Эмпирические закономерности

Материал из synset
Версия от 19:32, 20 февраля 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Финансовые рынки << Оглавление >> Диверсификация

Фрактальность. Если построить графики динамики цен на различных временных интервалах и закрыть ось времени, то даже самый опытный трейдер, скорее всего, не отличит месячный график от минутного. Ниже приведен курс EUR к USD. На первом рисунке каждая точка является ежедневным курсом, на втором — часовым, и на третьем — ежеминутным:

Fractals.png

Фрактальность — это самоподобность объекта или процесса на различных масштабах. Такие непрерывные стохастические процессы, как броуновское блуждание, автоматически обладают свойством фрактальности.

Отсутствие памяти. Если вычислить корреляционные коэффициенты между изменением цены вчера и сегодня, мы получим (в рамках статистической погрешности) нулевое значение. Ниже в таблице приведены автокорреляции ежедневных доходностей индекса S&P500 со сдвигом от одного до восьми дней :

Fin table.png

Видно, что значения автокорреляций очень малы. Стандартная ошибка их вычисления по наблюдениям равна . С вероятностью отклонение выборочной автокорреляции от истинной составляет одну стандартную ошибку, а с вероятностью — две. Жирным шрифтом отмечены значения, которые можно статистически значимо считать отличными от нуля. Так, за весь период корреляция вчерашнего и сегодняшнего изменения цены , с точки зрения формального статистического подхода, имеет отличное от нуля значение . Однако этот результат связан с действительно высокой автокорреляцией в прошлом (1960-1980). В настоящее время значимой короткой памяти у рынка нет.

Память волатильности. В отличие от доходностей, между их квадратами или модулями существуют заметные автокорреляции. Можно рассматривать автокоррелограммы между самыми различными мерами, характеризующими абсолютную величину изменения цены, а не её знак. Это могут быть волатильности, вычисленные за небольшие неперекрывающиеся интервалы времени , амплитуда размаха цены , где — максимальное, а — минимальное значение за период, или комбинированные меры, например, .

Cor sp 2001 2006.png

Выше приведены коррелограммы для различных мер ежедневной волатильности и точечная диаграмма для двух последовательных дней, которая имеет характерную форму кометы. В качестве данных использовался курс EUR против USD за период 2004-2008 годов.

Не совсем гауссовость. Если изучить свойства эмпирического распределения для доходностей некоторого финансового инструмента, то оно, скорее всего, окажется не гауссовым. Типичное распределение выглядит следующим образом:

Non gauss.png

На первом рисунке приведена стандартная гистограмма, а тонкая линия соответствует распределению Гаусса. На третьем графике то же в логарифмическом масштабе. Второй график является графом нормальной вероятности ( C). Эмпирическое распределение обычно имеет заметный эксцесс и асимметрию. Его хвосты (асимптотическое поведение плотности вероятности) являются "толстыми", т.е. лежат выше графика нормального распределения. В результате существенные отклонения доходности от среднего значения происходят чаще, чем в "нормальном случае".

Крахи и миникрахи. Одна из причин (или следствий ) негауссовости распределения вероятностей доходностей - это возникновение на рынке так называемых крахов, проявляющихся чаще всего в обвальном падении цен на один или множество схожих финансовых активов.

Самыми запоминающимися являются однодневные обвалы. С начала 1987 г. фондовый рынок Америки рос ускоренными темпами (около 40\% годовых). В результате пузырь сокрушительно лопнул. За один день, в понедельник 19-го октября 1987 года, индекс S&P500 обрушился более чем на 20\% (левый рисунок):

Fin crach1987.png

События меньшего масштаба, но всё же очень неприятные, происходят на рынке достаточно часто. На правом рисунке приведен пример "празднования" десятилетия октябрьского краха 1987-го ( C).

Скоррелированность рынков. Цены финансовых инструментов имеют сильно скоррелированную динамику. Если предсказать изменения цены за два последовательных периода очень сложно, то изменение цен различных активов за один интервал времени связаны очень тесно. Положительные "настроения" в течение дня, скорее всего, приведут к росту акций большинства компаний, и наоборот.

Ниже на рисунке представлена динамика фондовых индексов S&P500 (США) и FTSE (Великобритания) за период 1991-2007:

Sp ftse.png

Хорошо видна синхронность их поведения. Справа от рисунка приведены корреляционные коэффициенты ежедневных изменений цен акций нескольких крупнейших американских компаний (период 2003-2007, ) и их годовая доходность и волатильность.

Нестационарность рынков. Наверное, наиболее характерным свойством рынков является их нестационарность. Статистические парамеры случайного блуждания цены изменяются со временем. Например, при обсуждении "отсутствия памяти" мы видели, что первый автокорреляционный коэффициент с 1950 года претерпел заметную эволюцию.

Ещё более заметно нестационарность проявляется для волатильности рынка, которая характеризует степень его "нервозности". Рассмотрим типичные значения ежедневных доходностей для цены финансового инструмента. Ниже слева они представлены в виде столбиков (вверх , вниз — ). Для сравнения справа приведены стационарные случайные числа с гауссовым распределением:

Non stationar2.png

Видно, что "ёжик" доходности реальных цен значительно менее однородный. Периоды низкой волатильности (маленькие столбики) чередуются со значениями высокой волатильности. Зависимость волатильности от времени можно восстанавливать при помощи различных методик. Ниже приведен пример такого вычисления для индекса S&P500:

Volat sp500.png

Видно, что изменяется в несколько раз.

Учёт нестационарности волатильности позволяет дать простое объяснение описанному выше эффекту памяти волатильности и негауссовости распределения. Аккуратное выделение долгосрочной динамики полностью устраняет память волатильности и существенно снижает не гауссовость распределения доходностей. Более подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки книги. Детали можно найти в статье автора "Пластичность волатильности", доступной через Интернет.


Финансовые рынки << Оглавление >> Диверсификация

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения