Электронный шум

Дрожание земной оси <<	Оглавление	>> Хищники и их жертвы

В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.

Основными характеристиками процессов, происходящих в электрической цепи, являются напряжение (разница потенциалов) $\textstyle U$ между двумя точками и проходящий по ней ток $\textstyle I$ . Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: $\textstyle I=dQ/dt$ .

Большинство электротехнических устройств состоят из трёх элементарных деталей — резистора, конденсатора и индуктивности:

Резистором является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: $\textstyle U=R\cdot I$ , где $\textstyle R$ — константа, называемая сопротивлением.

Конденсатором может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ёмкостью $\textstyle C$ , зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: $\textstyle U=Q/C$ . При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию $\textstyle E=Q^{2}/2C$ электрического поля.

Индуктивность реагирует на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: $\textstyle U=L\,dI/dt$ . Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную $\textstyle E=LI^{2}/2$ .

Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов.

В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах $\textstyle U_{R}+U_{C}+U_{L}$ должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через $\textstyle \delta U$ .

Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:

\left\{{\begin{array}{l}dQ=I\,dt\\dI=-(\alpha Q+2\beta I)\,dt+\sigma \delta W,\end{array}}\right.

где $\textstyle \alpha =1/LC$ , $\textstyle \beta =R/2L$ и $\textstyle \delta U=L\sigma \delta W$ . Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума $\textstyle \sigma$ . В его отсутствие ( $\textstyle \sigma =0$ ) систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:

{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dQ}{dt}}+\alpha Q=0.

Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд $\textstyle Q$ и ток $\textstyle I$ являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток — импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:

E(Q,I)={\frac {LI^{2}}{2}}+{\frac {Q^{2}}{2C}}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;{\frac {dE}{dt}}=-RI^{2}.

(7.6)

Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных $\textstyle RI^{2}$ . Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и происходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ("потенциальная") в магнитную ("кинетическая") на индуктивности, и обратно.

Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем случае матрица системы $\textstyle \mathbf {A}$ и её собственные значения имеют вид:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\-\alpha &-2\beta \\\end{pmatrix}}\;\;\;\;\;\;\;a_{1,2}=-\beta \pm i\omega ,

где $\textstyle \omega ={\sqrt {\alpha -\beta ^{2}}}$ . Мы предполагаем, что сопротивление невелико и $\textstyle 4L/C>R^{2}$ . По стандартному алгоритму (стр. \pageref{sys_line_n_eigen}) несложно найти:

{\begin{array}{l}{\overline {Q}}(t)={\bigl [}Q_{0}\cos \omega t+(\;I_{0}\;+\beta Q_{0})/\omega )\sin \omega t{\bigr ]}\,e^{-\beta t}\\{\overline {I}}(t)\,={\bigl [}\,I_{0}\;\cos \omega t-(\beta I_{0}+\alpha Q_{0})/\omega )\sin \omega t{\bigr ]}\,e^{-\beta t}.\end{array}}

(7.7)

Возможно, более быстрый путь — это решение уравнения второго порядка в виде $\textstyle Q(t)=(A\cos \omega t+B\sin \omega t)e^{-\beta t}$ и определение констант при помощи начальных условий $\textstyle Q_{0}=Q(0)$ , $\textstyle I_{0}={\dot {Q}}(0)$ .

$\textstyle \bullet$ Если некоторая система имеет температуру $\textstyle T$ , можно воспользоваться распределением Гиббса (стр. \pageref{distribution_gibbs}) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:

P(I,Q)=P_{0}\,e^{-E(I,Q)/kT}.

(7.8)

Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:

{\frac {\partial (a_{i}P)}{\partial x_{i}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigl [}B_{ik}B_{jk}P{\Bigr ]}=0.

В данном случае $\textstyle x_{\alpha }=\{Q,I\}$ и

a_{\alpha }=\{I,\;\;-\alpha Q-2\beta I\},\;\;\;\;\;B_{ij}=\sigma \cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} ^{T}=\sigma ^{2}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.

Поэтому:

I\,{\frac {\partial P}{\partial Q}}-\alpha \,Q\,{\frac {\partial P}{\partial I}}-2\beta \,{\frac {\partial (IP)}{\partial I}}-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}P}{\partial I^{2}}}=0.

Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:

(L\sigma )^{2}=2\,kT\,R.

Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:

\delta U={\sqrt {2\,kT\,R}}\cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^{2}\right\rangle =2\,kT\,R\,dt.

(7.9)

Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме ( $\textstyle t\to \infty$ ) можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. Линейные многомерные модели). Положив $\textstyle {\dot {\mathbf {D} }}=0$ , имеем:

\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {D} \cdot \mathbf {A} ^{T}+\,\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} ^{T}=0,

откуда:

\mathbf {D} ={\frac {\sigma ^{2}}{4\alpha \beta }}{\begin{pmatrix}1&0\\0&\alpha \\\end{pmatrix}}=kT{\begin{pmatrix}C&0\\0&1/L\\\end{pmatrix}},

(7.10)

что согласуется с вероятностью (7.8) и $\textstyle n-$ мерным гауссовым распределением. Заметим, что $\textstyle \left\langle Q^{2}\right\rangle =kTC$ , $\textstyle \left\langle I^{2}\right\rangle =kT/L$ , поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном $\textstyle t$ ( $\textstyle \lessdot$ H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме ( $\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом $\textstyle q$ справедливо уравнение движения:

m{\frac {dv}{dt}}=-\gamma v-q{\mathcal {E}}.

На электрон действуют две силы — сопротивление со стороны кристаллической решётки (трение) и электрическая сила в поле $\textstyle {\mathcal {E}}$ . Если в проводнике длиной $\textstyle l$ поле однородно $\textstyle U=l{\mathcal {E}}$ , то в устоявшемся режиме ( $\textstyle {\dot {v}}$ =0) из уравнения движения следует $\textstyle v=-q{\mathcal {E}}/\gamma =-qU/l\gamma$ . Пусть $\textstyle n$ — концентрация электронов. За время $\textstyle \Delta t$ сечение сопротивления площадью $\textstyle S$ пересекает $\textstyle (qn)\,S\Delta x$ зарядов. Для электрона $\textstyle q<0$ , поэтому ток равен:

I={\frac {dQ}{dt}}=-{\frac {qnS\Delta x}{\Delta t}}=-nqvS={\frac {q^{2}nS}{\gamma l}}\cdot U.

Следовательно, по закону Ома $\textstyle R=U/I$ сопротивление равно:

R={\frac {\gamma l}{q^{2}nS}}.

Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздействие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения:

dv=-{\frac {\gamma }{m}}\,v\,dt-\sigma \,\delta W,

где $\textstyle \delta {\mathcal {E}}=(\sigma m/q)\delta W$ — флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата скорости: $\textstyle \left\langle v^{2}\right\rangle =m\sigma ^{2}/2\gamma$ . Кинетическая энергия $\textstyle m\left\langle v^{2}\right\rangle /2$ равна $\textstyle kT/2$ (одна степень свободы), поэтому $\textstyle \sigma ^{2}=2kT\gamma /m^{2}$ .

Если в проводнике $\textstyle N=nSl$ электронов, то среднее расстояние между ними $\textstyle l/N$ и флуктуации разности потенциалов $\textstyle \delta U_{i}=(l/N)\delta {\mathcal {E}}$ . Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как $\textstyle \delta W=\varepsilon {\sqrt {dt}}$ , $\textstyle N=nSl$ , получаем: