Приведём основные соотношения теории броуновского движения, описываемого стохастическим уравнением . Рассмотрим сначала случай отсутствия сноса (). Без потери общности можно считать, что в начальный момент времени . Максимальное и минимальное значения за период равны и , и . Высота подъема и глубина опускания всегда положительны, и . Амплитуда размаха равна . Ниже рассматривается случай единичной волатильности и единичного интервала времени . Для их восстановления необходимо во всех "размерных" величинах , , , проделать замену . Это же необходимо сделать и в дифференциалах и т.п. при интегрировании плотностей вероятностей. Для сокращения используется функция нормального распределения: .
Исходным соотношением является вероятность того, что не поднимется выше и не опустится ниже , закрывшись на доходности :
|
(27)
|
Эту формулу получил Феллер в 1951 [1]. Отметим также исключительно полезный справочник [2].
Из вероятности Феллера (27) выводятся другие распределения. Так, для доходности, высоты и глубины имеем:
|
(28)
|
Плотность вероятности размаха выражается в виде бесконечного ряда по гауссовому базису:
|
(29)
|
Ряд достаточно быстро сходится для всех . Характерным свойством распределения Феллера является экстремально быстрое снижение плотности вероятности при уменьшении . Приведём некоторые значения интегральных вероятностей :
Ниже значения 0.75 () параметр опускается только в 2-х случаях из 1000. Среднее значение , сигма . В интервал одной сигмы = [1.120 .. 2.071] попадает 71.6\% значений . В двойную сигму = [0.645 .. 2.547] попадет 95.6\% значений, причём выпадания из этого интервала, практически, должны встречаться только сверху.
Совместные плотности вероятности для высоты () глубины () и амплитуды () имеют вид:
|
(30)
|
|
(31)
|
Заметим, что , и .
Приведём таблицу средних значений различных величин:
где - функция Римана. Средние для и эквивалентны . Ниже даны значения некоторых смешанных произведений:
Другие средние, а также их производящую функцию можно найти в [3].
Для блуждания со сносом будем использовать уже определённые ранее плотности без сноса. Для того, чтобы восстановить время и волатильность, необходимо дополнительно сделать замену сноса . Плотность вероятности для доходности равна:
Выражения для совместных плотностей [2]:
Таким образом, во всех случаях плотности соответствующие умножаются на фактор . При наличии сноса:
Выражения для средних значений других величин достаточно громоздки. Однако, так как для финансовых данных , уместно разложить в ряд фактор и использовать средние для случая . В результате:
|
(32)
|
|
(33)
|
Средние значения высоты и глубины линейны по , и далее в разложении идут только чётные степени. Амплитуды размаха и модуля доходности зависят только от чётных степеней . Отметим также простые конечные соотношения: , , , .
Примчания
- ↑ W. Feller, 1950, The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables, The Annals of Mathematical Statistics, pp.427-432.
- ↑ 2,0 2,1 A.N. Borodin, P. Salminen, 2000 {Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae}, Basel: Birkhauser.
- ↑ M.B. Garman, M.J.Klass, 1980, {On the estimation of security price volatilities from historical data}, The Journal of Business, Vol.53, No.1.