Наша задача состоит в установлении функциональной зависимости координат и времени некоторого события измеренного наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта:
Дифференциалы величин записываются стандартным образом:
где — это частная производная функции по , и т.д. Рассмотрим некоторое тело, равномерно двигающееся вдоль оси . Его скорость, измеренная наблюдателями в системе будем считать равной , а в системе , соответственно . Эти два значения между собой связаны:
Мы считаем, что скорость является произвольной константной. Эта же скорость измеренная в , в силу второй аксиомы, не должна зависеть от того, в какой точке системы находится тело. Это означает, что правая часть выражения для не зависит от и . Поэтому возьмём производную по и приравняем её нулю:
Приводя к общему знаменателю, получаем:
Функции преобразования , зависят от относительной скорости наблюдателей , но, естественно, не зависят от скорости некоторого тела летящего в пространстве. Поэтому, в силу произвольности , уравнение будет выполняться, если равны нулю коэффициенты при её степенях (можно положить , получив коэффициент при равным нулю; затем взять производную по , и снова, положив , получить нулевым коэффициент при , и т.д.):
Это система дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.
Совершенно аналогично, беря производную по времени , получаем:
Снова приводя к общему знаменателю, и приравнивая коэффциенты при степенях произвольной скорости , получаем:
Вычитая из уравнения уравнение , а из — , имеем:
Умножим теперь на , а на , и вычтем их:
Выражение в круглых скобках является якобианом преобразования которой должен быть отличным от нуля. Поэтому . Аналогично, умножая на , а на , приходим к равенству нулю второй производной по времени от :
Учитывая , не сложно найти . Равенство нулю вторых производных означает, что функции преобразования должны быть линейными.