Квазидетерминированное приближение

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Степенные ряды для средних << Оглавление >> Марковские плотности вероятности


Рассмотрим одномерное уравнение Ито:

в котором из функции явным образом выделен параметр волатильности процесса . Его мы будем считать малым. Пусть функция является решением детерминированного уравнения:

(3.18)

Введём новый процесс "отклонения" от детерминированного решения:

В силу Леммы Ито он удовлетворяет уравнению:

где вместо мы подставили правую часть уравнения (3.18).

Запишем уравнение для средних (3.3), выбрав :

Разложим в ряд Тейлора по параметру функции и :

Детерминированное решение нам известно и определяет функции времени , . Так как , то в квадратных скобках уравнения для средних коэффициент сокращается, и мы имеем:

(3.19)

Разложим в ряд по степеням средние значения:

(3.20)

В коэффициентах , — это верхний индекс, а не степень! Заметим, что , откуда при и .

Подставим разложение (3.20) в уравнение (3.19). В результате:

В двойной сумме в правой части сделаем замену индексов , . Так как , то . Приравнивая члены при одинаковых степенях и опуская штрихи у индексов, получаем систему уравнений:

(3.21)

Выпишем несколько её первых уравнений:

Так как начальные условия учтены в детерминированном решении , то для процесса они имеют вид . Соответственно равны нулю и все средние при . Систему уравнений (3.21) можно решать как аналитически, так и численно, используя конечные приращения для производных по времени.

Если в задаче при возможен стационарный режим, в котором , то, приравняв левые части уравнений к нулю, получим систему с постоянными коэффициентами , , которая легко решается. В частности:

Особенно удобен этот способ вычисления средних в многомерном случае, когда стационарное уравнение Фоккера-Планка решить сложно.

В качестве примера рассмотрим сначала точно решаемую задачу логарифмического блуждания:

Как известно (стр. \pageref{log_winer_sol}), средние значения имеют вид:

Так как уравнение линейно по , детерминированное решение совпадает с выражением для среднего. Ненулевые значения коэффициентов разложения сноса и дисперсии имеют вид:

В результате ряды обрываются, и уравнения принимают вид:

Среднее значение () для любой -й поправки удовлетворяет уравнениям . Так как , то все , и, следовательно, . Для среднего квадрата:

В итоге получаем разложение в ряд по точного решения.

Найдём теперь стохастические поправки к детерминированному решению для более сложного логистического уравнения:

Его детерминированное решение имеет вид (см. стр. \pageref{df_eq_logistic}):

где . Ненулевые коэффициенты разложения сноса и дисперсии равны:

В асимптотическом пределе детерминированное решение стремится к единице, и полученные выше выражения для , воспроизводят точные значения для среднего и волатильности (3.13).

В произвольный момент времени первое уравнение системы для средних (3.21) имеет вид:

Так как , то, следовательно, константа интегрирования равна нулю, и, соответственно, поправка к , пропорциональная , также равна нулю . Аналогично равны нулю . Ведущий член для подчиняется уравнению

решение которого с начальным условием имеет вид:

Четвёртая степень в нулевом приближении выражается через :

Наконец, первая поправка к среднему значению равняется:

Дальше члены разложения становятся достаточно громоздкими. Приведём их вид, когда , т.е. начальное значение стохастического процесса стартует с асимптотически равновесного уровня . В этом случае среднее значение для с точностью до равно:

Аналогично для среднего квадрата:

Мы видим, что сложность аналитических выражений достаточно быстро увеличивается. Для практических целей иногда имеет смысл использовать численное решение системы дифференциальных уравнений. В этом случае при небольших мы будем получать средние значения быстрее, чем при использовании Монте-Карло — моделирования.


Степенные ряды для средних << Оглавление >> Марковские плотности вероятности

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения