Диаграммы Далица и Мандельстама

Материал из synset
Версия от 18:06, 9 апреля 2011; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Инварианты s, t и u << Оглавление (Глава 3) >> Антисимметричные тензоры

Рассмотрим реакцию аннигиляции пи-мезонов, при которой рождаются протон и антипротон

Это реакция неупругого рассеяния, так как исходные частицы (пи-мезоны) изменяют не только свои импульсы, но и "вид", превращаясь в протоны. В этом случае исходные массы равны МэВ и отличаются от масс конечных частиц МэВ. Поэтому косинус угла рассеяния в системе центра () масс равен:

Порог реакции . Однако существует дополнительное ограничение, связанное с тем, что . Это неравенство имеет следующий вид:

(EQN)

Таким образом, возникает энергетически разрешённая область на плоскости , которую называют диаграммой Далица:

Stu daliz.png

На диаграмме Далица два независимых инварианта и откладываются на перпендикулярных декартовых осях, а энергетически разрешённая область отмечается серым цветом. Порог реакции проведен в виде тонкой вертикальной линии, справа от которой должна находиться разрешённая область. Это приводит к тому, что . Граница разрешённой области получается, когда в соотношении () выбирается знак равенства:

При это уравнение стремится к прямой . Вторая асимптотика соответствует пределу , .

Рассмотрим теперь реакцию упругого рассеяния пи-мезона на протоне:

В этом случае новые частицы не рождаются и происходит просто изменение импульсов исходных частиц, поэтому эта реакция и называется упругой. Массы частиц равны , , и порогом реакции будет . Косинус угла рассеяния равен:

Для получения энергетических неравенств в данном случае проще расписать два неравенства и . Первое даёт

и, так как , имеем . Второе неравенство приводит к соотношению, похожему на (), но с переставленными местами инвариантами и :

(EQN)

Нарисуем энергетически разрешённую область на диаграмме Далица:

Stu daliz2.png

Обратим внимание, что эта граничная энергетическая линия получается из линии реакции перестановкой местами и инвариантов. Это происходит потому, что рассматриваемые две реакции являются фактически одной четырёххвосткой. Если в поменять местами 2-ю и 3-ю частицы, мы получим реакцию (массы протона и антипротона одинаковые). Понятно, что инварианты и поменяются местами. Говорят, что эти реакции происходят в различных каналах одной и той же четырёххвостки. Первая реакция происходит в канале, а вторая — в . Соответственно, линия граничной области получается при повороте рисунка на 90 градусов.

Кроме энергетических диаграмм Далица используются также диаграммы Мандельстама, на которых одновременно изображаются все три инварианта . Такая диаграмма является косоугольной системой координат, в которой оси и проведены под углом 60 градусов. Однако рисуются не сами оси, а уровни , , ...., параллельные оси и отстоящие от неё на 1,2,... Аналогично для уровней , . Линии , и образуют правильный треугольник , высота которого равна

Положительные значения инвариантов откладываются от нулевой линии в сторону треугольника, а отрицательные — в обратную:

Stu mand.png

На первом рисунке жирными линиями отмечены нулевые уровни, а тонкими — уровни , , . В точке значение инвариантов равно , . Их сумма равна . Это свойство выполняется для любой точки плоскости (второй рисунок). Действительно, для площадей треугольников, образованных точками , , , , выполняется соотношение

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Основания всех треугольников одинаковые, а высоты равны , , и , поэтому .

Можно перейти к прямоугольным декартовым координатам, проведя вертикальную ось вдоль высоты перпендикулярно линии , которая будет горизонтальной осью (первый рисунок). Прямоугольные координаты связаны с инвариантом следующим образом:

Третий инвариант равен

в результате чего сумма всех инвариантов равняется .

Рассмотрим снова реакцию аннигиляции двух пи-мезонов с рождением протон-антипротонной пары:

Разрешённая область для этой реакции определяется неравенством порога и соотношением (). Выразим в последнем через переменные и :

(EQN)

где . Эта область изображена на рисунке ниже:

Stu mand2.png

и соответствует параболе в верхней части рисунка с асимптотическими линиями и . Реакцию

и аналогично для античастиц, можно изобразить на этом же рисунке, если считать, что в ней, как и в предыдущей реакции, пи-мезоны имеют номера 1 и 2, а протоны — 3 и 4. Тогда в неравенствах (), , необходимо поменять , местами, и получится () с обратным знаком неравенства и , . Эта область изображена на рисунке в правом нижнем углу. Третий возможный канал изображен в левом углу рисунка и соответствует реакции неупругого рассеяния нейтрального пи-мезона на нейтроне с образованием протона и заряженного пи-мезона:

На самом деле эта реакция не полностью симметрична двум предыдущим, так как массы частиц различаются. Однако это отличие невелико. Так, нейтрон тяжелее протона примерно на 0.1\% или 1\% от массы пи-мезона. Аналогично нейтральный пи-мезон всего на 1\% легче, чем его заряженные собратья .

Таким образом, все три реакции получаются перестановкой частиц в реакции и переобозначением инвариантных переменных , и .



Инварианты s, t и u << Оглавление (Глава 3) >> Антисимметричные тензоры

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии