Энергия, импульс, сила и масса

Матричные преобразования <<	Оглавление (Глава 3)	>> Кинетическая энергия

---

$\textstyle \bullet$ Запишем полученные в первой главе выражения для энергии и импульса частицы массой $\textstyle m$, движущейся со скоростью $\textstyle u$:

$E={\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}.$

(EQN)

Возводя их в квадрат и вычитая, можно исключить скорость:

$E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}.$

(EQN)

Разделив импульс на энергию, можно также исключить массу:

$\mathbf {p} =E\,\mathbf {u} .$

(EQN)

В такой форме связь энергии и импульса справедлива и для безмассовых частиц, например, фотонов. В этом случае, так как $\textstyle c=1$, то скорость можно записать при помощи единичного вектора $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {n}$, где $\textstyle \mathbf {n} ^{2}=1$. Учитывая формулу Планка $\textstyle E=h\nu$, имеем:

$\mathbf {p} =E\,\mathbf {n} =h\nu \,\mathbf {n} ={\frac {h}{\lambda }}\,\mathbf {n} ,$

(EQN)

где $\textstyle \lambda =1/\nu$ — длина волны, связанная с квантовыми свойствами фотона (точнее с ансамблем фотонов).

Напомним, что для восстановления в формулах фундаментальной скорости "$\textstyle c$" необходимо умножить все величины, имеющие размерность времени в некоторой степени, на "$\textstyle c$" в этой же степени. Поэтому для скорости ($\textstyle \mathbf {u}$), импульса ($\textstyle \mathbf {p}$), энергии ($\textstyle E$), силы ($\textstyle \mathbf {F}$) и ускорения ($\textstyle \mathbf {a}$) необходимо проделать следующие замены:

$t\mapsto t\,c,\;\;\;\;\;\mathbf {u} \mapsto {\frac {\mathbf {u} }{c}},\;\;\;\;\;\mathbf {p} \mapsto {\frac {\mathbf {p} }{c}},\;\;\;\;\;E\mapsto {\frac {E}{c^{2}}},\;\;\;\;\;\mathbf {F} \mapsto {\frac {\mathbf {F} }{c^{2}}},\;\;\;\;\;\mathbf {a} \mapsto {\frac {\mathbf {a} }{c^{2}}}.$

Формулы () с константой "$\textstyle c$" имеют вид:

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.$

(EQN)

Аналогично соотношения (), () записываются следующим образом:

$E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} ={\frac {E}{c^{2}}}\,\mathbf {u} .$

Можно получить разложения энергии и импульса () в ряд по $\textstyle 1/c$:

$E=mc^{2}+{\frac {m\mathbf {u} ^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}\,{\frac {m\mathbf {u} ^{4}}{c^{2}}}+...,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} =m\mathbf {u} +m\mathbf {u} \,{\frac {\mathbf {u} ^{2}}{2c^{2}}}+...$

Не считая энергии покоя $\textstyle mc^{2}$, ведущие члены соответствуют классическим выражениям $\textstyle E=m\mathbf {u} ^{2}/2$ и $\textstyle \mathbf {p} =m\mathbf {u}$.

$\textstyle \bullet$ В атомной физике и физике элементарных частиц используют не систему единиц СИ, а энергетические единицы электрон-вольты. Это энергия, которую приобретает электрон с зарядом "$\textstyle e$", проходя разность потенциалов в один вольт. Электрон-вольт — очень маленькая энергия по сравнению с энергиями, к которым привык человек:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle 1\;эВ=1.602\,176\,53(14)\cdot 10^{-19}\;Дж.}

На самом деле она мала даже для типичных задач микромира, поэтому обычно встречаются её производные с приставкой кило ($\textstyle 10^{3}$), мега ($\textstyle 10^{6}$), гига ($\textstyle 10^{9}$), тера ($\textstyle 10^{12}$), и т.д. Обратим внимание на число в круглых скобках в определении Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle 1\;эВ} . Это экспериментальная ошибка, показывающая типичный разброс последних двух значащих цифр.

В системе единиц $\textstyle c=1$, которая принята в этой книге, масса равна энергии покоя частицы. Поэтому массы электрона и протона выражаются в электрон-вольтах:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle m_e\approx 0.511\;МэВ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;m_p\approx 938\;МэВ.}

Квантовые закономерности определяют характерные размеры и энергии атомов — радиус Бора $\textstyle r_{B}$ и энергию связи Ридберга $\textstyle E_{R}$:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle r_B = \frac{\hbar^2}{m_e e^2}\approx 0.529\cdot 10^{-10}\;м,\;\;\;\;\;\;\;E_R=\frac{e^2}{2r_B}\approx 13.6\;эВ}

Энергия $\textstyle E_{R}$ определяет дефект массы атома водорода, т.е. разницу между массой электрона + протона и массой всего атома водорода. Масса протона существенно больше этой энергии, поэтому относительное изменение массы атома за счёт энергии связи оказывается порядка $\textstyle 1.5\cdot 10^{-8}$.

Возможна ситуация, когда вся масса частиц превращается в энергию излучения. Например, это происходит при аннигиляции электрона и антиэлектрона (позитрона) $\textstyle e^{+}+e^{-}\mapsto 2\gamma$ с энергией излучения, равной Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle 2\,m_e\approx 1 MэВ} .

В то же время изменение энергии привычных объектов приводит к совсем небольшому изменению их массы. Если мы роняем утюг массой $\textstyle m$ с высоты $\textstyle H$ в один метр и вся его потенциальная энергия превращается во внутреннюю, то относительное изменение массы утюга составит:

${\frac {\Delta m}{m}}={\frac {mgH/c^{2}}{m}}={\frac {gH}{c^{2}}}\sim 10^{-16}.$

Тот же утюг, используемый по назначению, при нагреве на 200 градусов при удельной теплоёмкости порядка 500 Дж/(кг К) (железо) получит на единицу массы дополнительную энергию $\textstyle 10^{5}$ Дж/кг. Относительное изменение его массы в этом случае составит порядка $\textstyle 10^{-12}$.

---

Матричные преобразования <<	Оглавление (Глава 3)	>> Кинетическая энергия

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии