Рассмотрим одномерное уравнение Ито:
в котором из функции явным образом выделен параметр волатильности процесса . Его мы будем считать малым. Пусть функция является решением детерминированного уравнения:
|
(3.18)
|
Введём новый процесс "отклонения" от детерминированного решения:
В силу Леммы Ито он удовлетворяет уравнению:
где вместо мы подставили правую часть уравнения (3.18).
Запишем уравнение для средних (3.3), выбрав :
Разложим в ряд Тейлора по параметру функции и :
Детерминированное решение нам известно и определяет функции времени , . Так как , то в квадратных скобках уравнения для средних коэффициент сокращается, и мы имеем:
|
(3.19)
|
Разложим в ряд по степеням средние значения:
|
(3.20)
|
В коэффициентах , — это верхний индекс, а не степень! Заметим, что , откуда при и .
Подставим разложение (3.20) в уравнение (3.19). В результате:
В двойной сумме в правой части сделаем замену индексов , . Так как , то . Приравнивая члены при одинаковых степенях и опуская штрихи у индексов, получаем систему уравнений:
|
(3.21)
|
Выпишем несколько её первых уравнений:
Так как начальные условия учтены в детерминированном решении , то для процесса они имеют вид . Соответственно равны нулю и все средние при . Систему уравнений (3.21) можно решать как аналитически, так и численно, используя конечные приращения для производных по времени.
Если в задаче при возможен стационарный режим, в котором , то, приравняв левые части уравнений к нулю, получим систему с постоянными коэффициентами , , которая легко решается. В частности:
Особенно удобен этот способ вычисления средних в многомерном случае, когда стационарное уравнение Фоккера-Планка решить сложно.
В качестве примера рассмотрим сначала точно решаемую задачу логарифмического блуждания:
Как известно (стр. \pageref{log_winer_sol}), средние значения имеют вид:
Так как уравнение линейно по , детерминированное решение совпадает с выражением для среднего. Ненулевые значения коэффициентов разложения сноса и дисперсии имеют вид:
В результате ряды обрываются, и уравнения принимают вид:
Среднее значение () для любой -й поправки удовлетворяет уравнениям . Так как , то все , и, следовательно, . Для среднего квадрата:
В итоге получаем разложение в ряд по точного решения.
Найдём теперь стохастические поправки к детерминированному решению для более сложного логистического уравнения:
Его детерминированное решение имеет вид (см. стр. \pageref{df_eq_logistic}):
где . Ненулевые коэффициенты разложения сноса и дисперсии равны:
В асимптотическом пределе детерминированное решение стремится к единице, и полученные выше выражения для , воспроизводят точные значения для среднего и волатильности (3.13).
В произвольный момент времени первое уравнение системы для средних (3.21) имеет вид:
Так как , то, следовательно, константа интегрирования равна нулю, и, соответственно, поправка к , пропорциональная , также равна нулю . Аналогично равны нулю . Ведущий член для подчиняется уравнению
решение которого с начальным условием имеет вид:
Четвёртая степень в нулевом приближении выражается через :
Наконец, первая поправка к среднему значению равняется:
Дальше члены разложения становятся достаточно громоздкими. Приведём их вид, когда , т.е. начальное значение стохастического процесса стартует с асимптотически равновесного уровня . В этом случае среднее значение для с точностью до равно:
Аналогично для среднего квадрата:
Мы видим, что сложность аналитических выражений достаточно быстро увеличивается. Для практических целей иногда имеет смысл использовать численное решение системы дифференциальных уравнений. В этом случае при небольших мы будем получать средние значения быстрее, чем при использовании Монте-Карло — моделирования.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения