Момент импульса и спин

Антисимметричные тензоры <<	Оглавление (Глава 3)	>> Ускоренное движение гироскопа

---

$\textstyle \bullet$ Хорошим физическим примером антисимметричного тензора является 4-тензор 4-момента импульса:

$L^{\alpha \beta }=x^{\alpha }p^{\beta }-x^{\beta }p^{\alpha },$

(EQN)

где $\textstyle x^{\alpha }=\{t,\mathbf {r} \}$ — положение частицы в момент времени $\textstyle t$ и $\textstyle p^{\alpha }=\{E,\mathbf {p} \}$ — её энергия и импульс. Распишем в явном виде компоненты $\textstyle L^{\alpha \beta }$. В силу определения он антисимметричен:

$L^{\alpha \beta }=-L^{\beta \alpha }.$

В результате его диагональные элементы равны нулю ($\textstyle L^{00}=L^{11}=L^{22}=L^{33}=0$). Для пространственных компонент имеем:

${\begin{array}{llcllcl}L^{23}&=&x^{2}p^{3}-x^{3}p^{2}&=&yp_{z}-zp_{y}=L_{x},\\L^{31}&=&x^{3}p^{1}-x^{1}p^{3}&=&zp_{x}-xp_{z}=L_{y},\\L^{12}&=&x^{1}p^{2}-x^{2}p^{1}&=&xp_{y}-yp_{x}=L_{z}.\\\end{array}}$

Это компоненты 3-вектора момента импульса, pавного векторному произведению радиус-вектора на импульс:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .$

Аналогично расписываются компоненты тензора момента импульса в случае, если один из индексов равен нулю:

${\begin{array}{llcllcl}L^{10}&=&x^{1}p^{0}-x^{0}p^{1}&=&xE-tp_{x}=G_{x},\\L^{20}&=&x^{2}p^{0}-x^{0}p^{2}&=&yE-tp_{y}=G_{y},\\L^{30}&=&x^{3}p^{0}-x^{0}p^{3}&=&zE-tp_{z}=G_{z}.\\\end{array}}$

Как и момент импульса, эти компоненты можно представить в виде 3-мерного вектора ($\textstyle \mathbf {p} =\mathbf {u} \,E$):

$\mathbf {G} =E\,\mathbf {r} -t\,\mathbf {p} =(\mathbf {r} -\mathbf {u} t)\,E.$

С учётом свойства антисимметричности 4-тензор момента импульса можно записать в следующей табличной форме:

$L^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-G_{x}&-G_{y}&-G_{z}\\G_{x}&0&L_{z}&-L_{y}\\G_{y}&-L_{z}&0&L_{x}\\G_{z}&L_{y}&-L_{x}&0\\\end{pmatrix}}.$

Любой антисимметричный тензор в 4-мерном пространстве имеет 6 независимых компонент и может быть выражен через компоненты двух 3-мерных векторов. Это обозначается следующим образом: $\textstyle L^{\alpha \beta }=(\mathbf {G} ,\;\mathbf {L} )$, где компоненты векторов перечисляются так же, как и в таблице $\textstyle L^{\alpha \beta }$.

$\textstyle \bullet$ Связь значений компонент момента импульса, измеренных в двух инерциальных системах отсчёта, можно получить по формулам для произвольного антисимметричного тензора (), стр. \pageref{Antisym_transform}, с $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {G}$ и $\textstyle \mathbf {b} =\mathbf {L}$:

${\begin{array}{lll}G'_{x}=G_{x},\;\;\;\;\;\;&G'_{y}=\gamma (G_{y}+vL_{z}),\;\;\;\;\;\;\;&G'_{z}=\gamma (G_{z}-vL_{y}),\\[3mm]L'_{x}=L_{x},\;\;\;\;\;\;&L'_{y}=\gamma (L_{y}-vG_{z}),\;\;\;\;\;\;\;&L'_{z}=\gamma (L_{z}+vG_{y}).\\\end{array}}$

(EQN)

Аналогично можно получить и преобразования в векторном виде. В этом случае проще сразу подставить в $\textstyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ векторные преобразования Лоренца для координат (), стр.\pageref{lorenz_vec0}, и импульса (), стр.\pageref{lorenz_EP_vec}:

$\mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '=\left\{\mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} )\right\}\times \left\{\mathbf {p} -\gamma \mathbf {v} E+\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {p} )\right\}.$

Перемножая и исключая время $\textstyle t\mathbf {p} =E\mathbf {r} -\mathbf {G}$, получаем:

$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\gamma [\mathbf {v} \times \mathbf {G} ]+\Gamma \,{\Bigl \{}(\mathbf {r} \mathbf {v} )[\mathbf {v} \times \mathbf {p} ]+(\mathbf {p} \mathbf {v} )[\mathbf {r} \times \mathbf {v} ]{\Bigr \}}.$

Умножим выражение в фигурных скобках на произвольный вектор $\textstyle \mathbf {a}$, который затем можно "сократить" (т.е. положить $\textstyle \mathbf {a} =\{1,0,0\}$, и т.д.):

$\mathbf {a} \{...\}=[\mathbf {a} \times \mathbf {v} ][(\mathbf {r} \mathbf {v} )\,\mathbf {p} -(\mathbf {p} \mathbf {v} )\,\mathbf {r} ]=-[\mathbf {a} \times \mathbf {v} ][\mathbf {v} \times \mathbf {L} ]=-\mathbf {a} [\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {L} ]].$

Опуская $\textstyle \mathbf {a}$ и раскрывая двойное векторное произведение, получаем:

$\mathbf {L} '=\gamma \,(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {G} )-\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {L} ),$

(EQN)

$\mathbf {G} '=\gamma \,(\mathbf {G} -\mathbf {v} \times \mathbf {L} )-\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {G} ),$

(EQN)

где преобразования для вектора $\textstyle \mathbf {G}$ находятся аналогичным образом. Если $\textstyle \mathbf {v}$ направлено вдоль оси $\textstyle x$, снова получаются преобразования (). Заметим, что из определения векторов следует, что $\textstyle \mathbf {G} \,\mathbf {L} =0$. Естественно, преобразования Лоренца сохраняют эту ортогональность.

Ещё один инвариант $\textstyle \mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2}$, справедливый для любого антисимметричного тензора при произвольном направлении относительной скорости $\textstyle \mathbf {v}$ ($\textstyle \lessdot$ H), приводит к соотношению:

$\mathbf {G} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}=(\mathbf {p} ^{2}-\mathbf {E} ^{2})(t^{2}-\mathbf {r} ^{2})+(Et-\mathbf {r} \mathbf {p} )^{2}.$

Это выражение можно записать в явном ковариантном виде при помощи 4-векторов:

$\mathbf {G} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}=-\mathrm {p} ^{2}\mathrm {x} ^{2}+(\mathrm {p} \cdot \mathrm {x} )^{2}=(\mathrm {p} \cdot \mathrm {x} )^{2}-m^{2}\,\mathrm {x} ^{2},$

где прямым шрифтом записаны 4-векторы импульса "$\textstyle \mathrm {p}$" и точки в пространстве-времени "$\textstyle \mathrm {x}$", а $\textstyle m^{2}=\mathrm {p} ^{2}$ — квадрат массы частицы. В силу инвариантности 4-произведения инвариантной будет и разница квадратов векторов $\textstyle \mathbf {G}$ и $\textstyle \mathbf {L}$.

$\textstyle \bullet$ Чтобы компоненты тензора $\textstyle L^{\alpha \beta }$ сохранялись, сила, действующая на частицу, должна иметь определённый вид. Условия, при которых сохраняется пространственная часть тензора $\textstyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$, изучались в разделе, посвящённом понятию силы (стр. \pageref{F_moment_p}). Рассмотрим теперь условия, при которых интегралом движения является вектор $\textstyle \mathbf {G}$. Возьмём его производную по времени и приравняем её к нулю:

${\frac {d\mathbf {G} }{dt}}={\frac {d(E\mathbf {r} -t\mathbf {p} )}{dt}}=(\mathbf {u} \mathbf {F} )\mathbf {r} +E\mathbf {u} -\mathbf {p} -t\mathbf {F} =(\mathbf {u} \mathbf {F} )\,\mathbf {r} -t\mathbf {F} =0,$

где записана сила $\textstyle \mathbf {F} =d\mathbf {p} /dt$ и учтено, что $\textstyle dE/dt=\mathbf {u} \mathbf {F}$ и $\textstyle \mathbf {p} =E\mathbf {u}$. Так как $\textstyle \mathbf {r}$ — координата частицы, а $\textstyle t$ — независимое от неё текущее время, то это выражение будет равно нулю, только если частица свободна $\textstyle \mathbf {F} =0$. В этом случае она движется по траектории $\textstyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} t$, где $\textstyle \mathbf {r} _{0}$ — некоторый постоянный вектор, и $\textstyle \mathbf {G} =E\,\mathbf {r} _{0}$ сохраняется, так как сохраняется энергия свободной частицы.

Рассмотрим множество взаимодействующих между собой частиц, считая, что $\textstyle \mathbf {G}$ равен сумме $\textstyle E_{i}\,\mathbf {r} _{i}-t\,\mathbf {p} _{i}$ по каждой частице. В этом случае $\textstyle \mathbf {G}$ является интегралом движения, если сила $\textstyle \mathbf {F} _{i}$, действующая на $\textstyle i$-ю частицу со стороны остальных частиц, удовлетворяет уравнениям:

$\sum _{i}\mathbf {F} _{i}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum _{i}(\mathbf {u} _{i}\mathbf {F} _{i})\,\mathbf {r} _{i}=0.$

Первое соотношение является 3-м законом Ньютона и выполняется, например, если сила равна парному взаимодействию на $\textstyle i$-ю частицу со стороны всех остальных частиц, пропорциональному расстоянию между частицами. Сложнее удовлетворить второму условию.

Вообще, в теории относительности достаточно просто описывается динамика "пробной частицы", находящейся во внешнем стационарном (неизменном) поле сил. Если же необходимо рассмотреть взаимодействие "равноправных" частиц, то простое понятие силы, которая зависит от положений (и, возможно, скоростей) всех частиц перестаёт работать. Пусть, например, взаимодействуют две быстро движущиеся частицы. Так как любое воздействие не может распространяться быстрее фундаментальной скорости, всегда будет присутствовать "задержка". Каждая частица будет "чувствовать" другую не там, где она "на самом деле" находится. В результате динамическая задача становится очень сложной. Определённое упрощение возникает при введении концепции поля сил, подчиняющегося некоторым уравнениям и являющегося в известной мере самостоятельной сущностью. Мы подробно изучим эти вопросы в следующей главе, посвященной электромагнитному взаимодействию.

Тем не менее, рассмотрим физический смысл вектора $\textstyle \mathbf {G}$, предположив, что он сохраняется. Так как полная энергия также сохраняется: $\textstyle \sum E=const$ (сумма по всем частицам), то сохраняется и:

${\frac {\mathbf {G} }{\sum E}}={\frac {\sum E\mathbf {r} }{\sum E}}-{\frac {\sum \mathbf {p} }{\sum E}}\,t=\mathbf {R} -\mathbf {V} \,t=const.$

где введены радиус-вектор положения центра энергии системы $\textstyle \mathbf {R}$ и его "суммарная скорость" $\textstyle \mathbf {V}$:

$\mathbf {R} ={\frac {\sum E\mathbf {r} }{\sum E}}\approx {\frac {\sum m\mathbf {r} }{\sum m}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {V} ={\frac {\sum \mathbf {p} }{\sum E}}\approx {\frac {\sum m\mathbf {u} }{\sum m}}.$

Приближённые равенства записаны в нерелятивистском пределе. В этом пределе центр энергии имеет смысл центра масс. Постоянство вектора $\textstyle \mathbf {G}$ приводит к равномерному движению центра энергии системы частиц вдоль прямой: $\textstyle \mathbf {R} =\mathbf {V} \,t+const$.

Обратим внимание, что для вычисления $\textstyle \mathbf {R}$ используются энергии движения $\textstyle E=m/{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$, а не полная энергия частицы с учётом её взаимодействия. Поэтому точнее назвать $\textstyle \mathbf {R}$ центром энергии движения.

В системе отсчёта $\textstyle S'$, связанной с частицей, её энергия равна массе, а импульс равен нулю (частица неподвижна). Поэтому $\textstyle \mathbf {G} '=m\mathbf {r} '$, $\textstyle \mathbf {L} '=0$. Запишем обратные к () преобразования, поменяв штрихованные и не штрихованные величины и $\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$

$\mathbf {L} =\gamma \mathbf {L} '-\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {L} ')-\gamma [\mathbf {v} \times \mathbf {G} ']=-m\gamma [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ']=m\gamma [\mathbf {r} \times \mathbf {v} ].$

В последнем равенстве произошла замена $\textstyle \mathbf {r} '$ на $\textstyle \mathbf {r}$, так как в векторных преобразованиях Лоренца они отличаются слагаемыми, пропорциональными вектору относительной скорости $\textstyle \mathbf {v}$. Они будут равны нулю в силу векторного произведения. Так как $\textstyle m\gamma \mathbf {v}$ является импульсом частицы, мы снова приходим к выражению для момента импульса $\textstyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$.

В разделе, посвящённом силе, мы рассматривали модифицированный момент импульса $\textstyle \mathbf {L} =E[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ]$, который сохраняется, если сила определённым образом зависит от скорости частицы. Подобный момент импульса также можно представить в ковариантном тензорном виде. Однако для этого уже потребуется тензор третьего ранга:

$L^{\alpha \beta \gamma }=(x^{\alpha }p^{\beta }-x^{\beta }p^{\alpha })p^{\gamma }.$

Так как $\textstyle p^{0}=E$, пространственные компоненты $\textstyle L^{\alpha \beta 0}$ приводят к модифицированному моменту импульса.

$\textstyle \bullet$ Если рассматривается не точечная частица, а система частиц (например, вращающийся гироскоп), то, кроме тензора момента импульса, удобно ввести 4-вектор спина. Он имеет смысл собственного момента импульса в системе, где центр энергии системы покоится.

Запишем суммарные величины, характеризующие систему частиц:

${\mathcal {E}}=\sum E,\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {P} =\sum \mathbf {p} ,\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {R} ={\frac {\sum E\mathbf {r} }{\sum E}},$

где опущены индексы, нумерующие частицы. Таким образом, $\textstyle {\mathcal {E}}$ — это полная энергия движения, $\textstyle \mathbf {P}$ — полный импульс частиц, $\textstyle \mathbf {L}$ — суммарный момент импульса и $\textstyle \mathbf {R}$ — центр энергии системы.

Для этих суммарных величин определим следующий 4-вектор:

$S_{\nu }={\frac {1}{2}}\,\varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }\,L^{\alpha \beta }\,U^{\gamma },$

(EQN)

где $\textstyle \varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }$ — символ Леви-Чевиты, а $\textstyle U^{\alpha }$ — суммарная 4-скорость системы частиц, определяемая при помощи суммарного 4-импульса $\textstyle P^{\alpha }=\{{\mathcal {E}},\mathbf {P} \}$:

$U^{\alpha }={\frac {P^{\alpha }}{M}}=\{U^{0},\mathbf {U} \}={\frac {\{1,\mathbf {u} \}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},$

где $\textstyle \mathbf {u}$ — 3-мерный вектор "суммарной скорости", а

$M={\sqrt {{\mathcal {E}}^{2}-\mathbf {P} ^{2}}}$

масса системы частиц (без учёта энергии их взаимодействия).

Физический смысл классического спина становится ясным, если его определение () записать в 3-мерных обозначениях $\textstyle S^{\alpha }=\{S^{0},\,\mathbf {S} \}$.

$S_{0}=\varepsilon _{0231}\,L^{23}\,U^{1}+\varepsilon _{0312}\,L^{31}\,U^{2}+\varepsilon _{0123}\,L^{12}\,U^{3}=L^{1}U^{1}+L^{2}U^{2}+L^{3}U^{3},$

где приведены только слагаемые с различными индексами (для остальных символ Леви-Чевиты равен нулю). Коэффициент 1/2 сокращается, так как в суммах с $\textstyle L^{\alpha \beta }$ встречаются по два слагаемых с переставленными индексами: $\textstyle \varepsilon _{0231}\,L^{23}+\varepsilon _{0321}\,L^{32}=2\varepsilon _{0231}\,L^{23}$ (в силу антисиметричности обоих тензоров). Значения символов Леви-Чевиты вычисляются приведением их к базовой последовательности индексов $\textstyle \varepsilon _{0123}=1$ в результате парной перестановки индексов: $\textstyle \varepsilon _{0231}=-\varepsilon _{02{\mathbf {1} 3}}=\varepsilon _{0{\mathbf {1} 2}3}=1$, и т.д.

Точно так же расписываются суммы для пространственных компонент 4-вектора. Например,

$S_{1}=\varepsilon _{1023}\,L^{02}\,U^{3}+\varepsilon _{1032}\,L^{03}\,U^{2}+\varepsilon _{1230}\,L^{23}\,U^{0}=G^{2}U^{3}-G^{3}U^{2}-L^{1}U^{0},$

Пространственные компоненты 4-спина $\textstyle S^{\alpha }$ с верхними индексами образуют 3-вектор $\textstyle \mathbf {S} =\{S^{1},S^{2},S^{3}\}$. Они имеют обратный знак по сравнению с компонентами с нижними индексами: $\textstyle S^{1}=-S_{1}$, и т.д.

В результате:

$\mathbf {S} =\mathbf {L} U^{0}-\mathbf {G} \times \mathbf {U} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;S^{0}=\mathbf {L} \mathbf {U} .$

Выразим суммарный вектор $\textstyle \mathbf {G}$ через энергию и импульс: $\textstyle \mathbf {G} ={\mathcal {E}}\mathbf {R} -t\mathbf {P}$, и аналогично для 4-скорости: $\textstyle U^{\alpha }=\{U^{0},\mathbf {U} \}=\{{\mathcal {E}},\mathbf {P} \}/M$. Окончательно:

$\mathbf {S} ={\frac {\mathcal {E}}{M}}\,(\mathbf {L} -\mathbf {R} \times \mathbf {P} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S^{0}={\frac {\mathbf {L} \mathbf {P} }{M}}={\frac {\mathbf {S} \mathbf {P} }{\mathcal {E}}}=\mathbf {u} \mathbf {S} .$

(EQN)

Таким образом, 3-мерный вектор спина $\textstyle \mathbf {S}$ пропорционален разнице полного момента импульса $\textstyle \mathbf {L}$ и момента импульса движения системы как целого $\textstyle \mathbf {R} \times \mathbf {P}$ (произведение радиус-вектор центра энергии на суммарный импульс). Эта разница имеет смысл собственного момента импульса (из полного момента вычли момент движения системы как целого). Коэффициент пропорциональности $\textstyle {\mathcal {E}}/M$ делает его пространственной компонентой 4-вектора.

Нулевая компонента 4-спина полностью определяется 3-вектором спина и "суммарной скоростью" системы $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {P} /{\mathcal {E}}$.

В силу антисимметричности символа Леви-Чевиты произведение 4-спина на 4-скорость в любой системе отсчёта равно нулю:

$S\cdot U=S_{\alpha }U^{\alpha }=0.$

Поэтому в системе покоя $\textstyle U^{\alpha }=\{1,\mathbf {0} \}$ (или $\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {0}$) спин обладает только векторными компонентами $\textstyle S^{\alpha }=\{0,\mathbf {S} \}$. В этой системе 3-мерный вектор спина совпадает с моментом импульса $\textstyle \mathbf {S} =\mathbf {L}$.

Для точечной частицы $\textstyle \mathbf {L} =\mathbf {R} \times \mathbf {P}$, поэтому для неё спин всегда нулевой. В случае системы частиц суммарный момент импульса уже не пропорционален суммарному импульсу. Поэтому спин в общем случае не равен нулю.

Понятие спина возникло в квантовой механике, как динамическая переменная, описывающая точечный электрон (дополнительно к его координатам и импульсу). Поэтому иногда считают, что спин — это чисто квантовая физическая величина. Однако это не так. В той же квантовой механике можно говорить, например, о спине протона или ядра, которые заведомо не являются точечными объектами. В этом случае у спина должен быть соответствующий классический прототип. Аналогична ситуация с квантовыми энергией, импульсом или моментом импульса. Естественно, чтобы ввести неквантовый спин для точечной частицы, требуется определённая изобретательность. Но для неточечных объектов, например, вращающегося гироскопа, понятие неквантового спина оказывается очень удобной характеристикой физической системы.

---

Антисимметричные тензоры <<	Оглавление (Глава 3)	>> Ускоренное движение гироскопа

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии