Динамическое уравнение для средних

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Порождающий процесс Винера << Оглавление >> Процесс Феллера

Для получения информации о случайном процессе можно сначала решить уравнение Ито, а затем вычислить наблюдаемые характеристики процесса, которые, в конечном счёте, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.

Рассмотрим итерационную схему в моменты времени и :

(3.1)

Значение процесса и гауссова величина являются двумя независимыми случайными величинами. В результате вычисления (3.1) возникает новое случайное число . Чтобы найти его среднее значение необходимо проинтегрировать левую часть (3.1) с марковской плотностью . Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с , где — гауссова плотность вероятности. Так как и независимы и , то усреднение последнего слагаемого в (3.1) даёт ноль, поэтому:

Перенося влево и разделив обе части на , мы приходим к динамическому уравнению для среднего:

(3.2)

Если , то (3.2) имеет ту же форму, что и детерминированное уравнение:

Поэтому при любой волатильности среднее значение процесса с линейным по сносом совпадает с детерминированным решением. Однако в нелинейном случае это не так!

Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию , изменение которой подчиняется лемме Ито (2.15), получаем:

(3.3)

Выбирая те или иные функции , можно получить множество полезных соотношений для средних величин.

В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову переменную. В данном случае снос является линейным по , и сразу получается зависимость среднего от времени:

В качестве начального условия при выбрано значение среднего, равное . Вообще, если в начальный момент времени , то средние произвольной степени при равны . Действительно, средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плотность вероятности равна дельта - функции: . В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное распределение вероятностей, задавая в момент .

Выбирая теперь , получим уравнение для квадрата:

Функция нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:

где . Откуда волатильность процесса равна:

Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для средних часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так, для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая , имеем:

Так как среднее единицы равно единице: , из этого уравнения последовательно находим:

Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического решения, выраженного через гауссову переменную (стр. \pageref{sol_OU}):

Для этого необходимо возвести в соответствующую степень и усреднить, с учётом , .

В качестве упражнения предлагается найти среднее для уравнения: ( H).

Из соотношения (3.3) несложно получить уравнение, которому удовлетворяет плотность вероятности в стационарном режиме. Выберем функцию , не зависящую от времени, и положим производную равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:

Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе — два, и считая, что достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:

Так как функция произвольна, то интеграл будет равен нулю, только если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате получается стационарное уравнение Фоккера - Планка:

которое легко интегрируется:

Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени . Поэтому, устремив , мы получим слева и справа ноль, что подтверждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:

(3.4)

где штрих у функций — это производная по . Его решение имеет вид:

(3.5)

Константа интегрирования находится из условия нормировки. Выполнимость этого условия является критерием возможности стационарного решения. Так, для логарифмического блуждания (стр. \pageref{log_winer}) со сносом и волатильностью имеем . Ни при каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.

В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фоккера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

Интегрирование в (3.5) приводит к следующей плотности вероятности:

которая является распределением Гаусса. В терминах случайных величин можно записать в виде:

где — гауссова переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Аналогично, предлагается найти ( H) асимптотическую плотность вероятности для процесса .

Рассмотрим ещё одну задачу:

Так как снос равен нулю , то среднее значение не изменяется со временем . Для среднего квадрата имеем:

Поэтому дисперсия процесса

в пределе стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом случае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению Коши:

к которому действительно приближается плотность вероятности процесса. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности, не существуют при .



Порождающий процесс Винера << Оглавление >> Процесс Феллера

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения