в общем случае не равен нулю:

Это уравнение выражает закон электромагнитной индукции Фарадея. Подчеркнём, что интегральная версия закона Фарадея, как и остальных записанных выше интегральных соотношений, предполагает простую топологию контура и ограниченной им поверхности. Это означает, что контур, деформируя его без разрывов, можно превратить в окружность, а поверхность деформировать в круг, находящийся внутри этой окружности. Допустимыми являются конфигурации контура и поверхности, которые из этого круга можно получить любыми изгибаниями и растягиваниями (без разрывов). Возможны также и более сложные топологии контуров и поверхностей (например, с дырками), однако в этом случае необходимо аккуратное использование интегральной теоремы Стокса.

Заметим, что не стоит считать, что всегда изменение потока магнитного поля является причиной, а циркуляция электрического — следствием. Функции и входят в уравнения Максвелла равноправным образом. Что является следствием, а что причиной — зависит от задачи.

Пусть вдоль замкнутого контура расположен тонкий проводник, в котором могут двигаться заряды. Тогда под воздействием циркулирующего электрического поля в нём возникнет электрический ток. Закон электромагнитной индукции Фарадея часто записывают в следующем виде:

(EQN)

где — поток магнитного поля через поверхность, а

электродвижущая сила (ЭДС), т.е. суммарная сила Лоренца, действующая на единичный заряд вдоль замкнутого контура. Для тонкого неподвижного контура магнитная составляющая ЭДС роли не играет. Действительно, в этом случае скорость параллельна смещению вдоль контура и смешанное произведение .

Закон Фарадея в форме () справедлив и в случае постоянного магнитного поля, если контур меняется. Он может изменять свою площадь или менять свою ориентацию (например, вращаться в магнитном поле). Если в этих случаях происходит изменение магнитного потока, то в проводнике возникнет ЭДС и, следовательно, ток. Однако, если магнитное поле не меняется во времени, причина возникновения ЭДС кроется не в уравнении Максвелла , а в силе Лоренца.

Рассмотрим, например, проводник в виде окружности, расположенной перпендикулярно однородному (постоянному) магнитному полю. Пусть радиус этой окружности увеличивается со временем . Соответственно увеличивается площадь поверхности, которую будем считать плоским кругом. Любой заряд в проводнике, в том числе, движется в радиальном направлении со скоростью . В результате магнитной составляющей в силе Лоренца возникает ЭДС, равная , где — длина окружности. С другой стороны, изменение потока магнитного поля, возникающее из-за изменения площади, равно:

т.е. по модулю равно ЭДС. В качестве упражнения предлагается проанализировать знак, определяемый направлением магнитного поля и свойствами векторного произведения в определении ЭДС. Совпадение с () в данном частном примере является на самом деле общим результатом, выполняющимся для произвольно движущегося контура. Таким образом, закон Фарадея для замкнутого контура определяется сразу двумя факторами — одним из уравнений Максвелла и силой Лоренца.


Поле равномерно двигающегося заряда << Оглавление (Глава 5) >> Магнитостатика

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии