Рассмотрим нестационарное многомерное стохастическое уравнение:
|
(6.34)
|
При его решении итерациями получатся ряды следующего вида:
Последний член является суммой независимых гауссовых случайных чисел. Поэтому решение (6.34) можно записать следующим образом:
|
(6.35)
|
где по по-прежнему производится суммирование, и
Явный вид матричной функции обычно не требуется. Нестационарное гауссово блуждание полностью определяется вектором средних значений и симметричной матрицей дисперсий:
Через них выражается производящая функция для средних (действительный аналог характеристической функции):
Усреднение проводится покомпонентно для каждого гауссового числа при помощи формулы (1.11).
Моменты произвольного порядка находятся взятием частных производных от . Например, для:
получаем:
Заметим, что это выражение автоматически симметрично по всем четырем индексам.
Изменения цен различных финансовых инструментов (например, акций) обычно скоррелированы друг с другом. Простейшей моделью является многомерное логарифмическое блуждание. В этом случае относительное изменение цены — это -мерный винеровский процесс:
(!) Сейчас мы используем явное обозначение для суммы, а не соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.
Дисперсия относительных изменений двух акций выражается через матрицу . Действительно, для небольшого интервала времени , представив , имеем:
Для получения решения перейдём, как и в одномерном случае, к натуральному логарифму от . Тогда по лемме Ито имеем:
Решение этого уравнения с начальным условием , выраженное через гауссовы переменные, имеет вид:
Среднее значение экспоненциально изменяется со скоростью, определяемой параметром :
Аналогично, среднее значение квадрата имеет вид:
Более подробно к вопросу стохастического описания финансовых рынков мы вернёмся в восьмой главе.
Как и в одномерном случае, некоторую систему стохастических уравнений можно попытаться свести к простому нестационарному случаю. Для этого подберём такую векторную функцию , которая "убирает" из уравнения (по повторяющимся индексам снова предполагается суммирование):
Пусть — обратная к матрица. Тогда для функций волатильности можно записать:
|
(6.36)
|
Для нестационарного сноса :
|
(6.37)
|
где мы подставили (6.36) и воспользовались соотношением:
которое получается дифференцированием по .
Возьмём производную выражения (6.36) по и производную по от (6.37). Вычитая их, получаем условие совместности в следующем виде:
|
(6.38)
|
Как и в одномерном случае, если при данных и удаётся подобрать такие функции времени , что (6.38) обращается в тождество, то решение стохастического уравнения записывается в неявном виде:
|
(6.39)
|
где — нормированные независимые гауссовы случайные числа, а
Приведём пример использования этого алгоритма.
Для системы линейных уравнений с постоянной матрицей и зависящими от времени вектором и матрицей :
условие совместности (6.38) и его решение имеют вид:
При использовании алгоритма поиска точного решения нам достаточно найти частное решение условия совместности, так как фактически мы ищем наиболее простую замену , приводящую исходное уравнение к нестационарному винеровскому процессу (6.34). Поэтому выберем начальное условие для матрицы в следующем виде и, следовательно:
В результате функции замены (6.36) и сноса (6.37) равны:
Окончательное решение является нестационарным гауссовым процессом:
где — начальное условие. Матрица удовлетворяет соотношению, определяющему матрицу дисперсии процесса:
Если , а является постоянной матрицей, то эти формулы совпадают с результатами, полученными в предыдущем разделе.
В случае, когда матрица зависит от времени, вместо необходимо использовать матрицу , удовлетворяющую уравнению . Явный вид можно выразить через , однако для этого необходимы специальные обозначения, упорядочивающие матрицы, так как интеграл от матрицы по интервалу в общем случая не коммутирует с матрицей в момент времени .
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения