В качестве примера решения стохастической задачи в двух измерениях рассмотрим движение по окружности с частотой и постепенным уменьшением радиуса. Детерминированная версия подобной спирали может иметь следующую зависимость координат от времени:
Примеры систем с таким поведением мы рассмотрим в следующей главе. Сейчас наша цель — математическое описание стохастической динамики. Для этого найдём решение системы уравнений следующего вида:
Предполагается, что шум , по каждой координате нескоррелирован. В качестве упражнения ( H) стоит записать эту же систему для скоррелированного шума.
Зависимость среднего значения от времени находим из (6.16):
Умножим второе из уравнений на мнимую единицу () и сложим их. В результате для комплексной величины и параметра получим "одномерное" уравнение Оно легко интегрируется:
где — начальное условие. Приравняв действительную и мнимую части:
|
(6.18)
|
получаем решение для эволюции средних значений координат в виде спирали. По каждой координате происходят затухающие периодические колебания. Параметр является их частотой, — скоростью затухания.
Найдём теперь, как ведёт себя среднее значение квадрата расстояния от начала координат. Воспользуемся матричной записью уравнения (6.17) для среднего
.
В нашем случае:
Поэтому получаем:
Таким образом, когда колебания "затухнут" (), останется ненулевая дисперсия квадрата, тем большая, чем медленнее происходило затухание! Этот результат свидетельствует о стабилизирующей роли сильного трения (большие ) при внешних стохастических толчках. Несмотря на то, что находится в знаменателе, особенности при нет. Раскладывая экспоненту, несложно убедиться, что при среднее равно . Это означает, что, как и в винеровском блуждании, внешние толчки со временем размывают круговую траекторию. Найти асимптотическое решение , , в ситуации скоррелированного шума предлагается в качестве упражнения ( H).
Выразим решение задачи через гауссовы переменные. В комплексных обозначениях стохастическое уравнение имеет компактный вид:
где , — комплексное гауссово число, а и определены выше. Перейдём, при помощи формулы Ито, к переменной . Её динамическое уравнение не будет содержать сноса:
где . Решим уравнение итерациями ():
Как функция , так и являются комплексными величинами, поэтому необходима определённая осторожность по сворачиванию этой суммы в одно гауссово число. Распишем действительные и мнимые части:
где — модуль комплексного числа, а , — новые нескоррелированные гауссовы числа.
Опуская штрихи и повторяя рассуждения одномерного случая (стр. \pageref{ito_only_t_solution}), мы можем окончательно записать:
где — по-прежнему комплексная гауссова случайная величина.
Заметим, что действительная и мнимая части выражения являются независимыми гауссовыми числами. Действительно, распишем их в явном виде:
Прямым вычислением проверяем и
. Поэтому множители типа
перед комплексным гауссовым числом можно опускать, так как статистически эквивалентно просто
Проводя интегрирование для и учитывая, что , , для получаем:
|
(6.19)
|
или в явном виде для действительной и мнимой частей:
где и — средние, определяемые выражениями (6.18). В качестве упражнения стоит найти , , и проверить справедливость уравнений для средних ( H).
Квадрат величины является квадратом радиус-вектора, для которого уже известно среднее значение. Сделаем это ещё раз при помощи (6.19):
Обращаем внимание на то, что , где звёздочка обозначает комплексное сопряжение.
В решении, аналогично одномерному случаю, можно выразить в момент времени через в момент :
что легко позволяет вычислить, например, среднее ( H).
При больших временах решение забывает начальные условия, и средние стремятся к нулю. Распределение становится стационарным по каждой из координат. Однако это не означает, что периодические свойства системы исчезают. Чтобы в этом убедиться, найдём ковариационную функцию, например, по координате . Выражая решение относительно начального момента времени , имеем:
Найдем в пределе . Так как в этом случае , а , получаем, как и следовало ожидать, стационарную ковариационную функцию, зависящую только от :
Она оказывается периодической функцией сдвига . Фурье-образ ковариационной функции характеризует спектральные свойства процесса (стр. \pageref{sect_autocor_fun}):
Таким образом, спектр имеет максимум в окрестности . Он тем уже, чем меньше параметр затухания . Тем не менее, это не строго периодическое движение, так как "типичная" частота "размазана" и сдвинута первым слагаемым в квадратных скобках.
На левом рисунке ниже представлена траектория стохастического осциллятора при достаточно больших временах, когда начальные условия уже "забыты". Справа — колебания по каждой координате:
Системы, обладающие подобным поведением, мы рассмотрим в следующей главе, а сейчас решим многомерное линейное уравнение.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения