Для получения информации о случайном процессе можно сначала решить уравнение Ито, а затем вычислить наблюдаемые характеристики процесса, которые, в конечном счёте, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.
Рассмотрим итерационную схему в моменты времени и :
|
(3.1)
|
Значение процесса и гауссова величина являются двумя независимыми случайными величинами. В результате вычисления (3.1) возникает новое случайное число . Чтобы найти его среднее значение необходимо проинтегрировать левую часть (3.1) с марковской плотностью . Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с , где — гауссова плотность вероятности. Так как и независимы и , то усреднение последнего слагаемого в (3.1) даёт ноль, поэтому:
Перенося влево и разделив обе части на , мы приходим к динамическому уравнению для среднего:
|
(3.2)
|
Если , то (3.2) имеет ту же форму, что и детерминированное уравнение:
Поэтому при любой волатильности среднее значение процесса с линейным по сносом совпадает с детерминированным решением. Однако в нелинейном случае это не так!
Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию , изменение которой подчиняется лемме Ито (2.15), получаем:
|
(3.3)
|
Выбирая те или иные функции , можно получить множество полезных соотношений для средних величин.
В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:
решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову переменную. В данном случае снос является линейным по , и сразу получается зависимость среднего от времени:
В качестве начального условия при выбрано значение среднего, равное . Вообще, если в начальный момент времени , то средние произвольной степени при равны . Действительно, средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плотность вероятности равна дельта - функции: . В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное распределение вероятностей, задавая в момент .
Выбирая теперь , получим уравнение для квадрата:
Функция нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:
где . Откуда волатильность процесса равна:
Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для средних часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так, для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая , имеем:
Так как среднее единицы равно единице: , из этого уравнения последовательно находим:
Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического решения, выраженного через гауссову переменную (стр. \pageref{sol_OU}):
Для этого необходимо возвести в соответствующую степень и усреднить, с учётом , .
В качестве упражнения предлагается найти среднее для уравнения: ( H).
Из соотношения (3.3) несложно получить уравнение, которому удовлетворяет плотность вероятности в стационарном режиме. Выберем функцию , не зависящую от времени, и положим производную равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:
Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе — два, и считая, что достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:
Так как функция произвольна, то интеграл будет равен нулю, только если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате получается стационарное уравнение Фоккера - Планка:
которое легко интегрируется:
Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени . Поэтому, устремив , мы получим слева и справа ноль, что подтверждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:
|
(3.4)
|
где штрих у функций — это производная по . Его решение имеет вид:
|
(3.5)
|
Константа интегрирования находится из условия нормировки. Выполнимость этого условия является критерием возможности стационарного решения. Так, для логарифмического блуждания (стр. \pageref{log_winer}) со сносом и волатильностью имеем . Ни при каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.
В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фоккера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:
Интегрирование в (3.5) приводит к следующей плотности вероятности:
которая является распределением Гаусса. В терминах случайных величин можно записать в виде:
где — гауссова переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Аналогично, предлагается найти ( H) асимптотическую плотность вероятности для процесса .
Рассмотрим ещё одну задачу:
Так как снос равен нулю , то среднее значение не изменяется со временем . Для среднего квадрата имеем:
Поэтому дисперсия процесса
в пределе стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом случае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению Коши:
к которому действительно приближается плотность вероятности процесса. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности, не существуют при .
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения