Решение обыкновенного дифференциального уравнения можно представлять в виде ряда по степеням . Аналогично будем поступать и в стохастическом случае, однако в ряд разложим непосредственно средние величины.
Для уравнения Ито:
возьмём первую итерацию от начального условия :
Учитывая и , вычислим, с точностью до линейного приближения по , среднее значение и среднее квадрата:
Соответственно, дисперсия процесса в этом приближении будет равна . Чтобы получить дальнейшие члены разложения, воспользуемся динамическим уравнением для средних.
Для определённости рассмотрим логистическое уравнение:
В этом случае:
Найдём коэффициент . Для этого подставим разложения в уравнение для среднего:
ограничившись первым порядком по :
откуда:
Аналогично находятся следующие коэффициенты разложения.
Найдём рекуррентные соотношения для произвольного члена разложения. Выбирая в (3.3), функцию , запишем систему связанных дифференциальных уравнений:
Разложим средние в степенной ряд:
Подставляя его в уравнение для средних и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем при систему рекуррентных уравнений ():
На системе аналитических расчётов Matematica фирмы Wolfram Research, Inc. вычисления среднего с точностью до можно записать так:
\cppsrc{src/math_t.cpp} \\ \\ Первые две строки представляют собой рекурсивное определение функции . Затем в цикле Do происходит суммирование разложения по . Последняя строка осуществляет вывод результата, сгруппированного в виде множителей при , к каждому из которых применяется операция упрощения.
Заметим, что для большого числа членов разложения более быстрой будет нерекурсивная реализация программы:
\cppsrc{src/math_t2.cpp} \\ \\ где в двойном цикле по и происходит явное вычисление коэффициентов . Хотя и рекурсивную реализацию можно ускорить, написав: f[n\_, k\_]:=f[n,k]=(n/k)...
Приведём первые три члена разложения:
Аналогично для дисперсии процесса :
Подобным образом получаются разложения для моментов произвольного порядка. Выражения несколько упрощаются, если в качестве начального условия выбирается точка детерминированного асимптотического равновесия . При в этом случае решение не зависит от времени. В стохастической системе оно должно проэволюционировать к значению: Поэтому зависимость от времени существует:
Графики разложений () различного порядка (от до ) для среднего (слева) и волатильности (справа) имеют вид:
Подобные степенные разложения часто являются асимптотическими рядами и хорошо работают только при малых временах. Однако их сходимость можно улучшать при помощи различных методов, например, аппроксимацией Падэ.
Естественно, можно строить разложения не только в виде ряда по . Достаточно универсальным является метод последовательных приближений. Его идея в следующем. Выберем некоторые функции , являющиеся нулевым приближением для , так, что . Подставляя их в правые части уравнений для средних, получаем дифференциальные уравнения. Решая их, мы найдём более точное приближение для функции . При повторении этой процедуры будет получаться всё более точное выражение для средних. При этом на каждой итерации необходимо использовать начальное условие . Чем удачнее выбор , тем быстрее будут сходиться к точному значению последовательные приближения, и тем шире диапазон для их применимости.
Рассмотрим логистическое уравнение:
В простейшем случае можно выбрать . Тогда в первом приближении:
откуда:
и т.д. В результате снова получаются степенные ряды по , в которых коэффициенты разложения единым образом выражаются через для любого .
Другой вариант выбора нулевого приближения . В этом случае:
В качестве нулевого приближения можно выбрать решение детерминированного уравнения. Тогда последовательно получаемые приближения окажутся рядами по величине волатильности стохастического шума .
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения