Антисимметричные тензоры

Материал из synset
Версия от 18:08, 9 апреля 2011; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Диаграммы Далица и Мандельстама << Оглавление (Глава 3) >> Момент импульса и спин

В релятивистской физике важную роль играют антисимметричные тензоры. Антисимметричный тензор второго ранга имеет 6 независимых ненулевых компонент. Если два индекса у него совпадают, то он (в силу антисимметрии) равен нулю. Ненулевыми компонентами будут , , , , и . Все остальные компоненты получаются перестановкой индексов. Например, , и т.д. Два 3-мерных вектора и имеют 6 компонент, поэтому с их помощью можно представить антисимметричный тензор второго ранга в виде следующей таблицы:

Сокращённо эта таблица записывается следующим образом: . Антисимметричный тензор с нижними индексами получается при помощи свёртки с метрическими тензорами: . В результате:

Например, так как метрический тензор диагонален, имеем:

Таким образом, компоненты, имеющие нулевой индекс, изменяют свой знак, а компоненты без нулевого индекса не изменяются. Это можно записать с следующем виде: .

Аналогично можно опустить или поднять только один индекс. Запишем такой тензор при помощи умножения матриц:

При этом таблица перестаёт быть антисимметричной .

Связь значений компонент антисимметричного тензора, измеренных в двух инерциальных системах отсчёта, можно получить по общему правилу преобразования тензоров:

где введена транспонированная матрица лоренцевского преобразования . Так как симметрична, для получения компонент в системе необходимо слева и справа умножить на матрицу :

Перемножая матрицы, приходим к следующим преобразованиям:

(EQN)

При помощи этих преобразований несложно проверить, что следующие комбинации векторов:

являются инвариантными, т.е. имеют одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчёта. В частности, если векторы и ортогональны в одной системе отсчёта, то они будут ортогональными и в любой другой.

Абсолютным антисимметричным тензором называется тензор любого ранга (с произвольным числом индексов), изменяющий знак при перестановке любых двух индексов. Антисимметричный тензор второго ранга, естественно, является абсолютно антисимметричным тензором.

Для такого тензора ранга 3 есть только 4 независимые ненулевые компоненты: , , , . Остальные получаются перестановкой индексов: . Поэтому, как мы увидим чуть ниже, можно выразить через четыре компоненты 4-вектора.

Абсолютный антисимметричный тензор ранга 4 имеет только одну нетривиальную компоненту . Абсолютные антисимметричные тензоры более высокого ранга в 4-мерном пространстве-времени всегда равны нулю. У них всегда хотя бы одна пара индексов будет иметь одинаковые значения.

Важную роль в индексной математике играет абсолютно антисимметричный символ Леви-Чевиты. В 2-мерном пространстве такой символ вводится с двумя индексами , так, что , а при перестановке индексов он меняет свой знак. В 3-мерном пространстве символ Леви-Чевиты имеет три индекса и значение . С его помощью можно записать векторное произведение :

и т.д. Слагаемые, обозначенные многоточием, равны нулю, так как равен нулю символ Леви-Чевиты с одинаковыми индексами.

Аналогично определяется 4-мерный символ Леви-Чевиты . Его компоненты получаются из значения . Например:

Т.е. если индексы одинаковы, то символ равен нулю, а при перестановке любых двух индексов он изменяет знак. Напомним, что индексы координат события в 4-мерном пространстве принято нумеровать с нуля.

При помощи символов Леви-Чевиты можно записывать определители матриц. Например, для матрицы 2x2

Аналогично для определителей матриц 3x3 и 4x4:

где стоит произведение элементов матриц с фиксированными значениями первого индекса, упорядоченными по возрастанию. По вторым индексам проводится свёртка с символом Леви-Чевиты (все суммационные индексы записаны внизу). Докажем, что 4-мерный символ Леви-Чевиты является тензором относительно преобразований Лоренца. Запишем, например, преобразование для:

где мы воспользовались сначала определением определителя, а затем ортогональностью преобразований Лоренца (стр.\pageref{orto_lor}). Таким образом, если в одной инерциальной системе , то и в другой он будет равен единице. Несложно видеть, что перестановка индексов этого результата не меняет. Если пара любых индексов совпадает, например, , то результат свертки с лоренцевскими матрицами будет равен нулю, так как идёт свёртка симметричного тензора и антисимметричного по индексам и .

При помощи символа Леви-Чевиты можно создавать новые тензоры. Определим, например, следующий антисимметричный тензор:

Тензоры со звёздочкой называются дуальными (или сопряжёнными) к тензору, сворачиваемому с . Найдём компоненты дуального тензора. Расписывая явным образом сумму по повторяющимся индексам и опуская одинаковые индексы, для которых символ Леви-Чевиты равен нулю, получаем:

где , так как обе величины одновременно являются антисимметричными. Во втором случае индекс 0 в символе Леви-Чевиты необходимо перенести в начало . Заметим, что коэффициент 1/2 в определении дуального тензора связан с числом возможных перестановок 2-х индексов . Расписывая таким образом все компоненты, получаем:

Таким образом, векторы и в дуальном тензоре по сравнению с исходным меняются местами. Сокращённо таблицы сопряженных тензоров можно записать следующим образом: , .

Полученные выше инварианты можно записать в следующем явно ковариантном виде:

Аналогично можно определить дуальные тензоры к тензорам третьего и первого ранга:

Так, компоненты 4-вектора являются 4-мя независимыми ненулевыми компонентами тензора .


Диаграммы Далица и Мандельстама << Оглавление (Глава 3) >> Момент импульса и спин

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии