В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.
Основными характеристиками процессов, происходящих в электрической цепи, являются напряжение (разница потенциалов) между двумя точками и проходящий по ней ток . Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: .
Большинство электротехнических устройств состоят из трёх элементарных деталей — резистора, конденсатора и индуктивности:
Резистором является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: , где — константа, называемая сопротивлением.
Конденсатором может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ёмкостью , зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: . При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию электрического поля.
Индуктивность реагирует на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: . Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную .
Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов.
В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через .
Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:
где , и . Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума . В его отсутствие () систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:
Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд и ток являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток — импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:
|
(7.6)
|
Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных . Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и происходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ("потенциальная") в магнитную ("кинетическая") на индуктивности, и обратно.
Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем случае матрица системы и её собственные значения имеют вид:
где . Мы предполагаем, что сопротивление невелико и . По стандартному алгоритму (стр. \pageref{sys_line_n_eigen}) несложно найти:
|
(7.7)
|
Возможно, более быстрый путь — это решение уравнения второго порядка в виде и определение констант при помощи начальных условий , .
Если некоторая система имеет температуру , можно воспользоваться распределением Гиббса (стр. \pageref{distribution_gibbs}) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:
|
(7.8)
|
Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:
В данном случае и
Поэтому:
Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:
Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:
|
(7.9)
|
Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме () можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. Линейные многомерные модели). Положив , имеем:
откуда:
|
(7.10)
|
что согласуется с вероятностью (7.8) и мерным гауссовым распределением. Заметим, что , , поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном ( H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме ( H).
Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом справедливо уравнение движения:
На электрон действуют две силы — сопротивление со стороны кристаллической решётки (трение) и электрическая сила в поле . Если в проводнике длиной поле однородно , то в устоявшемся режиме (=0) из уравнения движения следует . Пусть — концентрация электронов. За время сечение сопротивления площадью пересекает зарядов. Для электрона , поэтому ток равен:
Следовательно, по закону Ома сопротивление равно:
Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздействие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения:
где — флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата скорости: . Кинетическая энергия равна (одна степень свободы), поэтому .
Если в проводнике электронов, то среднее расстояние между ними и флуктуации разности потенциалов . Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как , , получаем:
и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9).
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения