Матричные преобразования

Материал из synset
Версия от 19:45, 10 апреля 2011; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Ковариантная формулировка << Оглавление (Глава 2) >> Энергия, импульс, сила и масса

Рассмотрим три инерциальные системы отсчёта , и , наблюдатели в которых измеряют координаты и время некоторого события , и , соответственно. Пусть, как обычно, движется относительно со скоростью вправо вдоль оси и координатные оси этих двух систем параллельны. А вот система пусть движется относительно со скоростью вверх вдоль оси . Между парами систем отсчёта можно записать преобразования Лоренца:

Подставляя первое преобразование во второе можно найти связь координат и времени для наблюдателей в и . Такую подстановку можно выполнить в матричном виде, записав преобразования таким образом:

Напомним, что при перемножении матрицы на матрицу или матрицы на столбик (как выше) действует правило "лома" (или строка на столбец). Так, чтобы получить верхний элемент столбика в левой части равенства необходимо взять первую строку матрицы , перемножить её элементы с элементами столбика стоящего справа от матрицы и все такие произведения сложить. Подстановка одного преобразования во второе в матричном виде сводится к перемножению матриц:

Умножение матриц ассоциативно, поэтому можно сначала перемножить квадратные матрицы каждого преобразования, а затем результирующую матрицу:

умножить на столбик координат и времени. Результирующая матрица, приведенная выше, получается по правилу "лома" где сумма произведений элементов строчки (лом) первой матрицы на элементы столбика второй записывается на месте "пробитой" ломом дырки (см. также стр.\pageref{SxxSyyS}).

Обратим внимание, что хотя обе исходные матрицы были симметричными (относительно диагонали), матрица результирующего преобразования оказывается не симметричной.

В предыдущем разделе мы определили вектор в 4-мерном пространстве как четвёрку величин изменяющихся при смене системы отсчёта в соответствии с преобразованиями Лоренца. В общем случае эти преобразования можно записать следующим образом:

Если относительная скорость систем отсчёта имеет произвольное направление, то из векторных преобразований (), стр. \pageref{lorenz_vecA0} следует такая матрица:

где . Если координатные оси систем отсчёта дополнительно повёрнуты друг относительно друга, матрица будет выглядеть ещё сложнее. Заметим, что индексы и в матрице находятся не только на разной высоте, но и сдвинуты друг относительно друга по горизонтали. Первый индекс нумерует строчки матрицы, а второй — столбцы. Аналогичная ситуация с индексами и для обычных матриц, однако там они находятся на одном уровне (обычно оба внизу). Для скалярного произведения векторов мы используем ковариантное правило суммирование по повторяющимся индексам, которые находятся на различном уровне. Это же правило будем использовать и для матриц. Поэтому в порядок расположения индексов важен в обоих направлениях.

Последовательность двух преобразований Лоренца с различными матрицами:

можно подставить друг в друга, так, что:

Слева перемножение матриц записано в явном индексном виде. Суммирование по реализует правило "лома", так как у первой матрицы нижний правый индекс пробегает элементы строки под номером , а у второй матрицы верхний левый индекс пробегает все элементы столбца под номером . Справа это же выражение записано в безиндексном ("матричном") виде.

Определим ещё одну матрицу лоренцевского преобразования, изменив "высоту индексов" при помощи свёртки с метрическими тензорами:

(EQN)

Так как в матрице нижний индекс стоит левее, то он нумерует строки матрицы, а индекс , соответственно, столбцы. Для получения явного вида матрицы необходимо слева и справа умножить на матрицы метрического тензора , т.е. . Так, для движения вдоль оси в двух измерениях, имеем:

В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрические тензоры с нижними и верхними индексам диагональны и одинаковы. Как и для любых матриц их первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. В отличии от матриц и у матрицы метрического тензора оба индекса находятся на одной высоте (вверху или внизу).

Метрический тензор во всех инерциальных системах одинаков. Поэтому, при помощи матрицы можно записать преобразование Лоренца для ковектора:

Обратим внимание, что суммационный индекс "прижимается" к 4-вектору , являясь номером колонки матрицы .

При вращении 3-мерной системы координат поворачиваются (изменяются) и базисные векторы, направленные вдоль осей. Точно также изменяются базисные векторы 4-мерного пространства, при смене системы отсчёта (повороте в 4-пространстве). Для такого преобразования справедливо "обратное" матричное умножение (строка на матрицу):

(EQN)

Напомним, что индекс у базисного вектора это его номер, а не компонента, поэтому в левой части преобразования и в правой (слева от матрицы) стоят строки 4-векторов типа . Чтобы получить преобразования (), необходимо разложить вектор по двум базисам, соответствующим двум инерциальным системам отсчёта и воспользоваться преобразованием для компонент вектора . Проделать это предлагается в качестве упражнения. Напомним, что 4-вектор это физический объект, имеющий различные проекции на различные базисы. Отметим также соотношения и .

Установим одно важное свойство матриц лоренцевского преобразования. По определению, скалярное произведение двух 4-векторов не меняется при таких преобразованиях:

Записанные соотношения будут выполняться, если лоренцевская матрица удовлетворяет (в силу произвольности векторов) следующему уравнению:

которое называется условием ортогональности. Свернув по индексу это соотношение с тензором , c учётом (), имеем:

(EQN)

Слово "свёртка" означает умножение одного индексного выражения на второе и суммирование этого произведения по некоторым индексам. В первом равенстве () свёртка с метрическими тензорами даёт матрицу , а во втором равенстве введена транспонированная матрица, помеченная буквой : . Она получается из исходной матрицы перестановкой строк и столбцов. Сделано это, чтобы получилось матричное произведение, реализуемое суммой по индексу . Обозначая символ Кронекера при помощи единичной матрицы . Тогда условие ортогональности () можно записать без индексов:

Определитель произведения матриц равен произведению определителей. Кроме этого транспонирование определителя не меняет. Поэтому:

Из () следует, что , поэтому . Прямым вычислением определителя матриц из начала раздела получаем, что при извлечении корня надо выбрать знак плюс:

Определитель для получается из определения . Таким образом, лоренцевские матрицы преобразования как векторов (), так и ковекторов () имеют единичные определители и ортогональны.

Пусть есть два 4-вектора и . Из их компонент можно составить 4 различных произведения, с двумя индексами: , , , . Эти произведения будут преобразовываться при помощи двух лоренцевских матриц:

и т.д. Назовём тензором типа величину, имеющую индексов, из которых находятся вверху, а внизу, если она преобразуется как произведение векторов и ковекторов. Число называется рангом тензора. Например, для тензора типа , по определению, имеем:

Так как для лоренцевских матриц выполняется условие ортогональности, то метрические коэффициенты , являются тензорами:

Заметим, что компоненты или не изменяются только в декартовых координатах плоского пространства (см. главу 6). Аналогично, в силу ортогональности, тензором является символ Кронекера :

Для любого тензора, при помощи или можно определить новый тензор, поднимая или опуская индексы. Хотя получившийся при этом тензор будет другим, его принято обозначать той же буквой. В этом случае необходимо следить за порядком индексов по горизонтали:

Все инерциальные системы равноправны. Поэтому уравнения, описывающие тот или иной физический закон, должны иметь одинаковую форму во всех системах. Это будет происходить, если эти уравнения записываются в тензорных обозначениях. Например, как мы увидим в 4-й главе, движение частицы в электромагнитном поле описывается уравнением:

где , — инвариантные масса и заряд частицы, — также инвариантный интервал. Кроме этих инвариантов в уравнение входят тензорные величины — 4-вектор скорости частицы и тензор электромагнитного поля . Так как и вектор и тензор преобразуются при помощи одних и тех же матриц это уравнение будет выглядеть точно также в любой другой инерциальной системе отсчёта.

У вектора 4 компоненты, у тензора второго ранга (с двумя индексами) их 16. С ростом числа индексов у тензора, число его компонент стремительно растёт. Если индексов у тензора , то он имеет компонент. Поэтому особую роль играют тензоры, обладающие тем или иным свойством симметрии относительно перестановки индексов. Так, тензоры типа могут быть симметричными или антисимметричными:

Метрический тензор является симметричным. В качестве упражнения ( H) предлагается найти преобразования Лоренца для произвольного тензора и в том случае, когда он обладает антисимметрией.

Свёртка симметричного и антисимметричного тензора равна нулю:

В первом равенстве индексы переставлены с учётом свойств симметрии, а во втором переименованы (, ), так как они суммационные. Выражение равное себе с обратным знаком может быть только нулём.

Важную роль в релятивистской теории играют абсолютно антисимметричные тензоры. Слово "абсолютные" означает, что они изменяют свой знак при перестановке любых двух индексов. Подробнее их свойства мы рассмотрим в следующей главе.

В силу определения тензора, компоненты 4-вектора с верхними индексами являются тензором типа (1,0), а ковектор (компоненты вектора с нижними индексами ) — тензором типа .

Величина, имеющая одинаковое значение во всех системах отсчёта называется скаляром и является тензором нулевого ранга. Заметим, что одинаковость значения не означает одинаковости функциональной формы. Так, пусть определена скалярная функция . Это означает, что каждой точке пространства и времени присвоено некоторое число . Это число "привязано" к точке и по определению не зависит выбора системы отсчёта, т.е. является одинаковым для всех наблюдателей. Тем не менее вид функции для них различный. Например, если в одной системе отсчёта, то в другой её вид . Но значения функций для данного события (точки в пространстве-времени) будут одинаковыми . Поэтому штрих у скалярной функции обычно не ставится. Векторная функция или тензорная функция также "привязываются" к конкретной точке пространства-времени. Однако при переходе к другой системе отсчёта их значения изменяются, так как они умножаются на соответствующие матрицы .



Ковариантная формулировка << Оглавление (Глава 2) >> Энергия, импульс, сила и масса

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии