Пластичность волатильности:Приложение:Броуновское блуждание

Материал из synset
Версия от 20:40, 6 марта 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Заключение << Оглавление >> Приложение: Меры волатильности

Приведём основные соотношения теории броуновского движения, описываемого стохастическим уравнением . Рассмотрим сначала случай отсутствия сноса (). Без потери общности можно считать, что в начальный момент времени . Максимальное и минимальное значения за период равны и , и . Высота подъема и глубина опускания всегда положительны, и . Амплитуда размаха равна . Ниже рассматривается случай единичной волатильности и единичного интервала времени . Для их восстановления необходимо во всех "размерных" величинах , , , проделать замену . Это же необходимо сделать и в дифференциалах и т.п. при интегрировании плотностей вероятностей. Для сокращения используется функция нормального распределения: .

Исходным соотношением является вероятность того, что не поднимется выше и не опустится ниже , закрывшись на доходности :

(27)

Эту формулу получил Феллер в 1951 [1]. Отметим также исключительно полезный справочник [2]. Из вероятности Феллера (27) выводятся другие распределения. Так, для доходности, высоты и глубины имеем:

(28)

Плотность вероятности размаха выражается в виде бесконечного ряда по гауссовому базису:

(29)

Ряд достаточно быстро сходится для всех . Характерным свойством распределения Феллера является экстремально быстрое снижение плотности вероятности при уменьшении . Приведём некоторые значения интегральных вероятностей :

Volat tbl1g.png

Ниже значения 0.75 () параметр опускается только в 2-х случаях из 1000. Среднее значение , сигма . В интервал одной сигмы = [1.120 .. 2.071] попадает 71.6\% значений . В двойную сигму = [0.645 .. 2.547] попадет 95.6\% значений, причём выпадания из этого интервала, практически, должны встречаться только сверху.

Совместные плотности вероятности для высоты () глубины () и амплитуды () имеют вид:

(30)
(31)

Заметим, что , и .

Приведём таблицу средних значений различных величин:

где - функция Римана. Средние для и эквивалентны . Ниже даны значения некоторых смешанных произведений:

Другие средние, а также их производящую функцию можно найти в [3].

Для блуждания со сносом будем использовать уже определённые ранее плотности без сноса. Для того, чтобы восстановить время и волатильность, необходимо дополнительно сделать замену сноса . Плотность вероятности для доходности равна:

Выражения для совместных плотностей [2]:

Таким образом, во всех случаях плотности соответствующие умножаются на фактор . При наличии сноса:

Выражения для средних значений других величин достаточно громоздки. Однако, так как для финансовых данных , уместно разложить в ряд фактор и использовать средние для случая . В результате:

(32)
(33)

Средние значения высоты и глубины линейны по , и далее в разложении идут только чётные степени. Амплитуды размаха и модуля доходности зависят только от чётных степеней . Отметим также простые конечные соотношения: , , , .

Примчания

  1. W. Feller, 1950, The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables, The Annals of Mathematical Statistics, pp.427-432.
  2. 2,0 2,1 A.N. Borodin, P. Salminen, 2000 {Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae}, Basel: Birkhauser.
  3. M.B. Garman, M.J.Klass, 1980, {On the estimation of security price volatilities from historical data}, The Journal of Business, Vol.53, No.1.

Заключение << Оглавление >> Приложение: Меры волатильности