Уравнение для плотности вероятности

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Марковские плотности вероятности << Оглавление >> Решение уравнения Фоккера-Планка

Найдём уравнение относительно переменных начального значения , . Для этого воспользуемся уравнением Чепмена-Колмогорова. Чтобы возникла производная по времени , необходимо рассмотреть и бесконечно близкое к нему время . Поэтому для трёх последовательных моментов времени в интегральном уравнении возьмём два соседних , и одно "будущее" :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \int\limits^\infty_{-\infty} P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t)\cdot \underbrace{P(y,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)}_{раскладываем\;по\;(y-x_0)} \;dy.}

Интервал мал и, следовательно, величина , соответствующая моменту времени , должна быть близка к в момент времени . Поэтому разложим в ряд Тейлора по , в окрестности точки , второй множитель под интегралом:

где . Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла. Опуская пределы интегрирования, запишем:

Первое слагаемое соответствует условию нормировки (переход "хоть куда-нибудь"), и интеграл равен единице. В результате получается просто .

Перенесём направо и разделим обе части на . По определению, при мы можем записать:

что приводит к производной по начальному моменту времени .

Интегрирование по во втором и третьем слагаемых даёт условные средние моментов первого и второго порядков:

Если бы мы продолжили разложение в ряд Тейлора, то в этом уравнении стояли бы также моменты более высоких порядков , и т.д. Однако для диффузных процессов они по определению в пределе равны нулю (см. стр. \pageref{def_a_b}).

Средние значения, как обычно, вычисляются при помощи условной плотности вероятности ():

При вычислении предела сначала необходимо проинтегрировать, вычислив среднее, затем полученную функцию от разделить на , и только после этого устремить к нулю .

Мы видим, что снос и диффузия естественным образом появляются как в уравнениях для плотности вероятности случайного процесса, так и в стохастических дифференциальных уравнениях при записи их через разности.

В результате, вводя коэффициенты сноса и диффузии, получаем "первое уравнение Колмогорова":

(4.6)

где . Заметим, что производные в этом уравнении берутся не по будущим аргументам и , а по начальным и .

Если значение задано точно, то первое уравнение Колмогорова необходимо решать с "начальными" условиями в виде дельта-функции Дирака:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \delta (x-x_0)\;\;\;\;\;при\;\;\; t\to t_0. }
(4.7)

Естественно, кроме этого предполагается наличие тех или иных граничных условий. В простейшем случае требуют достаточно быстрого убывания плотности вероятности при увеличении разности в любой момент времени .




Выведем теперь второе дифференциальное уравнение для функции по "будущим" аргументам . Пусть процесс Ито в момент времени имеет значение . Спустя малый интервал времени он будет иметь значение :

(4.8)

где , . Величина является случайной с плотностью распределения . Случайной и независимой от неё будет и c гауссовой плотностью . В результате в момент также будет случайной величиной.

Чтобы найти распределение , необходимо вычислить среднее от произвольной функции (см. стр. \pageref{aver_fun_def}):

(4.9)

и преобразовать его таким образом, чтобы получился однократный интеграл c в момент времени . Обратим внимание, что, если в (4.8) , и — это случайные величины, потенциально принимающие любые значения, то в (4.9) они же выступают в виде обычных вещественных переменных интегрирования.

Так как малo, разложим в ряд, оставляя члены порядка не более :

Все функции справа вычислены в точке и в момент времени . Заметим, что в (4.8) функции вычислялись в момент времени . На самом деле их тоже необходимо разложить по . Однако эти ряды будут умножаться на , и окажутся малыми более высокого порядка. Поэтому можно взять ведущее приближение разложения и считать в дальнейшем, что , .

Аналогично раскладывается плотность вероятности по :

Этим соотношением мы связываем плотности вероятности в два бесконечно близких момента времени, в результате чего в конечном уравнении появится частная производная по времени.

Подставим последние два разложения в (4.9), выдерживая порядок малости по . Интегрирование по сводится к , , и в результате:

Во втором интеграле , . Первый интеграл представляет определение искомого среднего в момент времени (переменная интегрирования может быть переобозначена в ). Поэтому второй интеграл должен быть равен нулю. Интегрируя по частям один раз второе слагаемое в квадратных скобках и два раза третье ( C), получим , умноженную на выражение:

(4.10)

которое должно быть равно нулю (в силу произвольности ). Это уравнение Фоккера - Планка, или второе уравнение Колмогорова для плотности условной вероятности .

Решение уравнения Фоккера-Планка позволяет найти плотность вероятности условного перехода. Имея её, мы фактически знаем о марковском случайном процессе всё. Можем вычислять его среднее, волатильность, автокорреляционную функцию и отвечать на другие вопросы.

Естественно, кроме начального условия (4.7), предполагается наличие граничных условий для плотности вероятности. Так как мы знаем, что в момент времени значение было равно , то спустя конечный интервал времени цена или броуновская частица не могут "заблуждать" бесконечно далеко. Поэтому мы считаем, что плотность вероятности на бесконечности равна нулю. Это же требование возникает в силу условия нормировки:

(4.11)

имеющего смысл вероятности перехода "куда угодно".

Так как дифференциальное уравнение (4.10) линейно относительно функции , то решение не изменяется при умножении на произвольную константу. Её значение должно фиксироваться при помощи условия нормировки (4.11).


Марковские плотности вероятности << Оглавление >> Решение уравнения Фоккера-Планка

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения