Некоторые точные решения

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Многомерие помогает одномерию << Оглавление >> Как решать стохастические задачи?


Рассмотрим нестационарное многомерное стохастическое уравнение:

(6.34)

При его решении итерациями получатся ряды следующего вида:

Последний член является суммой независимых гауссовых случайных чисел. Поэтому решение (6.34) можно записать следующим образом:

(6.35)

где по по-прежнему производится суммирование, и

Явный вид матричной функции обычно не требуется. Нестационарное гауссово блуждание полностью определяется вектором средних значений и симметричной матрицей дисперсий:

Через них выражается производящая функция для средних (действительный аналог характеристической функции):

Усреднение проводится покомпонентно для каждого гауссового числа при помощи формулы (1.11).

Моменты произвольного порядка находятся взятием частных производных от . Например, для:

получаем:

Заметим, что это выражение автоматически симметрично по всем четырем индексам.

Изменения цен различных финансовых инструментов (например, акций) обычно скоррелированы друг с другом. Простейшей моделью является многомерное логарифмическое блуждание. В этом случае относительное изменение цены — это -мерный винеровский процесс:

(!) Сейчас мы используем явное обозначение для суммы, а не соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Дисперсия относительных изменений двух акций выражается через матрицу . Действительно, для небольшого интервала времени , представив , имеем:

Для получения решения перейдём, как и в одномерном случае, к натуральному логарифму от . Тогда по лемме Ито имеем:

Решение этого уравнения с начальным условием , выраженное через гауссовы переменные, имеет вид:

Среднее значение экспоненциально изменяется со скоростью, определяемой параметром :

Аналогично, среднее значение квадрата имеет вид:

Более подробно к вопросу стохастического описания финансовых рынков мы вернёмся в восьмой главе.

Как и в одномерном случае, некоторую систему стохастических уравнений можно попытаться свести к простому нестационарному случаю. Для этого подберём такую векторную функцию , которая "убирает" из уравнения (по повторяющимся индексам снова предполагается суммирование):

Пусть — обратная к матрица. Тогда для функций волатильности можно записать:

(6.36)

Для нестационарного сноса :

(6.37)

где мы подставили (6.36) и воспользовались соотношением:

которое получается дифференцированием по .

Возьмём производную выражения (6.36) по и производную по от (6.37). Вычитая их, получаем условие совместности в следующем виде:

(6.38)

Как и в одномерном случае, если при данных и удаётся подобрать такие функции времени , что (6.38) обращается в тождество, то решение стохастического уравнения записывается в неявном виде:

(6.39)

где — нормированные независимые гауссовы случайные числа, а

Приведём пример использования этого алгоритма.

Для системы линейных уравнений с постоянной матрицей и зависящими от времени вектором и матрицей :

условие совместности (6.38) и его решение имеют вид:

При использовании алгоритма поиска точного решения нам достаточно найти частное решение условия совместности, так как фактически мы ищем наиболее простую замену , приводящую исходное уравнение к нестационарному винеровскому процессу (6.34). Поэтому выберем начальное условие для матрицы в следующем виде и, следовательно:

В результате функции замены (6.36) и сноса (6.37) равны:

Окончательное решение является нестационарным гауссовым процессом:

где — начальное условие. Матрица удовлетворяет соотношению, определяющему матрицу дисперсии процесса:

Если , а является постоянной матрицей, то эти формулы совпадают с результатами, полученными в предыдущем разделе.

В случае, когда матрица зависит от времени, вместо необходимо использовать матрицу , удовлетворяющую уравнению . Явный вид можно выразить через , однако для этого необходимы специальные обозначения, упорядочивающие матрицы, так как интеграл от матрицы по интервалу в общем случая не коммутирует с матрицей в момент времени .


Многомерие помогает одномерию << Оглавление >> Как решать стохастические задачи?

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения