Кинетическая энергия

Энергия, импульс, сила и масса <<	Оглавление (Глава 3)	>> Распады и столкновения

---

$\textstyle \bullet$ Энергия, необходимая для ускорения частицы до скорости $\textstyle u$:

$T=E-m={\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}-m,$

называется кинетической. Именно она приводится при указании параметров ускорителя элементарных частиц. При малых скоростях она стремится к классическому выражению $\textstyle T\approx m\mathbf {u} ^{2}/2$. Если же $\textstyle T\gg m$, то кинетическая энергия приближённо равна полной энергии ($\textstyle T\approx E$). Например, большой адронный коллайдер LHC в ЦЕРНЕ ускоряет протоны $\textstyle m_{p}\approx 0.9$ ГэВ до кинетических энергий $\textstyle T\sim 7000$ ГэВ.

Быстро движущиеся частицы могут столкнуться как с неподвижной мишенью, так и со встречным пучком ускоренных частиц. В последнем случае существует заметный энергетический выигрыш. Пусть частицы одинаковые и полная энергия каждого пучка равна $\textstyle E=m/{\sqrt {1-u^{2}}}$. Это означает, что скорости частиц равны $\textstyle u^{2}=1-m^{2}/E^{2}$:

Перейдём в систему отсчёта, которая движется влево (второй рисунок) со скоростью $\textstyle v=-u$. В этом случае частицы правого пучка будут неподвижны. Для вычисления энергии левого пучка воспользуемся преобразованием для энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}, с $\textstyle \mathbf {v} =-\mathbf {u}$ и формулой $\textstyle \mathbf {p} =E\mathbf {u}$:

$E'={\frac {E+\mathbf {u} \mathbf {p} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}={\frac {1+u^{2}}{\sqrt {1-u^{2}}}}E.$

Подставляя $\textstyle u^{2}=1-m^{2}/E^{2}$ для полных и кинетических энергий, окончательно имеем:

$E'={\frac {2E^{2}}{m}}-m,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {T'}{m}}=2\,\left(1+{\frac {T}{m}}\right)^{2}-2.$

(EQN)

Эти соотношения позволяют сравнить столкновение двух пучков, имеющих энергии $\textstyle E$, $\textstyle T$, с рассеиванием на неподвижной мишени одного пучка с энергией $\textstyle E'$, $\textstyle T'$. При больших энергиях $\textstyle T\gg m$ имеем $\textstyle T'\approx 2T^{2}/m$. Благодаря квадратичной зависимости эквивалент столкновения с неподвижной мишенью растёт очень быстро. Например, для большого адронного коллайдера LHC энергия каждого пучка протонов равна 7 ТэВ ($\textstyle 7\cdot 10^{12}$ эВ), что приводит к такому же результату, как и столкновение с мишенью с энергией 133 ТэВ. Таким образом, получается выигрыш в 19 раз! При малых скоростях ($\textstyle T\ll m$) кинетическая энергия рассеивания на мишени равна $\textstyle T'\approx 4T$, т.е. выигрыш при переходе от одного пучка к двум всего лишь четырёхкратный ($\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Вся энергетика, которую мы используем, существует благодаря текущей или накопленной солнечной энергии. Она, в свою очередь, обусловлена гравитационными силами, которые сдавливают и разогревают огромный плазменный шар до таких давлений и температур, что начинают идти термоядерные реакции. В реакции синтеза (слияния) из двух ядер водорода (протонов см. стр. \pageref{elem_part}) возникает дейтерий $\textstyle \,^{2}\mathrm {D}$:

$p+p\;\mapsto \;^{2}\mathrm {D} +e^{+}+\nu _{e}.$

Эта реакция идёт с "выделением энергии". Это не очень удачный термин, так как полная энергия любой реакции постоянна. Речь идёт о разности кинетических энергий частиц после и до столкновения:

$\sum _{i}(T_{i}+m_{i})=\sum _{j}(T'_{i}+m'_{j})\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta T=(\sum _{i}m_{i})-(\sum _{i}m'_{i}).$

Для вычисления выделившейся энергии движения необходимо найти разницу масс частиц до и после соударения. Так, для первой реакции, лежащей в основе термоядерной энергии нашего Солнца, имеем:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Delta T = 2\cdot 938.272 - (1875.613 + 0.511) = 0.42\;МэВ,}

где массы частиц можно найти на стр. \pageref{mass_elem_part}. Баланс кинетической энергии важен, так как именно энергия движения может быть в дальнейшем потенциально преобразована в другие "полезные" формы энергии (например, электрическую, и в конечном счёте снова в механическую).

Протон - протонный синтез идёт очень медленно (малая вероятность реакции) и выделяет немного энергии, почти половина которой уносится слабо взаимодействующим с веществом нейтрино. Позитрон аннигилирует с электроном, а дейтерий, сливаясь с протоном, порождает гелий-3 с уже большим энергетическим выходом. После ещё одной реакции синтеза возникает гелий-4. В результате этих реакций четыре протона и два электрона превращаются в ядро гелия, два нейтрино и шесть фотонов: \begin{flushleft} \parbox{8cm}{

} \parbox{7cm}{\large

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin{array}»): {\displaystyle \left| \begin{array}{lclr} p+p &\mapsto& ^2\mathrm{D}+ e^+ +\nu_e &0.4\;МэВ\\ e^++e^- &\mapsto& 2\gamma & 1.0\;МэВ\\ ^2\mathrm{D}+p &\mapsto& ^3\mathrm{He}+ \gamma & 5.5\;МэВ\\ {^3\mathrm{He}} + {^3\mathrm{He}} &\mapsto& ^4\mathrm{He}+2p &12.9\;МэВ\\ \end{array} \right.}

} \end{flushleft} Суммарная энергия Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle 26.7\,МэВ} по сравнению с массой четырех протонов составляет заметную величину 0.7\%. Из-за излучения Солнце ежегодно теряет порядка $\textstyle 10^{17}$ кг, или $\textstyle 5\cdot 10^{-14}$ своей массы. В качестве упражнения предлагается вычислить увеличение кинетических энергий частиц в каждой реакции солнечного цикла и их суммарную энергию.

---

Энергия, импульс, сила и масса <<	Оглавление (Глава 3)	>> Распады и столкновения

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии