Разложение вероятности по базису

Материал из synset
Версия от 18:39, 15 марта 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Вероятность достижения границы << Оглавление >> Уравнение для x

Рассмотрим уравнение Фоккера-Планка с не зависящими от времени сносом и диффузией :

Будем искать его решение в виде . Функция удовлетворяет уравнению (штрих - производная по ):

(4.20)

При наличии граничных условий (стр. \pageref{border_df_probab_saves}) в интервале это уравнение может приводить к дискретному набору разрешённых значений: (собственные значения) и соответствующим им собственным функциям . Используя их, можно записать общее решение уравнение Фоккера-Планка.

Для примера рассмотрим винеровское блуждание с нулевым сносом и диффузией . Уравнение (4.20) имеет вид:

где . Его общее решение хорошо известно:

Пусть граничные условия являются поглощающими. В точках и плотность вероятности должна обращаться в нуль: Подстановка решения в эти граничные условия приводит к следующим собственным функциям:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin(\omega_n x),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L}}

и — целые числа, нумерующие собственные значения . Множитель при собственной функции выбран таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности:

(4.21)

где — символ Кронекера, равный единице при и нулю, если . Теперь можно разложить общее решение уравнения в бесконечный ряд по собственным функциям.

Действительно, представим плотность вероятности в виде следующей суммы:

Благодаря ортогональности собственных функций мы всегда можем восстановить коэффициенты этого разложения. Используя начальное условие и (4.21), имеем:

Поэтому окончательно:

С течением времени общая вероятность нахождения частицы в диапазоне уменьшается, так как частица рано или поздно будет захвачена одной из границ.

Так же находится решение для отражающих границ. В этом случае на границах и ток (4.15):

должен быть нулевым, а, следовательно, равна нулю производная собственной функции: В результате:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_0(x)=\frac{1}{\sqrt{L}},\;\;\;\;\;u_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos(\omega_n x),\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L},}

и . Несложно проверить, что эти функции также ортогональны. Поэтому окончательно:

При решение стремится к , и частицу можно равновероятно встретить в любой точке интервала шириной .

Рассмотрим теперь общую теорию для задачи на собственные функции и значения для уравнения Фоккера-Планка.

Предположим, что линейный дифференциальный оператор (например, ), и справедливо уравнение следующего вида:

(4.22)

где — действительная положительная функция. Если для произвольных функций и выполняется соотношение:

(4.23)

то оператор называется самосопряжённым. Звёздочка (комплексное сопряжение) может быть опущена для действительных операторов.

Рассмотрим решения , уравнения (4.22), соответствующие различным собственным значениям и . Используя (4.22), запишем:

где во втором соотношении взято комплексное сопряжение (4.22) и учтена действительность функции .

Если оператор самосопряжённый, то левые части этих равенств должны быть одинаковыми (, ). Приравняем их:

Если , то подынтегральная функция положительна, и, следовательно, собственные значения — действительны (). При нулю равен интеграл, поэтому собственные функции ортогональны с весом . Оператор — линейный, следовательно, собственная функция определена с точностью до постоянного множителя. Его удобно выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности

с весовой функцией .

Теперь можно записать разложение общего решения по базису:

где для коэффициентов использовано условие ортогональности.

Оператор уравнения (4.20) не является самосопряжённым. Умножим обе части (4.20) на функцию и подберём её таким образом, чтобы выполнялось условие (4.23). Проведём интегрирование по частям:

где — значения подынтегральной функции на границах и :

(4.24)

Раскроем производные в обоих интегралах. Оператор будет самосопряжённым, если при перестановке и местами вокруг него получается тот же результат (действительный случай). Это происходит, если:

(4.25)

Кроме этого, естественно, должны исчезать граничные члены (). Введём в соответствии с (4.15) плотности тока вероятности:

При помощи этих определений и уравнения (4.25) для функции , граничный член (4.24) можно переписать в следующем виде:

Несложно проверить, что все три типа граничных условий, рассмотренных в разделе "Граничные условия" приводят к нулевому значению . Таким образом, мы показали, что оператор уравнения (4.20), умноженный на функцию (4.25), оказывается самосопряженным. Поэтому общее решение уравнения Фоккера-Планка можно записать в следующем виде:

где для определения используются начальные условия .



Вероятность достижения границы << Оглавление >> Уравнение для x

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения